9.4矩阵的初等变换与逆_第1页
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9.4矩阵的初等变换与初等矩阵1.矩阵的初等变换引例解方程组得方程组的解1．对方程组共进行了三种变换(1)交换两方程的位置；(2)方程两边乘以不为0的数k；(3)一个方程加上另一个方程的k倍.对上述作法进行归纳方程组的初等变换(同解变换)在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．将方程组的系数和常数按原来的顺序排列成数表，称为增广矩阵行列元素2．消元与回代的操作可通过增广矩阵来实现例如定义以下三种变换为矩阵的初等行变换矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换

同理可定义初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．任意矩阵A都可经过初等变换，可化成下列形式．等价类特点：如果矩阵A可经过初等变换变为B，则当detA不为零时，detB也不为零．反之亦然推论行列式不为零的矩阵A必可经过有限次初等变换变为单位矩阵二、逆矩阵的概念和性质定义

对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵

则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵.,使得例设逆矩阵的运算性质(2)若A可逆,则也可逆,且(3)若A可逆,数k

0,则kA可逆,且(4)若A,B为同阶方阵,且均可逆,则AB也可逆,且(1)若A可逆,则唯一推广(5)若A可逆,则AT也可逆,且(6)若A可逆,则有判定：n阶方阵A可逆n阶方阵A可逆n阶方阵A不可逆当时,称不可逆矩阵A为奇异矩阵或退化,时,称可逆矩阵A为非奇异矩阵或非退化当定义设A为n阶方阵，为A中元素的代数余子式.称为矩阵A的伴随矩阵.【注】(1)A中第i行第j列元素aij的代数余子式Aij是的第j行第i列的元素;

(2)

是由所有的代数余子式Aij所组成的矩阵.伴随矩阵.性质若A为n阶矩阵,为A的伴随矩阵,则非奇异矩阵

定理

矩阵可逆的充要条件是，且

其中为A的伴随矩阵.例2求方阵的逆矩阵.解同理可得故2、利用初等变换求矩阵的逆对(A，E)作初等行变换，当把A变为B时，E就变为P如果矩阵B是单位矩阵E，则对（A，E）作同样的初等行变换，那么当变成单位矩阵时，就变成。即，类似的初等列变换解：

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