高中数学选择性必修一课件：第二课时 空间向量基本定理的应用(人教A版)

第二课时空间向量基本定理的应用课标要求素养要求通过运用空间向量基本定理，结合数量积运算，能证明空间线面的位置关系及求直线的夹角、两点间距离(线段长度).通过利用空间向量基本定理，培养学生的直观想象和数学运算素养.新知探究问题1.你能利用空间向量求AG的长度吗？2.你会求异面直线AB与GH夹角的余弦吗？1.空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得_______________.2.利用空间向量基本定理，结合数量积运算，可解决空间中平行、垂直关系的判断，异面直线所成的角及求线段的长等问题.p＝xa＋yb＋zc拓展深化[微判断]提示还需说明AB，CD无公共点.×√[微训练]1.棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD(

) A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法判位置关系答案C答案45°[微思考]

怎么利用空间向量求线段的长？角度2证明平行问题【例1－2】如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明：(1)EG∥AC；(2)平面EFG∥平面AB′C.角度2证明平行问题【例1－2】如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明：(1)EG∥AC；(2)平面EFG∥平面AB′C.规律方法(1)当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定.(2)证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题，利用向量共线的充要条件证明.【训练1】如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC.证明不妨设AD＝BD＝CD＝1，又∵BD⊥AD，AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ADC，∴BD⊥平面ADC.【训练2】如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长.【训练3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求BC1与AC夹角的大小.一、素养落地1.通过应用空间向量证明空间线面的位置关系及求直线的夹角和距离，提升直观想象和数学运算素养.2.证明空间中的直线、平面的垂直和平行，要分别结合相关的判定定理，转化为向量的运算；求空间两点间的距离或线段的长度一般转化为求对应向量的模；求两直线的夹角则转化为求向量的夹角(或其补角).答案B2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN＝________.3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC1与BC所成角的余弦值为________.4.已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.证明

∵AB⊥CD，AC⊥BD，备用工具&资料3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC1与BC所成角的余弦值为________.答案B答案45°[微训练]1.棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD(