专题1.2一元二次方程的应用十大类型精讲精练

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答.2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a.（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）²,即原数×（1+增长百分率）²=后来数.（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解.（5）销售问题：利润=售价—进价=进价×利润率，总利润=销售量×单件利润3．列一元二次方程解应用题的“六字诀”（1）审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.（2）设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.（3）列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.（4）解：准确求出方程的解.（5）验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题.（6）答：写出答案.【考点1】增长率问题【例1】（2022·新疆·乌鲁木齐市第七十四中学九年级期末）为应对新冠疫情，较短时间内要实现全国医用防护服产量成倍增长，有效保障抗击疫情一线需要，某医用防护服生产企业1月份生产9万套防护服，该企业不断加大生产力度，3月份生产达到12.96万套防护服.(1)求该企业1月份至3月份防护服产量的月平均增长率.(2)若平均增长率保持不变，4月份该企业防护服的产量能否达到16万套？请说明理由.【变式1.1】（2021·云南·富源县第七中学九年级期中）2020年疫情期间，某地教育局出台《中小学线上教学工作实施方案》，推出名师公益大课堂，为学生提供线上直播教学．据统计，第一批次公益课受益的学生为4万人，第三批次公益课受益的学生为4.84万人，每个批次受益学生人数的平均增长率相同.(1)求每个批次的平均增长率；(2)按照这个增长率，预计第四批次公益课受益的学生将达到多少万人？【变式1.2】（2021·甘肃·静宁县阿阳实验学校九年级阶段练习）受益于国家支持新能源汽车发展和“带一路”发展战略等多重利好因素，某市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计2017年利润为2亿元，2019年利润为3.38亿元.(1)求该企业从2017年到2019年利润的年平均增长率；(2)若2020年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2020年的利润能否超过4亿元？【变式1.3】（2022·浙江金华·八年级期末）金华市区某超市以原价为40元/瓶的价格对外销售某种洗手液，为了减少库存，决定降价销售，经过两次降价后，售价为32.4元/瓶.(1)求平均每次降价的百分率.(2)金华市区某学校为确保疫情复学后工作安全、卫生、健康、有序，学校决定购买一批洗手液(超过200瓶)．该超市对购买量大的客户有优惠措施，在32.4元/瓶的基础上推出方案一：每瓶打九折；;方案二：不超过200瓶的部分不打折，超过200瓶的部分打八折．学校应该选择哪一种方案更省钱？请说明理由.【考点2】传染问题【例2】（2022·浙江绍兴·八年级期末）请根据图片内容，回答下列问题：(1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？(2)按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？【变式2.1】（2022·云南红河·九年级期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？【变式2.2】（2022·全国·九年级课时练习）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请用一元二次方程的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，那么经过三轮感染后，被感染的电脑共有多少台？【变式2.3】（2022·全国·九年级）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有64人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：(1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？(2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？【考点3】营销问题【例3】（2022·安徽·合肥市五十中学新校八年级期中）某商场销售一批运动服，平均每天可售出30套，每套盈利100元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每套运动服每降价2元，商场平均每天可多售出1套.(1)当每套运动服降价x元时，商场每天可售出运动服套用含x的代数式表示(2)若商场每天要盈利3150元，则每套运动服应降价多少元？(3)商场每天的盈利能否达到3250元？若能，请求出此时每套运动服应降价多少元？若不能，请说明埋由.【变式3.1】（2022·浙江宁波·八年级期末）位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次.(1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；(2)据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？【变式3.2】（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，经过市场调研发现，每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系y=−10x+b.(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；(2)已知每台设备成本价为30万元，根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？【变式3.3】（2022·山东淄博·八年级期末）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”.(1)据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增加20%，则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？(2)已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？【考点4】面积问题【例4】（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为18m)，另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成.(1)若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽；(2)为使用方便，决定在车棚左右两侧各开一个宽为1m的小门，此时能围成的车棚的面积能否为200m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.【变式4.1】（2021·四川·荣县一中九年级阶段练习）今年荣县一中计划扩大校园绿地面积，现有一块长方形绿地ABCD，它的短边AB长为6m，若将短边AB增大到与长边AD相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形AEFD，则扩大后的绿地面积比原来增加16m2，求扩大后的正方形绿地边长.【变式4.2】2022·浙江杭州·八年级期末）某小区计划用40米的篱笆围一个矩形花坛，其中一边靠墙（墙足够长，篱笆要全部用完）.(1)如图1，问AB为多少米时，矩形ABCD的面积为200平方米？(2)如图2，矩形EMNF的面积比（1）中的矩形ABCD面积减小20平方米，小明认为只要此时矩形的长MN比图①中矩形的长BC少2米就可以了．请你通过计算，判断小明的想法是否正确.【变式4.3】2022·浙江绍兴·八年级期末）有一块长28cm，宽12cm的矩形铁皮.(1)如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为192cm2的无盖长方体盒，求裁去的正方形的边长.(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若剩余部分恰好能折成一个底面积为130cm2的有盖盒，请你求出裁去的左侧正方形的边长.【考点s】动态几何问题【例5】（2022·安徽合肥·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B同时出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，P，Q两点的距离是42cm？点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q同时从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.(1)几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？(2)几秒后，PQ的长度等于5cm？(3)△PBQ的面积能否等于8cm2？【变式5.2】（2021·江苏泰州·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度运动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：(1)点P运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2；(2)设点P运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围.∠ABC＝30°.点P从点B出发，沿B→A→C以每秒3cm的速度向终点C运动，同时点Q从点B出发以每秒3cm的速度向终点C运动，其中一点到达终点即停止．设点P的运动时间为t.(1)当t＝2秒时，求△BPQ的面积；(2)PQ能否与△ABC的一条边平行，如果能，求出此时t的值；如不能，说明理由；(3)△BPQ的面积能否为△ABC面积的三分之一？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由.【考点6】图表信息问题【例6】（2022·全国·九年级专题练习）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过x度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过x度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费.(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了x度的规定，试写出超过部分应交的电费用含x的代数式表示）(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的x度是多少.月份用电量/度交电费总数/元2月2545【变式6.1】（2022·全国·九年级专题练习）某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费.（1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？（2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况：月份用水量（吨）交水费总金额（元）462524根据上表数据，求规定用水量a的值【变式6.2】2021·全国·九年级专题练习）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）.（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；月份用水量（吨）交水费总金额（元）47705540根据上表数据，求规定用水量a的值.【变式6.3】（2020·内蒙古·二模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定．某市规定：月用水量不超过规定标准a吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：月份用水量（吨）交费总数（元）7264895（1）求出该市规定标准用水量a的值；（2）写出交费总数y（元）与用水量x（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？【考点7】数字问题【例7】（2020·山西临汾·模拟预测）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11−3×17=48，13×15−7×21=48．不难发现，结果都是48.（1）请证明发现的规律；（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数的最大数；（3）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最接判断他的说法是否正确不必叙述理由）【变式7.1】（2022·全国·九年级课时练习）解读诗词(通过列方程算出周瑜去世时的年龄)：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄.【变式7.2】（2021·江苏苏州·九年级期中）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题：（1）第5个图案中黑色三角形的个数有个.（2）第n个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理.【变式7.3】（2022·全国·九年级专题练习）2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数：若不能请说明理由.【考点8】工程问题【例8】（2022·重庆市第七中学校一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万.(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米.(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖a米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖a米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多(7a−12)万元．求a的值.【变式8.1】（2022·重庆巴蜀中学二模）为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每小时铺设路面60米.(1)由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多，当这个工程完工时，小型设备的使用时间为多少小时？(2)通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的里程39000米多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比原计划增加了18m小时，同时，因为新增的工人操作大型设备不够熟练，使得比原计划每小时下降了m米，使用时间增加了(150+2m)小时，求m的值.【变式8.2】（2022·全国·九年级专题练习）“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽数比乙组2天加工的粽数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单.(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽；(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽？【变式8.3】（2022·云南·云大附中九年级期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题.(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？【考点9】行程问题【例9】（2021·安徽·郎溪实验一模）甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？【变式9.1】（2022·全国·九年级专题练习）一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车.（1）从刹车到停车用了多少时间？（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？【变式9.2】（2018·福建泉州·九年级期中）某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程lcm与时间ts满足关系：l=t2+t（t≥0），乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm.（1）甲运动4s后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？【变式9.3】（2019·河南·郑州四中实验学校九年级期中）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x（0＜x＜0.5）.注：步数×平均步长＝距离.（1）根据题意完成表格填空；（2）求x的值；（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求王老师这500米的