甘肃省兰州市名校2025届九上数学期末达标检测模拟试题含解析

甘肃省兰州市名校2025届九上数学期末达标检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．下列说法正确的是（）A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上2．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断3．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+3＝0的一个解，则m的值是（）A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．34．如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（）A． B． C． D．5．小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了（）A．5m

B．2m

C．5m

D．10m6．若抛物线y=ax2+2ax+4（a＜0）上有A（-，y1），B（-

，y2），C（

，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y17．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）的方法是（）A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位 D．向下平移1个单位8．如图，线段与相交于点，连接，且，要使，应添加一个条件，不能证明的是（）A． B． C． D．9．若2sinA＝，则锐角A的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°10．如图，在正方形中，点为边的中点，点在上，，过点作交于点．下列结论：①；②；③；④．正确的是（

）．A．①② B．①③ C．①③④ D．③④11．下列说法正确的是（）A．为了了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式B．某种彩票的中奖机会是1%，则买111张这种彩票一定会中奖C．若甲组数据的方差s甲2＝1．1，乙组数据的方差s乙2＝1．2，则乙组数据比甲组数据稳定D．一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是312．点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上，那么a的值是()A．4 B．﹣4 C．2 D．±2二、填空题（每题4分，共24分）13．若关于x的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是________．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，，，如果抛物线与线段AB有公共点，那么a的取值范围是______．15．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠AOC=∠B，则∠B=_______度．16．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．当气体体积为时，气压是__________．17．如图，点是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点，以为底作等腰，且，点在第一象限，随着点的运动点的位置也不断变化，但点始终在双曲线上运动，则的值为________.18．如图，点A是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，连接DC，若△BOC的面积是4，则△DOC的面积是______．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在中，是边上的高，且．

（1）求的度数；（2）在（1）的条件下，若，求的长．20．（8分）计算：（1）；（2）.21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上（OA＜OB）．且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线AB上一个动点，点Q是直线CD上一个动点．（1）求线段AB的长度：（2）过动点P作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E，点P在移动过程中，线段EF的长度也在改变，请求出线段EF的最小值：（3）在坐标平面内是否存在一点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．22．（10分）如图，是的直径，是弦，是弧的中点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，交于点.（1）求证：；（2）若，，求的长.23．（10分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，经试销发现，每天的销售量(件)与销售单价（元）的关系符合次函数．（1）如果要实现每天2000元的销售利润，该如何确定销售单价？（2）销售单价为多少元时，才能使每天的利润最大？其每天的最大利润是多少？24．（10分）“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于50分）绘制出如图所示的部分频数分布直方图．请根据图中信息完成下列各题．（1）将频数分布直方图补充完整人数；（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少；（3）现将从包括小明和小强在内的4名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛，求小明与小强同时被选中的概率．25．（12分）已知正方形ABCD的边长为2，中心为M，⊙O的半径为r，圆心O在射线BD上运动，⊙O与边CD仅有一个公共点E.（1）如图1，若圆心O在线段MD上，点M在⊙O上，OM=DE，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，⊙O与边AD交于点F，连接MF，过点M作MF的垂线与边CD交于点G，若，设点O与点M之间的距离为,EG=,当时，求的函数解析式.26．分别用定长为a的线段围成矩形和圆．（1）求围成矩形的面积的最大值；（用含a的式子表示）（2）哪种图形的面积更大？为什么？

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】试题分析：选项A，袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球的概率是，本选项错误；选项B，天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的概率会下雨，本选项错误；选项C，某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，可能会中奖，也可能不中奖，本选项错误；选项D、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，本选项正确．故答案选D．考点：概率的意义2、C【解析】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，∴6＞5，即：d＜r．∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C．3、A【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝﹣1代入方程得1﹣m+2＝0，然后解关于m的一次方程即可．【详解】解：把x＝﹣1代入x2+mx+3＝0得1﹣m+3＝0，解得m＝1．故选：A．【点睛】本题考查的是一元二次方程中含有参数的解，只需要把x的值代入方程即可求出.4、D【解析】分析：根据相似三角形的性质进行解答即可．详解：∵在平行四边形ABCD中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵∴∴∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴故选D.点睛：考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.5、B【详解】解：由题意得：BC：AB=1：2，设BC=x，AB=2x，则AC===x=10，解得：x=2．故选B．6、C【分析】根据抛物线y＝ax2＋2ax＋4（a＜0）可知该抛物线开口向下，可以求得抛物线的对称轴，又因为抛物线具有对称性，从而可以解答本题．【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋2ax＋4（a＜0），∴对称轴为：x＝，∴当x＜−1时，y随x的增大而增大，当x＞−1时，y随x的增大而减小，∵A（−，y1），B（−，y2），C（，y3）在抛物线上，且−＜−，−0.5＜，∴y3＜y1＜y2，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数具有对称性，在对称轴的两侧它的增减性不一样．7、D【解析】A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A点，故A不符合题意；B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A点，故B不符合题意；C.平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意；D.平移后，得y=x2−1图象不经过A点，故D符合题意；故选D.8、D【分析】根据三角形全等的判定定理逐项判断即可.【详解】A、在和中，则，此项不符题意B、在和中，则，此项不符题意C、在和中，则，此项不符题意D、在和中，，但两组相等的对应边的夹角和未必相等，则不能证明，此项符合题意故选：D.【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟记各定理是解题关键.9、B【解析】等式两边除以2，根据特殊的锐角三角比值可确定∠A的度数．【详解】∵2sinA＝，sinA＝，∠A＝45°，故选B．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答关键．10、C【分析】连接．根据“HL”可证≌，利用全等三角形的对应边相等，可得，据此判断①；根据“”可证≌，可得，从而可得，据此判断②；由（2）知，可证，据此判断③；根据两角分别相等的两个三角形相似，可证∽∽，可得，从而可得，据此判断④.【详解】解：（1）连接．如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，

∵FG⊥FC，

∴∠GFC=90°，

在Rt△CFG与Rt△CDG中，∴≌．∴．．．①正确．（2）由（1），垂直平分．∴∠EDC+∠2=90°，

∵∠1+∠EDC=90°，∴．∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC=AB，∠DAE=∠CDG=90°，∴≌．∴．∵为边的中点，∴为边的中点．∴．∴②错误．（3）由（2），得．∴．③正确．（4）由（3），可得∽∽．∴∴．∴④正确．故答案为：C.【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．11、D【分析】根据抽样调查、概率、方差、中位数与众数的概念判断即可．【详解】A、为了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，不符合题意；B、某种彩票的中奖机会是1%，则买111张这种彩票可能会中奖，不符合题意；C、若甲组数据的方差s甲2＝1．1，乙组数据的方差s乙2＝1．2，则甲组数据比乙组数据稳定，不符合题意；D、一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查统计的相关概念,关键在于熟记概念．12、D【分析】根据点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上,可得:,然后解方程即可求解.【详解】因为点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上,可得:,,解得:,故选D.【点睛】本题主要考查反比例函数图象的上点的特征,解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象上点的特征.二、填空题（每题4分，共24分）13、1【解析】设x1，x2是关于x的一元二次方程x2−x+k=0的两个根，∵关于x的一元二次方程x2−x+k=0的一个根是0，∴由韦达定理，得x1+x2=1，即x2=1，即方程的另一个根是1.故答案为1.14、【解析】分别把A、B点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围．【详解】解：把代入得；把代入得，所以a的取值范围为．故答案为．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．15、1【分析】连结OB，可知△OAB和△OBC都是等腰三角形，∠ABC=∠A+∠C=∠AOC，四边形内角和360゜，可求∠B．【详解】如图，连结OB，∵OA=OB=OC，∴△OAB和△OBC都是等腰三角形，∴∠A=∠OBA，∠C=∠OBC，∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=∠A+∠C，∴∠A+∠C=∠ABC=∠AOC∵∠A+∠ABC+∠C+∠AOC=360゜∴3∠ABC=360゜∴∠ABC=1゜即∠B=1゜．故答案为：1．【点睛】本题考查圆周角度数问题，要抓住半径相等构造两个等腰三角形，把问题转化为解∠B的方程是关键．16、1【解析】设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式，再将V=1代入即可求得结果．【详解】解：设，代入得：，解得：，故，当气体体积为，即V=1时，(kPa)，故答案为：1．【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．17、2【分析】作轴于D，轴于E，连接OC，如图，利用反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，再根据等腰三角形的性质得，，接着证明∽，根据相似三角形的性质得，利用k的几何意义得到，然后解绝对值方程可得到满足条件的k的值．【详解】解：作轴于D，轴于E，连接OC，如图，过原点，点A与点B关于原点对称，，为等腰三角形，，，，，，，，∽，，而，，即，而，．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；在图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．18、1﹣1．【分析】先用三角形BOC的面积得出k=①，再判断出△BOC∽△BDA，得出a1k+ab=4②，联立①②求出ab，即可得出结论．【详解】设A（a，）（a＞0），∴AD=，OD=a，∵直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，∴C（0，b），B（﹣，0），∵△BOC的面积是4，∴S△BOC=OB×OC=××b=4，∴b1=8k，∴k=①∴AD⊥x轴，∴OC∥AD，∴△BOC∽△BDA，∴，∴，∴a1k+ab=4②，联立①②得，ab=﹣4﹣4（舍）或ab=4﹣4，∴S△DOC=OD•OC=ab=1﹣1.故答案为1﹣1．【点睛】此题主要考查了坐标轴上点的特点，反比例函数上点的特点，相似三角形的判定和性质，得出a1k+ab=4是解本题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）；（2）【分析】(1)是边上的高，且，就可以得出，可得∠A=∠BCD，由直角三角形的性质可求解；

(2证明，可得，再把代入可得答案．【详解】（1）证明：在中，∵是边上的高，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）由（1）知是直角三角形，在中，∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是关键．20、（1）；（2）【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，再按照先算乘方再算乘除后算加减的运算法则计算即可.（2）先代入特殊角的三角函数值，再按照先算乘除后算加减的运算法则计算即可.【详解】解：（1）原式.（2）原式.【点睛】本题考查了有关特殊的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.21、（1）1；（2）；（3）存在，所求点M的坐标为M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（1，3）．【分析】（1）利用因式分解法解方程x2﹣14x+48＝0，求出x的值，可得到A、B两点的坐标，在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB即可．（2）证明四边形PEOF是矩形，推出EF＝OP，根据垂线段最短解决问题即可．（3）分两种情况进行讨论：①当点P与点B重合时，先求出BM的解析式为y＝x+8，设M（x，x+8），再根据BM＝5列出方程（x+8﹣8）2+x2＝52，解方程即可求出M的坐标；②当点P与点A重合时，先求出AM的解析式为y＝x﹣，设M（x，x﹣），再根据AM＝5列出方程（x﹣）2+（x﹣6）2＝52，解方程即可求出M的坐标．【详解】解：（1）解方程x2﹣14x+48＝0，得x1＝6，x2＝8，∵OA＜OB，∴A（6，0），B（0，8）；在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，∴AB＝＝＝1．（2）如图，连接OP．∵PE⊥OB，PF⊥OA，∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∴EF＝OP，根据垂线段最短可知当OP⊥AB时，OP的值最小，此时OP＝＝，∴EF的最小值为．（3）在坐标平面内存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长．∵AC＝BC＝AB＝5，∴以点C、P、Q、M为顶点的正方形的边长为5，且点P与点B或点A重合．分两种情况：①当点P与点B重合时，易求BM的解析式为y＝x+8，设M（x，x+8），∵B（0，8），BM＝5，∴（x+8﹣8）2+x2＝52，化简整理，得x2＝16，解得x＝±4，∴M1（4，11），M2（﹣4，5）；②当点P与点A重合时，易求AM的解析式为y＝x﹣，设M（x，x﹣），∵A（6，0），AM＝5，∴（x﹣）2+（x﹣6）2＝52，化简整理，得x2﹣12x+20＝0，解得x1＝2，x2＝1，∴M3（2，﹣3），M4（1，3）；综上所述，所求点M的坐标为M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（1，3）．【点睛】本题是一次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的解法，正方形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．22、（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OC，交AE于点H．根据垂径定理得到OC⊥AE．根据切线的性质得到OC⊥GC，于是得到结论；

（2）根据三角函数的定义得到sin∠OCD=．连接BE．AB是⊙O的直径，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接，交于点.是弧的中点，是的切线，，，;（2），，..在中，，，连接是的直径，.在中，，，在Rt△AEB中，，AB=10，.【点睛】本题考查了切线的性质，三角函数的定义，平行线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．23、（1）100元；（2）当销售单价定为105元时，可获得最大利润，最大利润是2025元．【分析】（1）根据题意列出方程，解一元二次方程即可；（2）先根据利润=每件的利润×销售量表示出利润，然后利用二次函数的性质求最大值即可．【详解】（1）依题意得：，解得或（不合题意）．（2）若每天的利润为元，则，∴当销售单价定为105元时，可获得最大利润，最大利润是2025元．【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，掌握解一元二次方程的方法和二次函数的性质是解题的关键．24、（1）答案见解析（2）54%（3）【解析】（1）根据各组频数之和等于总数可得分的人数，据此即可补全直方图；（2）用成绩大于或等于80分的人数除以总人数可得；（3）列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】（1）70到80分的人数为人，补全频数分布直方图如下：（2）本次测试的优秀率是；（3）设小明和小强分别为、，另外两名学生为：、，则所有的可能性为：、、、、、，所以小明与小强同时被选中的概率为．【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了列表法和画树状图求概率．25、（1）相切，证明详见解析；（2）.【分析】（1）过O作OF⊥AD于F，连接OE,可证△ODF≌△ODE，可得OF=OE,根据相切判定即可得出：AD与相切；（2）连接MC，可证，可得DF=CG，过点E作EP⊥BD于P，过点F作FH⊥BD于H设DP=a，DH=b，由于△DHF与△DPE都是等腰直角三角形，设EP=DP=a，FH=DH=b,利用勾股定理：可列出方程组解得a=b，可得，.由于可得，由可得OD=a，由OD=OM-DM，可得，代入2DF+y=2可得，整理得y与x的函数解析式,由DF≤1，EG≥0，可得x的取值范围，即可求解问题.【详解】解：（1）直线AD与⊙O相切，理由如下：过O作OF⊥AD于F，连接OE∴∠OFD=90°在正方形ABCD中，BD平分∠ADE，∠ADE=90°∴∠FDO=∠EDO=45°∵与CD仅有一个公共点E∴CD与相