专题1.10相似精讲精练

1.比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项.（2）常用的性质有：①内项之积等于外项之积．若=,则ad=bc.②合比性质．若,则③分比性质．若=,则=.④合分比性质．若,则⑤等比性质．若==…=，则2.比例线段（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系.3.平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.4.相似图形（1）相似图形我们把形状相同的图形称为相似图形.（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况.（3）相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.5.相似多边形的性质（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形.（2）相似多边形对应边的比叫做相似比.（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形.（4）相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等.6.相似三角形的判定（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.7.相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等.（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可.8.相似三角形的应用（1）利用影长测量物体的高度.①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决.②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度.（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）.①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形.②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度.（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.9.作图—相似变换（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形.10.相似三角形的性质相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似.（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比.（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方.由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方.11.位似变换（1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行.（2）位似图形与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.12.作图-位似变换（1）画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小.（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求.②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的.【考点1】相似图形【例1】（襄都区期中）如图，在矩形、锐角三角形、正方形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图不一定相似的是()A．矩形B．锐角三角形C．正方形D．直角三角形【变式1.1】（静安区校级期中）下列图形中一定相似的是()A．直角三角形都相似B．等腰三角形都相似C．矩形都相似D．等腰直角三角形都相似【变式1.2】（奉贤区期中）下列各组图形中，一定相似的是()A．两个等腰直角三角形B．各有两边长是4和5的两个直角三角形C．各有两边长是4和5的两个等腰三角形D．各有一个角是40°的两个等腰三角形【变式1.3】（南海区期中）下面四个选项中的一般三角形、等边三角形、正方形、矩形的各边分别等距向外扩张1个单位，那么扩张后的几何图形与原几何图形不一定相似的是()B.D.【考点2】相似图形的性质A．100oB．110oC．120oD．130o【变式2.2】（晋州市期中）矩形相邻的两边长分别为25和x（x＜25把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为()A．5B．5√5【变式2.3】（双柏县期中）如图所示，已知矩形ABCD的边AD长为8cm，边AB长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是()A．21cm2B．24cm2C．27cm2D．30cm2【考点3】比例的性质【变式3.2】（龙岗区期中）若3m＝4n（mn≠0则下列比例式成立的是()【变式3.3】（大埔县期中）已知且b+2d﹣f≠0，则的值为()【考点4】平行线分线段的性质【例4】（镇平县期中）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，则CE：BC=()【变式4.1】（富川县期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE=【变式4.2】（钟山区期末）已知线段m，n，求作线段x，使得，下列作图正确的是()B.D.【变式4.3】（滨湖区校级期中）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果=那么等于()B.【考点s】相似三角形的判定条件【例5】（上蔡县期中）如图，在△ABC中，AB＞AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，连接DC；再以点D为圆心，DC长为半径画弧，交CB的延长线于点E．若BE＝BD，∠E＝15°,AD=1，则下列结论正确的是()C.△EBD∽△EDCD．S△ABC=【变式5.1】（来安县期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，那么下列条件中，不能判D.【变式5.2】（梁山县期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似B.D.【变式5.3】（东明县期末）如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD、CD上的点，①∠BEF＝90°,则图中①、②、③、④四个三角形中，一定相似的是()【考点6】相似三角形的性质【例6】（渭滨区期末）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为()【变式6.1】（渝中区校级期末）已知两个相似三角形的对应边之比为9：4，则这两个相似三角形的周长之【变式6.2】（肇源县模拟）如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是()A．12B．16C．12或16D．以上都不对【变式6.3】（永嘉县校级模拟）两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD，其中△ADH∽△BAE，△ADH≌△CBF，△ABE≌△CDG．若EF：FG＝1：2，AB：BC＝2：3，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积之比为()B.D.【考点7】位似【例7】（吉安县期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若OA＝2，则点G的坐标为()A3，6）B4，8）C6，12）D6，10）【变式7.1】（建平县期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为()A3，1）B3，3）C4，1）D4，4）【变式7.2】（沙坪坝区校级期中）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3，若△DEF的周长为6，则△ABC的周长是()【变式7.3】（襄都区校级月考）如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F、顺次连接得到△DEF，下列结论：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长之比1：2；④△ABC与△DEF的面积之比为2：1.其中结论正确的个数是()【考点8】相似三角形的性质与判定【例8】（上蔡县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD为BC边的中线，DE⊥AB于点E.（1）证明：△BDE∽△CAD；（2）若AB＝13，AD＝12，求的值.【变式8.1】（费县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，∠C=∠DEA.（1）求证：△ADE∽△DEC；（2）若CE＝4，DE＝6，求AD的长.【变式8.2】（蓝山县期末）在矩形ABCD中，F为AD的中点，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF.（1）求证：△DEF∽△BEC；（2）求cos∠BFE的值；（3）当BD＝6时，求CD的长度.【变式8.3】（吉安县期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，点D在AB上.（1）当△ABC∽△CBD时，求BD的长；（2）在（1）中的CD是否平分∠ACB？如果平分，说明理由；如果不平分，利用备用图，画出∠ACB的平分线CD（CD交AB于D并求BD的长.【考点9】相似三角形的应用【例9】（龙泉驿区期中）小刚测量一棵树的高度，如图所示，他把镜放在水平地面上的C点，沿着直线BC后退到点F，这时恰好在镜里看到树梢顶点A的像，量得BC＝8米，CF＝2米．已知EF，AB均与地面BF垂直，小明的眼睛距离地面1.6米（即EF＝1.6米请你求出树AB的高.【变式9.1】（旅顺口区期中）如图，小明同学用自制的直角三角形DEF测量树的高度AB，∠DEF＝90°,DF＝0.5m，EF＝0.3m．他调整自己的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线，测得边DF离地面高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB.【变式9.2】（浑南区期中）如图，有一块面积为48cm2的待加工材料△ABC，BC＝12cm，将它加工成一个矩形零件EFGH，矩形一边上的两个顶点E，F落在BC上，另两个顶点H，G分别在AB，AC上.（1）求证：△AHG∽△ABC；（2）当矩形EFGH的面积为△ABC的面积一半时，求矩形的长和宽分别是多少厘米？【变式9.3】（滨湖区校级期中）为了测量学校旗杆上旗帜的宽度MN，如图，点P、G、C、A在同一水平直线上，MG⊥PA，先是小红在C处竖立一根标杆BC（BC⊥PA地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上（N在MG上BC＝1.5米，AC＝1米，AG＝8米；后是贺小明在P处手持自制直角三角纸板DEF（DP⊥PA其中EF＝0.1米，DF＝0.2米，使长直角边DF与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，DP＝1.5米，PG＝23.6米，请你根据两次测量的结果，求出旗帜的宽度MN.【考点10】相似三角形动点问题【例10】（灞桥区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝6cm，D是AC上一点，AD=2cm，点P从C出发沿C→B→A方向，以1cm/s的速度运动至点A处，线段DP将△ABC分成两部分，其中一部分与△ABC相似，设运动时间为t.（1）当P在线段BC上运动时，BP当P在线段AB上运动时，BP请用含t的代数式表示（2）求出满足条件的所有t值.【变式10.1】（罗湖区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°,AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式.（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？【变式10.2】（新城区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以5cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为ts（0＜t＜2连接PQ.（1）若△BPQ和△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值.【变式10.3】（赣榆区期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°,A发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2连接PQ.（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值.【考点11】相似与位似作图问题【例11】（钟山区期末）如图①,在△ABC中，点P是AB边上的一个动点（点P不与A、B重合过点P的直线PE与AC交于点E使∠AEP=∠B.（1）试判断△ABC与△AEP的关系，并说明理由.（2）若把满足（1）的直线PE称作“△ABC的一条相似线”，在图②的△ABC中，∠A＝36°,AB=AC，且点P在AC垂直平分线上，请问过点P的“△ABC的相似线”有几条？并在图②中作出所有过点P的“△ABC的相似线”.【变式11.1】（王益区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°.请用尺规作图法在AC边上求作一点D，使得△BDC∽△ABC保留作图痕迹，不写作法）【变式11.2】（兴庆区模拟）在平面直角坐标系中，已知线段A1B1与线段AB关于原点O中心对称，点A1(﹣1，2）是点A的对应点，点B1是点B（3，1）的对应点.（1）画出线段AB和A1B1；（2）画出线段AB以点O为位似中心，位似比为1：2的线段A2B2，并直接写出的值.【变式11.3】（北海期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度，△ABC三个顶点坐标分别为A（0，3B（3，4C（2，2）.（1）作出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）以点B为位似中心，在网格内将△ABC放大为原图形的2倍，得到△A2BC2，并写出点A2的坐标.【考点12】相似综合问题【例12】（砀山县月考）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全