专题21 解题技巧专题：确定一次函数的表达式之六大类型-苏科版八年级《数学》上册重难点专题提优训练（解析版）

第第页专题21解题技巧专题：确定一次函数的表达式之六大类型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一已知一点求正比例函数的表达式】 1【类型二已知一点求一次函数中K值或b值】 3【类型三已知两点求一次函数的表达式】 5【类型四已知两直线平行，求直线的表达式】 8【类型五两直线平移，求直线的表达式】 11【类型六已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式】 12【过关检测】 15【典型例题】【类型一已知一点求正比例函数的表达式】例题：（2023下·河南许昌·八年级统考期末）已知正比例函数图象经过点．(1)求此正比例函数的解析式；(2)点是否在此函数图象上？请说明理由．【答案】(1)(2)点不在此函数图象上，理由见解析【分析】（1）设正比例函数解析式为，把已知点坐标代入求出的值，即可确定出解析式；（2）把代入解析式计算求出的值，即可作出判断．【详解】（1）解：设正比例函数解析式为，把代入得：，解得：，则正比例函数解析式为；（2）解：把代入得：，，点不在函数图象上．【点睛】此题考查了待定系数法求正比例函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．【变式训练】1．（2023上·上海浦东新·八年级统考期中）若正比例函数的图象经过点．

(1)求出这个函数的解析式；并画出它的图象；(2)点B的坐标为，上述正比例函数图象上有一动点P，若点P在第二象限内，且设的面积为S，当S的值为2时，求出点P的坐标．【答案】(1)，图象见解析(2)或【分析】（1）将点A代入函数解析式，求出k值，可得解析式，再根据正比例函数的特征画图即可；（2）设，分点P在点A右侧，点P在点A左侧两种情况，根据点的坐标和三角形面积公式列出方程，求出a值即可得解．【详解】（1）解：∵正比例函数的图像经过点，∴，解得：，∴，画图如下：

（2）由题意可设：，当点P在点A右侧时，，解得：；此时；当点P在点A左侧时，解得：；此时；综上：点P的坐标为或．

【点睛】本题考查了求一次函数解析式，画一次函数图象，三角形的面积，解决问题的关键是掌握三角形面积的计算方法，分情况讨论问题．2．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）已知正比例函数过点，点在正半轴上，又，且．(1)求正比例函数解析式；(2)判断点和是否在这个函数图象上，并说明理由；(3)当时，直接写出函数值的取值范围；(4)点的坐标为【答案】(1)(2)点不在这个函数图象上，点在这个函数图象上，理由见解析(3)(4)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）将和代入求解即可；（3）首先求出当和时y的值，然后利用一次函数的增减性求解即可；（4）设点P的坐标为，然后表示出，然后利用列方程求解即可．【详解】（1）解：设正比例函数为，，，解得，正比例函数的解析式为：．（2）点不在这个函数图象上；点在这个函数图象上理由：当时，，即点不在这个函数图象上当时，即点在这个函数图象上（3）当时，当时，∵∴y随x的增大而减小∴函数值的取值范围为；（4）设点P的坐标为∵点在正半轴上，∴∵∴∴解得或0（舍去）∴∴点的坐标为．【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数表达式，一次函数的图象和性质，坐标与图形，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数表达式．【类型二已知一点求一次函数中K值或b值】例题：（2023下·福建莆田·八年级校考期中）已知直线上l：经过点．(1)求直线l的解析式；(2)判断点是否在直线l上，请说明理由．【答案】(1)(2)在直线l上，理由见详解【分析】（1）根据待定系数法可求解函数解析式；（2）把代入（1）中解析式进行求解即可．【详解】（1）解：把点代入解析式得：，解得：，∴直线l的解析式为；（2）解：由题意可把代入得：，∴点在直线l上．【点睛】本题主要考一次函数的图象与性质，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考期中）已知一次函数，当时，．(1)求的值；(2)设该函数图像与轴的交点为，求点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据待定系数法求解即可得到答案；（2）根据一次函数与轴的相交，令即可得到答案．【详解】（1）解：一次函数，当时，，，解得；（2）解：函数图像与轴的交点为，当时，，解得，．【点睛】本题考查一次函数图像与性质，涉及待定系数法求解析式，一次函数与轴的交点等，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键．2．（2023下·甘肃定西·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．(1)求k的值；(2)若将这个一次函数的图象向上平移2个单位长度，求平移后的函数图象与y轴的交点坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）把代入得到方程，解方程即可；（2）根据平移规则“上加下减”先求出平移后得函数解析式，再令求得即可得出交点坐标．【详解】（1）解：把代入得：，解得，（2）解：由（1）知将这个一次函数图象向上平移两个单位后得到的函数解析式是令，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为．【点睛】本题考查求一次函数的解析式、一次函数的平移及一次函数图象与坐标轴的交点问题，掌握待定系数法和一次函数的图象平移的性质是解题的关键．【类型三已知两点求一次函数的表达式】例题：（2023下·四川自贡·八年级统考期末）已知一次函数的图象经过点和．(1)求出该函数的解析式；(2)求出该函数图象与轴的交点坐标．【答案】(1)．(2)．【分析】（1）设一次函数的解析式为，把点和代入解析式求得与的值即可；（2）令一次函数解析式中的，求得的值可得结果．【详解】（1）设一次函数的解析式为，一次函数的图象经过点和，，解得．一次函数的解析式为．（2）当时，，解得，该函数图象与轴的交点坐标是．【点睛】此题主要是考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，能够熟练掌握待定系数法是解答此题的关键．【变式训练】1．（2023下·海南海口·八年级校考期中）已知一次函数的图像经过点和点．(1)求该一次函数的解析式；(2)求当时，所对应的x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把坐标代入，解方程组，可得k、b；（2）把代入函数解析式，即可求出x．【详解】（1）解：将，代入中，得：，解得：，∴；（2）令，则，解得：．【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、用待定系数法求一次函数的解析式，能求出函数的解析式是解此题的关键．2．（2023下·辽宁大连·八年级统考期末）已知一次函数的图象经过点与．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当时，求y的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）把点与代入，再建立方程组可得答案；（2）计算，，结合随的增大而增大可得答案．【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点与，∴，解得：，∴这个一次函数的解析式为：；（2）当时，，∵，随的增大而增大，∴；【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，掌握待定系数法与一次函数的增减性是解本题的关键．3．（2023春·海南海口·八年级海口市第十四中学校考阶段练习）已知一次函数的图象经过点和点，且点B在正比例函数的图象上．(1)求a的值；(2)求一次函数的表达式(3)若，是此一次函数图象上两点，试比较与的大小．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把B点坐标代入正比例函数解析式即可求出a的值；（2）把点A和B点坐标分别代入得到关于k和b的方程组，然后解方程组求出k和b，从而得到一次函数解析式；（3）根据一次函数的性质求解．【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上，∴，∴；（2）解：由(1)可得点B的坐标为，将和代入中，得，解得，∴一次函数的解析式为；（3）解：∵，∴y随x的增大而减小．又∵，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．【类型四已知两直线平行，求直线的表达式】例题：（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）若一次函数图象与直线平行，且过点，则此一次函数的解析式是______．【答案】##【分析】设一次函数的解析式是，根据两直线平行求出，把点的坐标代入函数解析式，求出b即可．【详解】解：设一次函数的解析式是，∵一次函数图象与直线平行，∴，即，∵一次函数的图象过点，∴代入得：，解得：，即，故答案为：．【点睛】本题考查了两直线平行和用待定系数法求一次函数的解析式，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．【变式训练】1．（2023春·八年级单元测试）已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么一次函数的表达式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两直线平行，结合题意即可设一次函数解析式为，再利用待定系数法求解即可．【详解】解：∵一次函数的图象与直线平行，∴可设一次函数解析式为：．将点代入，得：，解得：，∴一次函数的表达式为：．故选B．【点睛】考查了一次函数图象平行的问题．解题关键是明确一次函数图象平行时k的值不变，再利用待定系数法求解析式．2．（2023·天津和平·统考一模）已知直线（，为常数，）与直线平行，且与直线交于轴的同一点，则此一次函数的表达式为_____________．【答案】【分析】根据直线与直线平行得到的值；再根据与直线交于轴的同一点得到的值，进而得出函数的表达式．【详解】解：∵直线（，为常数，）与直线平行，∴，∵直线与轴的交点坐标为，且直线与直线交于轴的同一点，∴直线（，为常数，）与轴的交点坐标为，∴，∴直线的解析式为：，故答案为：．【点睛】本题考查了平面直角坐标系内两条平行直线的函数解析式的性质，平面直角坐标系内直线与轴的交点问题，熟知两直线平行则相等是解题的关键．3．（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点(－2，4)，且与正比例函数y＝2x的图像平行．(1)求一次函数y＝kx＋b的表达式；(2)求一次函数y＝kx＋b的图像与坐标轴所围成的三角形的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据两个函数的图像平行可得，再将点代入即可得；（2）先分别求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可得．【详解】（1）解：一次函数的图像与正比例函数的图像平行，，一次函数的解析式为，将点代入得：，解得，则一次函数的解析式为．（2）解：画出一次函数的图像如下：当时，，解得，即，当时，，即，则一次函数的图像与坐标轴所围成的三角形的面积为．【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质、一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．【类型五两直线平移，求直线的表达式】例题：（2023秋·江苏徐州·八年级统考期末）将一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度，所得直线对应的函数表达式为______．【答案】【分析】根据函数图象的平移法则求解即可．【详解】解：∵把一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，∴平移后所得图象对应的函数关系式为：，即．故答案为：．【点睛】本题考查一次函数图象的平移，熟记法则是解题关键．【变式训练】1．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）将正比例函数的图象平移后经过点．(1)求平移后的函数表达式；(2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一次函数平移规律，设平移后的解析式为，将点，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据解析式求得与坐标轴的交点坐标，即可求解．【详解】（1）解：依题意，设平移后的解析式为，将点，代入得，，解得：，∴平移后的函数表达式为：；（2）解：由，令，解得，令，解得：，如图，设一次函数，分别与坐标轴交于点，则∴平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为．【点睛】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，根据平移求得解析式是解题的关键．2．（2023上·安徽滁州·八年级校联考阶段练习）已知一次函数的图像与直线平行，且经过点．(1)求这个函数的解析式．(2)判断点，是否在此一次函数的图像上．【答案】(1)(2)点在此一次函数的图像上【分析】（1）两直线平行，则直线对应的一次函数解析式值相等；再将点代入解析式即可求解；（2）令，代入函数解析式观察函数值是否等于即可进行判断．【详解】（1）解：由题意可知，解得

∴这个函数的解析式为（2）解：当时，∴点在此一次函数的图像上．【点睛】本题考查了一次函数的解析式、判断给出的点是否在一次函数图象上．求出解析式是解题关键．【类型六已知含y与含x的多项式成正比例，求函数表达式】例题：（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知与成正比例，且当时，．(1)求y与x之间的函数解析式；(2)若点在这个函数图像上，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据y与成正比例，设y与x的函数表达式，然后将，代入求解即可；（2）将代入函数表达式中可得到关于n的一元一次方程，然后解一元一次方程求出n的值．【详解】（1）解：由与成正比例可设：；将，代入得：，解得：与的函数解析式为：；（2）解：将点代入中得：解得：．【点睛】本题考查了正比例函数、待定系数法求一次函数的表达式、一次函数图像与函数关系式；其中熟练运用待定系数法求参数的值，是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023上·上海黄浦·八年级统考期中）已知与成正比例，且当时，，求：(1)与的函数关系式；(2)当时，的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正比例函数的定义，设，待定系数法求解析式即可求解；（2）将代入（1）中函数关系式即可求解．【详解】（1）解：与成正比例，∴设，将，代入，得，∴∴，即．（2）当时，，解得．【点睛】本题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，求函数值，掌握正比例函数的定义是解题的关键．2．（2023上·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）已知与成正比例，且当时，．(1)求与的函数关系式；(2)求此函数图象与坐标轴围成的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正比例函数的定义，设，待定系数法求解析式，即可求解；（2）根据（1）的解析式，分别求得坐标轴的交点，进而根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）解：∵与成正比例，∴设，∵时，.∴，解得，∴，即．（2）由（1）知，当时，，当时，，此函数图象与坐标轴围成的面积．【点睛】本题考查了正比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2023下·江苏南通·八年级统考期中）已知正比例函数的图象经过点，则的值等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值．【详解】解：正比例函数的图象经过点，，解得：，的值等于．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．2．（2023下·河南南阳·八年级校考阶段练习）若一次函数，y随x的增大而减小．当时，当时．则它的解析式为（）A． B． C．或 D．以上都不对【答案】B【分析】将当时，当时代入解析式求解即可得到答案；【详解】解：∵当时，当时，∴，解得：，∴，故选B；【点睛】本题考查求一次函数的解析式，解题的关键是正确求解二元一次方程组．3．（2023上·广东广州·八年级南海中学校考期中）如图，已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点A，则一次函数的表达式为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出点A的坐标，然后运用待定系数法就可求出一次函数的表达式．【详解】解∶∵点A的横坐标为2，∴，∴点A的坐标为，设一次函数的表达式为，当时，则，解得，∴一次函数的表达式为．故选∶B．【点睛】本题主要考查了直线图象上点的坐标特征、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，根据题意确定直线上两点的坐标是关键．4．（2023下·山东德州·八年级校考阶段练习）若与成正比例，且时，，则y关于x的函数解析式为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，待定系数法求出的值即可．【详解】解：由题意，设，∵时，，∴，解得：；∴，∴；故选B．【点睛】本题考查求一次函数的解析式，熟练掌握正比例函数的定义，是解题的关键．二、填空题5．（2023下·福建福州·八年级统考期末）若直线经过，则．【答案】【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．【详解】解：直线经过，，．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．6．（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考期中）若直线与直线平行，且过点，则该直线的表达式为．【答案】【分析】先根据两直线平行的问题得到，然后把点坐标代入中求出即可．【详解】解：∵直线与直线平行，把代入得，∴所求直线解析式为．故答案为：．【点睛】本题考查了两直线平行的问题：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同．7．（2023上·安徽滁州·八年级校联考阶段练习）已知y关于x的一次函数，函数图象经过点，则；当时，y的最大值是．【答案】2【分析】根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【详解】解：把代入得，，所以，中，y随x的增大而增大，所以在范围内，当时，y的最大值是．故答案为：2，．【点睛】此题考查一次函数图象上的坐标特点，解题关键在于熟练掌握直线上任意一点的坐标都满足函数关系式，对于一次函数求极值问题可通过增减性求，也可以代特殊值求出．8．（2023下·山东德州·八年级统考期末）如图，直线：分别与，轴交于、B两点，过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且，直线的函数解析式为．

【答案】【分析】根据点在直线：，求出的值，继而求出点的坐标，再根据，求出点的坐标，设直线的函数解析式：，把，两点代入，解出，，即可．【详解】∵点在直线：，∴，解得：，∴直线：，当时，，∴，；∵，∴，∵点在轴的负半轴，∴，∴设直线的函数解析式：，∴，解得：，∴直线的函数解析式为：，故答案为：．【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解一次函数的解析式．三、解答题9．（2023下·福建厦门·八年级厦门市华侨中学校考期末）已知：一次函数，当时，；(1)求这个一次函数的解析式，并画出此函数的图象；(2)把此函数图象向上平移2个单位，直接写出所得的函数图象的解析式．【答案】(1)一次函数的解析式为；图象见解析(2)【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式，然后利用两点画出函数图象即可．（2）根据一次函数图象平移时“上加下减”的原则进行解答即可．【详解】（1）解：一次函数，当时，，，解得，这个一次函数的解析式为：；一次函数图象与坐标轴的交点为，，画出函数图象为：（2）解：由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向上平移2个单位所得函数的解析式为：．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解题关键．10．（2023下·江西赣州·八年级统考期末）已知一次函数的图象过点与．(1)求这个一次函数的解析式；(2)若将这个一次函数的图象向上平移个单位，求平移后的图象与轴的交点坐标．【答案】(1)一次函数解析式为；(2)平移后的图象与轴的交点坐标为【分析】（1）设出一次函数的解析式是，然后把经过的点的坐标代入，求解得到、的值即可得解；（2）根据平移的方向和距离得到平移后的解析式，然后令，即可求得的值，从而得到图象与轴的交点坐标．【详解】（1）解：设一次函数的解析式是，将点与的坐标代入得：，解，一次函数解析式为；（2）将沿轴向上平移个单位，所得直线的解析式为，令得；，所以．平移后的图象与轴的交点坐标为．【点睛】本题主要考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的平移，求出一次函数解析式是解题的关键．11．（2023下·山东德州·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数图象是由直线平移得到的，且经过点，交y轴于点B．(1)求此一次函数的表达式；(2)若点P为此一次函数图象上一点，且的面积为10，求点P的坐标．【答案】(1)y＝－x＋5．(2)或．【分析】（1）由该一次函数是由直线平移得到的可是此一次函数的表达式为，再根据点A的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）设点P的坐标为，将代入一次函数解析式中求出y值，由此即可得出的长度，再根据三角形的面积公式结合的面积为10即可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m值，将其代入点P的坐标中即可得出结论．【详解】（1）设此一次函数的表达式为，将代入，，解得：．∴此一次函数的表达式为．（2）设点P的坐标为，当时，，∴点，∴．∴，解得：或．∴点P的坐标为或．

【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据三角形的面积公式结合△POB的面积为10列出关于m的含绝对值符号的一元一次方程．12．（2023下·重庆渝北·八年级重庆市松树桥中学校校考期中）已知y与成正比例，当时，．(1)求y与x之间的函数解析式；(2)①当时，求x的值，②判断点是否在该函数的图象上，说明理由．【答案】(1)(2)①，②不在，理由见解析.【分析】（1）已知y与成正比例，可设函数的解析式为，将时，代入即可求出；（2）①将带入即可求出x的值；②当时，，由此即可得出点不在该函数的图象上．【详解】（1）解：设函数的解析式为，∵当时，，∴，解得，∴函数的解析式为；（2）①当时，即，∴∴解得．②当时，，∴点是不在该函数的图象上.【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是通过待定系数法求出函数的解析式．13．（2023上·广西崇左·八年级校联考阶段练习）已知y关于x的函数关系式为(1)若函数图象经过原点，则k的值为，若函数的图象平行直线，则直线在y轴上的截距为；(2)若点在它的图象上，求这个函数的表达式；(3)在（2）的结论下，若x的取值范围是，求y的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据待定系数法，只需把原点代入即可求解的值；两条直线平行，即值相等，即，解得，即可得到，进一步即可求得截距为；（2）利用待定系数法求得即可；（3）求得和时的函数值，然后利用一次函数的性质即可得出结论．【详解】（1）解：把代入，得：，解得，∵函数的图象平行直线∴，解得，∴，令，则，∴直线在轴上的截距为，故答案为：；（2）∵点在它的图象上，∴，∴，∴这个函数的表达式为；（3）当时，，当时，，∵在中随的增大而减小，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，两条直线平行问题，熟知一次函数图象与系数的关系是解题键．14．（2023下·江西新余·八年级统考期末）如图，为，过点的一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点．

(1)求该一次函数的解