河南省安阳市龙安高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

河南省安阳市龙安高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷命题人： 审题人：本试卷共四大题，19小题，满分150分，时间120分钟注意事项：考生答题时将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．）1．已知复数（）A． B． C． D．2．下列说法正确的是（）A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线3．已知不同平面，不同直线和，则下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则4．端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件“甲端午节吃甜粽子”，记事件“乙端午节吃咸粽子”，且，事件与事件相互独立，则A． B． C． D．5．设在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定6．已知点，则在上的投影向量的坐标为（）A． B． C． D．7．已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，平面，则该球的表面积为（）A． B． C． D．8．已知，则的面积为（）A．2 B． C．1 D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．已知为复数，则下列说法正确的是（）A．若，则 B．若，则与的虚部相等C．若，则或 D．若，则10．某校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩（满分100分）按照分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是A．图中 B．估计样本数据的第60百分位数约为85C．若每组数据以所在区间的中点值为代表，则这600名学生成绩的平均数约为79.5D．若按各组人数比例用分层随机抽样的方法抽取27名成绩低于80分的学生，则成绩在内的学生应抽取9人11．如图，已知点P在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，为圆柱的两条母线，且，则A．平面 B．直线与平面所成的角的正切值为C．直线与直线AB所成的角的余弦值为 D．点A到平面的距离为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为______．13．甲、乙各自从“篮球”“足球”“排球”“游泳”“体操”5个社团中随机选择1个社团加入，且他们加入的社团不同，则他们加入的都是球类运动社团的概率是______．14．在中，内角所对的边分别为，设，则的面积为______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题13分）已知向量满足。（1）若，求向量的坐标；（2）若，求与夹角的余弦值．16．（本小题15分）如图所示，在多面体中，四边形是正方形，是等边三角形，，且分别是的中点．（1）证明：平面平面；（2）若平面平面，求四棱锥的体积．17．（本小题15分）在中，内角的对边分别为，且．（1）求角；（2）若，求面积的最大值。18．（本小题17分）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船顺利发射，本次乘组将首次在空间站实施水生生态项目，即要实现“太空养鱼”，意味着我们有能力在太空构造新的生态环境和生态系统．郑州航天电子技术有限公司为此次任务提供了科技产品和技术服务，该公司为了提高单位职工的工作热情，开展了知识比赛，满分120分，100分及以上为“航天达人”，结果航天达人有t人，这t人按年龄分成了5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：[40，45]，得到的频率分布直方图如下图，已知第一组有10个人（1）根据频率分布直方图，估计这t人年龄的第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人担任“航天工程”的宣传大使．若第四组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这t人中35~45岁所有人的年龄的平均数和方差．注：若分层随机抽样中各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：．记总体的样本平均数为，样本方差为，则19．（本小题17分）平面直角坐标系xOy中，利用公式，①（其中为实数），将点的坐标变换为点，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母表示．（1）在平面直角坐标系xOy中，已知，按照二阶矩阵变换得到点，求点的坐标；（2）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；（3）向量（称为行向量），也可以表示为，这种形式的向量称为列向量．线性变换坐标公式①可以表示为，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设二阶矩阵为任意两个向量，求证．

安阳市龙安高级中学2023-2024学年第二学期高一年级期末考试数学评分参考第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案ACABBABD二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ACBCDACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 13． 14．四、解答题：本题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）解：（1），，或…………6分（2），，即，……13分16．（本小题15分）（1）因为，M是AD的中点，所以，且，所以四边形DEFM是平行四边形，从而．因为平面平面ECD，所以平面ECD同理平面，又，所以平面平面ECD.…………7分（2）设AB的中点为，连接，则．因为平面平面ABCD，平面平面平面ABF，所以平面ABCD，因为平面，所以平面，所以到平面的距离为，所以．…………15分17．（本小题15分）解：（1）因为．所以由正弦定理得，整理得，由余弦定理得因为，所以……7分（2）由余弦定理得由（1）知，且，所以，当且仅当时等号成立，即，此时，即为正三角形时，面积最大值为；……15分18．（本小题17分）解：（1）设第80百分位数为，因为，，故位于第四组：内，所以，解得．……7分（2）设第四组的宣传使者的年龄平均数，方差，第五组的宣传使者的年龄平均数，方差，设第四组和第五组所有宣传大使的年龄平均数为，方差为，则，即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为38岁，则，即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此估计这t人中年龄