5.3-多元函数积分学

5.3多元函数积分学5.3.1二重积分的概念与性质5.3.2二重积分的计算5.3.3二重积分的应用5.3.1二重积分的概念与性质1.引例1)曲顶柱体的体积所谓曲顶柱体是指，它的底是

面上的有界闭区域D，它的侧面是以D的边界线为准线，而母线平行于z轴的柱面，它的顶是由二元函数

所表示的曲面.下面用微元法求当时，该曲顶柱体的体积.（1）分割将区域分割成个小区域并以表示第个小区域的面积，这样所求曲顶柱体分成个以为底的小曲顶柱体；（2）取近似在每个小曲顶柱体的底上任取一点用以为高，为底的平顶柱体体积近似替代第个小曲顶柱体的体积，即(3)求和将这到原曲顶柱体体积的近似值，即个小平顶柱体的体积求和，得(4)取极限将区域分割得越细，就越接近于曲顶柱体的体积即其中λ=max{为中任意两点距离最大者(1≤i≤n)}2.二重积分的概念设二元函数定义在有界闭区域上，将任意分割成

个小区域并以表示该小区域的面积，在每个小区域任取一点作和式取为中任意两点距离最大者如果当时，此和式的极限存在，则称此极限值为函数在区域上的二重积分，记作其中称为被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分区域，称为积分变量，称为二重积分号3.二重积分的性质二重积分具有与定积分类似的性质，列举如下：性质1性质2性质3（区域可加性）如果将区域分割成和两部分，则性质4如果在区域为区域的面积,则性质5如果在区域上，性质6如果分别是函数上的最小值与最大值，为区域的面积，则性质7（二重积分中值定理）设函数在有界闭区域上连续，为区域的面积，则在上至少存在一点使得例5.3.1

比较二重积分与的大小，其中是由轴，轴与直线所围成的闭区域.解在则由性质5得例5.3.2

估计二重积分的值，其中是矩形闭区域：解因为在上有而的面积为2，由性质6得5.3.2二重积分的计算二重积分的计算主要化为二次定积分来计算，简称化为二次积分或累次积分.假设被积函数在区域上连续，由于它是一张连续曲面，因此总可以把二重积分看作以为底，曲面为顶的曲顶柱体的体积，下面我们从二重积分的几何意义来引出这种计算方法.1在直角坐标系下计算二重积分从二重积分的定义可以看出，区域

的划分是任意的.如果我们选择平行于坐标轴的直线网来划分区域那么除的边界小区域外都是矩形.从而如下图所示，因此，二重积分可以记作下面按积分区域的形状分三种类型来讨论二重积分的计算.（1）

型区域设平面区域由曲线及直线所围成，如图所示，这样的区域称为型区域.型区域可以用不等式组表示为在区域上任取一点作平行于面的平面所得截面为一个区间为底，曲线的曲边梯形，如上图所示的阴影部分，这个截面的面积为一般地，过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为于是，应用微元法得曲顶柱体的体积为这个体积也就是所求二重积分的值。或：（2）Y型区域设平面区域由曲线及直线所围成，这样的区域称为

型区域.

型区域

可以用不等式组表示为二重积分可以转化为先对

后对

的逐次积分，即xy（3）非

非

型区域如果区域

既非

型区域，又非

型区域，那么可以把区域

分成几个小区域，如图5.3.8所示，每个小区域可以看成是

型区域或

型区域.在直角坐标系下，二重积分可按以下步骤计算：第一步画出积分区域

；第二步选择区域

的类型；第三步化二重积分为二次积分.例5.3.3

计算二重积分其中区域由直线及轴所围成.解积分区域如图5.3.9所示，选择型区域，例5.3.4

计算其中区域

由抛物线及直线所围成.解解方程组得即抛物线与直线的交点选择

型区域，则例5.3.5

计算积分其中

例5.3.6

计算积分其中解法1

积分区域

如下图所示,选择

型区域求解区域

可表示为解法2

选择

型区域求解,区域

分为两个区域与求解.2.在极坐标系下计算二重积分平面上点的直角坐标与极坐标之间有变换关系实际计算中，分三种情况来讨论：（1）极点

在积分区域

之内，区域有封闭的曲线围成，如图5.3.13所示，区域可表示为则有图5.3.13（2）极点

在积分区域边界上，区域有射线和曲线围成，如图5.3.14所示，则区域可表示为则有图5.3.14（3）极点

在积分区域之外，区域有射线与曲线围成，如图5.3.15所示，则区域可表示为则有图5.3.15例5.3.7计算

其中区域

解区域

如图5.3.16所示，可表示为

则

图5.3.16

例5.3.8计算其中

解区域

例5.3.9计算

其中

解区域

如图5.3.18所示，表示为

则

图5.3.18

5.3.3二重积分的应用1.在几何上的应用

例5.3.10求曲面

和平面

所围成的立体体积.

解由图5.3.19知，

该立体是以

为底，

曲面

为顶的曲顶柱体.

其中域

（图5.3.20）是圆域，

利用极坐标计算：

例5.3.11求两个半径相同，对称轴垂直相交的

圆柱体所围立体的体积.

解设两个圆柱面方程为

和

（图5.3.21），

由对称性，所求体积是它位于第一极限

那部分的8倍，

这一部分的曲顶为

底

为

面上的四分之一圆域：

2.在物理上的应用例5.3.12设以原点为圆心，

半径为2的平面薄圆

板上的密度函数为

求薄片的质量.解该薄片在

面上的区域

在极坐标下

可表示为