专题2.10圆的有关性质大题专练（培优强化30题）（原卷版）

一、解答题12021·福建·平潭翰英中学九年级期中）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD.(1)求证：∠DAC=∠DBA；(2)求证：P是线段AF的中点；(3)连接CD，若CD＝6，BD＝8，求⊙O的半径和DE的长.22021·北京·九年级期中）已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接BC，过点O作OD⊥BC于D，交于点E，连接AE，交BC于F.(1)如图1，求证：∠BAC=2∠E.(2)如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF=1，求AE的长.32022·全国·九年级单元测试）问题提出问题探究（2）如图②,⊙O的半径为5，点A、B、C都在⊙O上，AB=8，求△ABC面积的最大值.问题解决（3）如图③,是一圆形景观区示意图，⊙0的直径为80m，等腰直角三角形ABP的边AB是⊙0的弦，直角顶点P在⊙0内，延长AP交⊙0于点C，延长BP交⊙0于点D，连接CD、AD、BC．现准备在△ABP和△CDP区域内种植草坪，在△ADP和△BCP区域内种植花卉．记△ABP和△CDP的面积和为S1，△ADP和△BCP的面积和为S2.①求种植草坪的区域面积S1.②求种植花卉的区域面积S2的最大值.42022·江苏·泰州市民兴中英文学校九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E.(1)求证：AB=AC.(2)若BD=18，DE=2，求CD的长.52022·黑龙江哈尔滨·九年级期末）△ABC内接于⊙0，连接0B，∠ACB=2∠0BC.(3)如图3，在（2）的条件下，点E在圆周上（若与点C位于AB的两侧连接EB、EC，若∠ABE=2∠BAC，BC=EC，CD=3，求⊙O的半径长.62021·湖南长沙·九年级阶段练习）如图，已知抛物线y=mx2−8mx−9m与x轴交于A，B两点，且与y轴交于点C（0，-3∠ACB=90°,过A，B，C三点作⊙O'，连接AC，BC.(2)点E是AC延长线上的一点，∠BCE的平分线CD交⊙O'于点D，求点D的坐标，并直接写出直线BC和直线BD的解析式；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.72022·江苏淮安·九年级期中）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形.(1)如图1，点C是弧BD的中点，∠DAB是弧BD所对的圆周角，AD>AB，连接AC、DC、CB与△ACD是偏等三角形.(2)如图2，△ABC与△DEF是偏等三角形，其中∠A=∠D，AC=DF，BC=EF，猜想结论：一对偏等三角形中，一组等边的对角相等，另一组等边的对角．请填写结论，并说明理由．(以△ABC与△DEF为例说明)；等三角形，AD>CD，求AD的值.82020·河南·新乡市第十中学九年级期中）已知：如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，D为⊙O上异于A、C的一点.(1)若AD＝CD，∠ADC＝130°,则∠DAB=.(2)连接OD，BC若OD∥BC，求证：AD＝CD.92022·全国·九年级单元测试）【模型构建】如图1，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AB=连结AE．易证△ABC≌△ADE．进而把四边形ABCD的面积转化为△ACE的面积，则四边形ABCD的面积【应用】如图2，⊙O为△ABC的外接圆，AB是直径，AC＝BC，点D是直径AB左侧的圆上一点，连接DA，DB，DC．若CD＝4，求四边形ADBC的面积；【灵话运用】如图3，在四边形ADBC中，连结AB、CD，∠CAB=∠ACB=∠BDC=60°,四边形ADBC的面积为43，则线段CD=.102021·江西景德镇·九年级期中）如图，在⊙0中，AB为⊙0的直径，点C为⊙0内一点，请用无刻度直尺完成下列作图.(1)如图①,在△ABC中，作出BC边的高AD.(2)如图②,在△ABC中，作出AB边的高CF.112021·山东·无棣县教育科学研究中心九年级期中）如图，在⊙O中CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.(1)求证：CD＝CE；(2)若∠AOB＝120°,OA＝2，求四边形DOEC的面积.122022·江西景德镇·九年级期中）如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，请用无刻度直尺完成下列作图.(1)如图1，以点C或点B为顶点作一锐角，使该锐角与∠CAB互余（并标记）.(2)如图2，已知AD∥BC交⊙O于点D，过点A作AE将∠BAC平分.132022·湖南·九年级期中）如图，∠A的两边分别交⊙O于D、B、C、E四点，AE＝AD，连接CD、BE交于点F，连接BC、DE.(1)请写出三对全等三角形（不再添加任何线或字母(2)任选一对全等三角形加以证明.142021·浙江·嵊州市三界镇中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E.(1)求证：BD=CD.(2)若弧DE=50°,求∠C的度数.(3)过点D作DF⊥AB于点F，若BC=8，AB=10，求DF的长.152022·浙江·九年级单元测试）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC，其中∠A=∠D.(2)若CD=EG=8，求⊙O的半径.162022·全国·九年级单元测试）如图，已知ABCD是某圆的内接四边形，AB=BD，BM⊥AC于M，求证：172021·广东·广州市第二中学南沙天元学校九年级阶段练习）如图1，点D为△ABC的外接圆上的一动点（点D在上，且不与点A，C重合∠ADB=∠BAC＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)连接CD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；(3)如图2，记BD与AC交于点E，过点E分别作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，连接MN，若AB＝6，求MN的最小值.182022·贵州六盘水·中考真题）牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴爬来爬去，下图是月亮洞的截面示意图.(1)科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1m(2)若∠COD=162°,点M在上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况.192021·河南洛阳·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,∠C=30°,以边AC上一点O为圆心，以OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F.(2)填空：①当∠AOE为度时，四边形ABDE是菱形；②当∠AOE为度时，△ADE是直角三角形.202022·江西赣州·九年级期末）按要求作图(1)如图1，已知AB是⊙O的直径，四边形ACDE为平行四边形，(2)如图2，已知AB是⊙O的直径，点C是的中点，AB∥CD，请你用无刻度的直尺在射线DC上找一点P，使四边形ABPD是平行四边形.212022·上海奉贤·二模）图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆AB的中点即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线通过滑动A、B可以调节CD的高度．当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值10cm，在支架水平放置的状态下：(1)当滑动杆AB的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD的高度.(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（AE=AB求该手机的宽度.222022·江苏·泰州市姜堰区第四中学九年级）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC(1)当BC=1时，求线段OD的长；(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；(3)在△DOE中是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数，如果不存在，请说明理由.仅用无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线；（2）如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC的中点．请仅用无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线；（3）如图3，⊙O为△ABC的外接圆，BC是非直径的弦，D是BC的中点，连接OD，E是弦AB上一点，且DE//AC，请仅用无刻度的直尺，确定出△ABC的内心I（三条角平分线的交点）.242022·上海普陀·二模）如图，已知矩形ABCD中，AD=5，以AD上的一点E为圆心，EA为半径的圆，经过点C，并交边BC于点F（点F不与点C重合）.(1)当AE=4时，求矩形对角线AC的长；(2)设边AB=x,CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)设点G是的中点，且∠GEF=45°,求边AB的长.252022·山西·寿阳县教研室九年级期末）所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息,它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等．在解决它们的过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．主要包括以下类型：①概念的“新定义”；②运算的“新定义”；③新规则的“新定义”；④实验操作的“新定义”；⑤几何图形的新定义．如果我们新定义一种四边形：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.(1)如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C＝请你利用所学知识求出∠B与∠C的度数之和；(2)如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO.∠OBA的平分线交OA于点E，连接DE并延长交AC于点F，若∠AFE＝2∠EAF．请你判断四边形DBCF是不是半对角四边形？并说明理由.262022·江苏·九年级课时练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（公元前287年一公元前212年伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家.阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理.阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦BC>AB，M是AC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD=AB+BD，过程如下：证明：如图2所示，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG.∵M是AC的中点，∴MA=MC，⋯任务：(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=4，D为上一点，∠ABD=45°,AE⊥BD于点E，请直接写出△BDC的周长.272021·江苏镇江·九年级期中）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P.(2)若的度数为m度、的度数为n度，猜想：∠APD的度数与m、n之间的数量关系，并证明你的结论282020·浙江宁波·九