2022-2023学年广东省广州市越秀区铁某中学学九年级上学期数学期末考试卷含详解

2022-2023学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

2.下列事件中，必然事件是（）

A.掷一枚硬币，正面朝上B.a是实数，同20

C.购买一张彩票，中奖D.打开电视，正在播放广告

3.在直角坐标系中，如果。。是以原点0（0,0）为圆心，以10为半径的圆，那么点A（—8,6）的位置（）

A.在。。内B.在。。外C.在。。上D.不能确定

4.关于x的一元二次方程£一根—i=o的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.不能确定

5.由二次函数y=2（x-3）2+l,可知（）

A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线》=-3

C.其最小值为1D.当x<3时，y随x的增大而增大

6.如图，已知OO的弦AB=8,以A3为一边作正方形A8CO,切点为E,则O。的半径为（）

B.3C.6D.5

7.如图，将AABC绕点C顺时针旋转30°,点B的对应点为点E,当点E恰好落在边AC上时，连接AD，则

/ZMC的度数是（

A.60°B.65°C.70°D.75°

8.肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225

人感染，若设1人平均感染》人，依题意可列方程

A.l+x=225B.1+x2=225

C.l+x+r=225D.(1+x)2=225

9.如图，由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点4的线段分别与8C-BE交于点M,N,则

---1---=

MBNB

10.二次函数y=o?+陵+c(a/0)的部分图象如图所示，图象过点(一1,0),下列结论：(1)4a+b=0；(2)

9a+c>3h；⑶〃_4ac=0；⑷若点A(—3,y)A、点《一点。(7,%)在该函数图象上，则％<%<为；

(5)若方程a(x+l)(x—5)=—3a的两根为笛和X2,且X<々，则玉<T<5</,其中正确的结论有()

人.2个巳3个C.4个D.5个二、填空题(每小题3分，共6小题，满分

18分)

11.在平面直角坐标系中，已知点P(-3,5)与点。(3,巾-2)关于原点对称，则,〃=.

12.将抛物线y=(x+l)2向右平移2个单位，得到新抛物线表达式是.

13.设XI、X2是方程9-4x+〃2=0的两个根，且X1+X2-X1X2=1，则加=—.

14.如图，在平面直角坐标系中，已知点4(-3,6),8(-9,-3),相似比为:，把AABO缩小，则A'的坐标为

——X------B-------->is.如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形,若圆锥的底面圆的半径r=2cm,圆

3(-9,-3)

锥的母线长为6cm,则侧面展开图的圆心角的度数为____________。

/\16.如图，RtZVIBC中，ZACB=90°,AC=BC=4,。为线段AC上一动

点，连接8。，连接AH，则A”最小值为___________.

A

W三、填空题(本大题共9小题，满分72分,解答应写出相应的文字说明、

-----------

证明过程或演算步骤)

17.解方程：x2-2x-15=0.

18.已知AB〃C£>,AD与相交于点P,A5=4，8=7,A£>=10.求AP的长.

X

19.如图，在平面直角坐标系xOy中,将△GLB绕点。顺时针旋转90°得到△C'A'B',点

J------

8旋转后的对应点为B'，点C旋转后的对应点为C',

(1)画出旋转后的△C'AB',并写出点A'的坐标;

(2)求点3经过的路径BB'的长(结果保留元).

20.如图，抛物线切的顶点坐标为(1,4),与X轴交于点A(3,o),与y轴交于点8直线的解析式为

y2="+/?(%H0).

(1)求抛物线yi的解析式;

(2)当X>%时，x的取值范围是；(3)当x的取值范围是,时，力和%都随着x的

增大而减小;

(4)当0WxW3时，弘的取值范围是

(5)当y>0时，x的取值范围是

21.“2022卡塔尔世界杯”已正式拉开战幕，足球运动备受人们的关注，某中学对部分学生就足球运动的了解程度，

采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅统计图.根据图中信息回答下列问题:

条形统计图

（1）接受问卷调查的学生共有人，条

形统计图中m的值为

（2）若该中学共有学生1500人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和

“基本了解”程度的总人数为人;

（3）若从足球运动达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人解说一场足球赛，请用列表或画

树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.

22.如图，有长为12〃，的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度”为5m）,设花圃的宽A8为xm,面积为

Sm2.

AD（1）求s与x的函数关系式及x值的取值范围;

BC

（2）要围成面积为9m2的花圃，A3的长是多少米？

（3）当A3的长是多少米时，围成的花圃面积最大？

23.如图，四边形A8C。中，乙4=/8=90。，以CZ）为直径。。与边A8相切于点

（1）求作。。，并标出点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）;

（2）连接CE,求证：CE平分/BCD；

（3）若BC=5,A3=6,求CD的长.

24.已知抛物线y=ax2+2ox-3a（。为常数，。。0）.

(1)请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标(用含〃的代数

图1图2

式表示)；

(2)如图1,当。=-1时，若点尸是直线4。上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为相，过点尸作

PH工AC于点H,m为多少时，尸，的值最大，最大值是多少？

(3)如图2,当。=-1时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C.点C是直线AC上方抛物线

上的一个动点，BD交AC于点E,设点E的横坐标为〃，记S=¥^,当〃为何值时，S有最大值，最大值是

多少？

25.已知：0。是的外接圆，且=NA3C=60°,。为。。上一动点.

(1)如图1,若点。是AB的中

备用图

点，NO84等于多少？(2)过点B作直线A。的垂线，垂足为点£

①如图2,若点。在AB上，求证：CD^DE+AE.

②若点。在AC上，当它从点A向点C运动且满足C0=r>E+AE时，求—ABD的最大值.

2022-2023学年广东省广州市越秀区铁一中学九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

B

【分析】根据中心对称图形的定义分别进行判别即可.

【详解】解：A、此图形不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意：

B、此图形是中心对称图形，故此选项正确，符合题意；

C、此图形是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；

D、此图形不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查中心对称图形的定义，能够熟练根据中心对称图形的定义判定中心对称图形是解决本题的关键.

2.下列事件中，必然事件是（）

A.掷一枚硬币，正面朝上B.“是实数，同20

C.购买一张彩票，中奖D.打开电视，正在播放广告

B

【分析】一定发生的事件是必然事件，根据必然事件的定义分析即可得到答案.

【详解】解：A,C,D选项中，是随机事件；

是必然事件的是：。是实数，同20.

故选：B.

【点睛】此题考查了必然事件的定义，一定会发生的事件，叫做必然事件：一定不可能发生的事件，叫做不可能事

件；必然事件和不可能事件统称为确定事件；在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某

种规律性的事件叫做随机事件（简称事件），熟练掌握其性质是解决此题的关键.

3.在直角坐标系中，如果。。是以原点0（0,（））为圆心，以10为半径的圆，那么点A（-8,6）的位置（）

A.在。。内B.在。。外C.在。。上D.不能确定

C

【分析】根据两点间的距离公式求出AO的长，然后与。。的半径比较，即可确定点A的位置.

【详解】解：•.•点4（-8,6）,

AO=yJ^+¥=\0>

.•.点A在。。上，

故选：C.

【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是要记住若半径为，，点到圆心的距离为“，则有：当d>r时,

点在圆外；当4=厂时，点在圆上；当d<r时，点在圆内.

4.关于x的一元二次方程/—如一1=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.不能确定

A

【分析】写出根的判别式大于0,即可得到答案.

【详解】解：：△=b~-4ac=+4>0>

•••方程有两个不相等的实数根，

故选A.

【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握A>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根是关键

5.由二次函数y=2（x-3）2+l,可知（）

A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线》=-3

C.其最小值为1D.当x<3时，y随x的增大而增大

C

【分析】由解析式可知。>0,对称轴为43,最小值为0,在对称轴的左侧），随x的增大而减小，可得出答案.

【详解】由二次函数y=2（x-3）2+l,可知:

A：•••”>（）,其图象的开口向上，故此选项错误；

B.•.•其图象的对称轴为直线x=3,故此选项错误；

C.其最小值为1,故此选项正确；

D.当x<3时，y随x的增大而减小，故此选项错误.

故选：C.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值及对称

轴两侧的增减性是解题的关键.属于基础题目.

6.如图，已知的弦A8=8,以AB为一边作正方形切点为£,则0。的半径为（）

B.3C.6D.5

D

【分析】连接E。并延长，交AB于F，连接。4,根据切线的性质得到OE根据垂径定理求出AF,根据

勾股定理列出方程，解方程得到答案.

【详解】解：连接并延长，交A3于F,连接。4,

设。。的半径为r,则OF=8—r,

•.♦CD边与相切，

：.OE±CD,

••,四边形ABC。为正方形，

：.AB//CD,

OFLAB：.AF=-AB=4,

2

在Rtz^OA尸中，AF2+OF2=OA2)即42+(8-r)2=,，

解得：r=5,

0。的半径为5,

故选：D.

【点睛】本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关

键.

7.如图，将AABC绕点C顺时针旋转30°,点8的对应点为点E,当点E恰好落在边AC上时，连接A£）,则

/D4C的度数是（）

A.60°B.65°C.70°D,75°

D

【分析】根据旋转的性质可得NACB=N£>CE=30°,AC^DC,进而根据等边对等角的性质求解即可.

【详解】解：由题意知NACB=ZDCE=30°,AC^DC,

.小.6180。—NDCA180。一30。

22

故选D.

【点睛】本题考查了旋转的性质和等边对等角的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键.

8.肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225

人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程

A.l+x=225B.1+x2=225

C.l+x+f=225D.(1+x)2=225

D

【分析】此题可设1人平均感染X人，则第一轮共感染(X+1)人，第二轮共感染x(x+l)+x+l=(x+l)(x+D人，根

据题意列方程即可.

【详解】解：设1人平均感染X人，

依题意可列方程：1+X+(1+X)X=225,

(x+1)2=225故选：D.

【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题

的关键.

9.如图，由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的,过点A1的线段分别与8G，BE交于点M,N,则

—)

MBNB

BADCN

I'

Bi_--------------A.四-B.75C.—D.1

2

M4。2G尸2

CiDi

D

【分析】本题可通过相似三角形和NBM得出的关于NB,MB,MB的比例关系式来求，比例关系式

中45,85均为正方形的边长，长度都是1,因此可将它们的值代入比例关系式中，将所得的式子经过变形即可

得出所求的值.

【详解】解：・・・A3i〃BN,

工/\ABMS/\NBM,

又AI5I=88I=1,

：.NB：AB=MB：MB、,

即NB：1=MB：(MB-1),

整理，得MB+NB=MB・NB,

两边同除以MB，NB得---1-------=1；

MBNB

故选：D.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识点，综合性比较强.

10.二次函数丁=公2+汝+c(a/0)的部分图象如图所示，图象过点(一1,0),下列结论：(1)4a+匕=0；(2)

9a+c>3b；(3)。2_4础=0；⑷若点A(—3,y)A、点8—；,%、点。(7,%)在该函数图象上，则

一3”的两根为XI和X2,且工1<々，则芯<一1<5<々.其中正确的结

C.4个D.5个

B

【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=—2=2,则有4a+6=0；

2a

②观察函数图象得到当x=—3时，y<o,则有9a—3匕+c<0,即9a+c<3b；

③由得6=由图象过点(―1,0)得c=-5a,代入〃—4ac中，根据a的大小可判断结果;

④根据当x<2时，y随x的增大而增大，进行判断；

⑤由方程a(x+l)(x—5)=-3a的两根为xi和.由图像可知与<-1,々>5可得结论；

【详解】解：・・・]=—3=2,

2a

b-TaX))即4a+/?=0,

故①正确.

；x=—3时，y<0,

9。一3Z?+cv0,即9a+cv3b,

故②错误.

•••抛物线与X轴的一个交点为（-1,0）,

**-ci-b-\-c—0»

又•：b=-Aa,

a+4。+c=0,即c=—5a，

：.b1-4ac=（-4a/-4ax（-5a）=16a2+20a2=36/,

:抛物线开口向下，

**•a<0,

•*-b2-4ac>0，

故③错误；

•.•点A（-3,y）A、点点C（7,%）在该函数图象上，且对称轴直线x=2...点4离对称轴最远，点

C离对称轴的距离近，

故④正确.

•.•抛物线的对称轴为直线％=-2=2,图象与x轴交于（—1,0）,

2a

...抛物线与X轴的另一个交点是（5,0）,

且玉<々，则

故⑤正确.

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数“决定决定抛物线开口；决定对称轴的位置.

二、填空题(每小题3分，共6小题，满分18分)

11.在平面直角坐标系中，已知点P(-3,5)与点。(3,w-2)关于原点对称，则机=.

-3【分析】平面直角坐标系中任意一点p(X,y),关于原点的对称点是(-X,-y),即求关于原点的对称点

时，横、纵坐标都变成原数的相反数.

【详解】解：根据P、。两点关于原点对称，则横、纵坐标均互为相反数，

nt—2=~5,

m=—3,

故答案为：-3.

【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该

特征是解题的关键.

12.将抛物线y=(x+l)2向右平移2个单位，得到新抛物线表达式是.

y=(x-1?【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答.

【详解】解：二次函数y=(x+l)2的图象向右平移2个单位，

得：y=(x+l-2)2=(x-l)2,

故答案为：y=(x—l『.

【点睛】本题考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数

解析式.

13.设XI、X2是方程炉-4龙+加=0的两个根，且X1+X2-X1X2=1,则加=_.

3

bc

【分析】根据一元二次方程亦2+法+片()的根与系数的关系求解即可.两根山和及，则川+X2=一，%•%=—.

aa

【详解】解：・・卬、X2是方程]2-4//片0的两个根，

AXI+X2=4,x]-x2=m9

Vxi+%2-X1X2=1,

/.4-/n=1,

解得：机二3,

故答案为3.

【点睛】本题考查了一元二次的根与系数的关系，熟记一元二次方程“2+6x+c=0的根与系数的两根XI和X2,则X1+

X2=—b,%52=c2是解题的关键.

aa

14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(—3,6),5(-9,-3),相似比为:，把AAeO缩小，则4的坐标为

【分析】根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案.

【详解】解：•.•顶点4(-3,6),原点为位似中心，相似比为:，AASO缩小，

.•.点A的对应点4的坐标为((-3)XL6X-),(--x(-3),--x6),

''3333

即(-1,2),(1,-2).

故答案(-1,2),(1,-2).

【点睛】本题考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为匕那么位似图形对应点

的坐标的比等于人或-Z,得出是解题关键.

15.如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm,圆锥的母线长为6cm,则侧面展开图

的圆心角的度数为°

【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求

解.

【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：171r==(cm)

117rx6,

设圆心角的度数是n度,则------=4万

180

解得〃=12()

故答案为：120.

【点睛】此题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关

键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

16.如图，卬△43C中，ZACfi=90°,AC=3C=4,O为线段AC上一动点，连接8。，连接AH,则AH的

最小值为___________

26一2##一2+26

【分析】如图，取8C中点G,AG,HG=CG=BG=；BC=2,求解AG=，402+心=2石，可得

AH>AG-HG,即当点〃在线段AG上时，A〃取最小值，从而可得答案.

【详解】解：如图，取8C中点G,AG，

：.HG=CG=BG=-BC=2,

2

在RSACG中，AG=dAC2+CG=2由，

结合AAHG,可得AHNAG—"G,

即当点”在线段AG上时，A/7最小值为26-2，

故答案为：2亚-2.

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的应用，三角形三边关系的应用，熟练地确定A”

取最小值时H的位置是解本题的关键.

三、填空题(本大题共9小题，满分72分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤)

17解方程：x2-2x-15=0.

x1=5,X2=-3.

【分析】利用十字相乘法将方程左边的多项式分解因式，利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两

个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解.【详解】解：x2-2x-15=0,

分解因式得：(x-5)(x+3)=0,

可得x-5=0或x+3=0,

解得：XI=5,X2=-3.

【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0,左边化为积的

形式，然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.

18.已知与6c相交于点P,A8=4，8=7,AD=10.求AP的长.

AP4

【分析】先证明△ABPsaocP，则根据相似三角形的性质得到一=—,然后利用比例的性质得到

DP7

4

AP^—AD.

11

【详解】解；VAB//CD,

：.AABPs乙DCP,

APABAP4

•*.---------,即an-------

DPCDDP7

AP4

---=一,

AD11

440

AP=—AD

11TT

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公

共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的

关系是解决问题的关键.

19.如图，在平面直角坐标系xQy中，将钻绕点。顺时针旋转90°得到△CWB',点8旋转后的对应点为

5'，点c旋转后的对应点为c',

(1)画出旋转后的△C'A'B',并写出点A'的坐标;

(2)求点B经过的路径38'的长（结果保留或.

(1)见解析，（2,1）

3&

(2)-----n

8

【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A、B'、C,从而得到然后写出点4

的坐标;

（2）先计算出。8的长，然后利用弧长公式计算8B'的长即可・

【小问1详解】

如图，△C'A'B'为所作，点4的坐标为（2,1）；

【小问2详解】0B=732+32=30>

入90x1x303V2

•・•点B经过路径BB'1的v长为l----------=二一n.

1802

【点睛】本题考查了作图-旋转作图：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此

可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.

20.如图，抛物线X的顶点坐标为(1,4),与X轴交于点A(3,o),与y轴交于点8.直线的解析式为

y2=kx+b(k不3-

(1)求抛物线H的解析式;

(2)当%>为时，x的取值范围是

(3)当X的取值范围是时，,和%都随着X的增大而减小;

(4)当0WxW3时，必的取值范围是、

(5)当％>0时，x的取值范围是.

⑴y=-(x-l)2+4

(2)0<x<3

(3)x>\

(4)0<<4

(5)-l<x<3

【分析】(1)根据题意设抛物线解析式为*=a(x—+4,将点4(3,0),代入解析式即可求解；

(2)在％=—(工一1丫+4中，令x=(),解得y=3,得出3(0,3),结合函数图像，即可求解；

(3)根据一次函数与二次函数的性质，结合函数图像即可求解；

(4)根据函数图像即可求解；

(5)由y=—(x—iy+4,令y=0,求得抛物线与坐标轴的交点坐标，结合函数图像即可求解.【小问1详解】

解：：抛物线,的顶点坐标为(14),

设抛物线解析式为y=a(x—1J+4

•.•与x轴交于点A(3。),

/.0=iZ（3-l）2+4

解得：a=—\f

•••X=-(X-1)2+4

【小问2详解】

•在y+4中，令x=0,解得y=3,

3(0,3),

结合函数图像可得，

当%>当时，x的取值范围是0<x<3：

故答案为：0〈尤<3；

【小问3详解】

：X=—(尤一I)?+4,a=—1<0,对称轴为x=1,

当%>1时，/随x的增大而减小，

将点A(3,0),8(0,3)代入必=kx+b(k*0),

‘34+。=0

[b=3

解得：Lk=。-\，

b=3

：.y2=-x+b,>2随x的增大而减小，

,当尤>1时，,和乃都随着x的增大而减小；

故答案为：x>1；

【小问4详解】

根据函数图像可知：当0WxW3时，弘的取值范围是<4,

故答案为：owy«4；

【小问5详解】由y+4,令y=。，

即_(1『+4=0,

解得：龙|=-1，x2=3,

根据函数图像可知，抛物线开口向下,

.•.当M>0时，一1<%<3.

故答案为：一1<%<3.

【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据函数图像求自变量或函数值的取值范围，掌握一次函数与二次函

数的性质是解题的关键.

21.“2022卡塔尔世界杯”己正式拉开战幕，足球运动备受人们的关注，某中学对部分学生就足球运动的了解程度,

采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅统计图.根据图中信息回答下列问题:

（1）接受问卷调查的学生共有人，条

形统计图中〃?的值为

（2）若该中学共有学生1500人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对足球知识达到“非常了解”和

“基本了解”程度总人数为人;

（3）若从足球运动达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人解说一场足球赛，请用列表或画

树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.

(1)50；7

(2)990

（3）1

【分析】（1）由“基本了解”的人数及其所占百分比即可求出总人数，总人数减去前三种了解程度的人数即可求出

m的值;

（2）用总人数1500乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可；

（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可.

【小问1详解】解：接受问卷调查的学生共有，29+58%=50（人）；

条形统计图中机的值为：50-4-29-10=7（人）；

故答案为：50；7.

【小问2详解】

解：达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：（4+29）+50x1500=990（人）；

故答案为：990.

【小问3详解】

解：由题意列树状图:

一开始—

男男女女由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到1名男生和1名女生的结

/K/N/l\/N

男女女男女女男男女男男女

果有8种,

二恰好抽到1名男生和1名女生的概率为得=1.

【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.用到的知识点为：概率=所求情况数

与总情况数之比.

22.如图，有长为12机的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m）,设花圃的宽A8为xm,面积为

Sm2.

AD（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围;

B—C

（2）要围成面积为9m2的花圃，A3的长是多少米？

（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积最大？

（1）S=-3X2+12X.-<^<4

7

（2）3米（3）—m

3

【分析】（1）根据S=列得函数关系式，利用0<8CW5求出x值的取值范围;

（2）利用（1）得至IJ一3f+12x=9，求解即可；

（3）将函数关系式化为顶点式，利用二次函数的性质解答即可.

【小问1详解】解：由题意，得：BC=12-3x,

：.S=A8-5C=x（12—3x）=-3x2+12x；

-：0<BC<5,

即0<12—3xW5,

7

解得：一<x<4,

3

7

值的取值范围为：-<x<4；

3

【小问2详解】

当S=9时，

即一3f+12x=9,

解得：玉=1,々=3,

7

<x<4,

3

x=3,

即A8的长是3米；

【小问3详解】

S=-3f+i2x=-3(x-2y+12,

：a=-3<0,抛物线开口向下，

...抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，

.7,“

:一Wx<4,

3

.♦.当X=:时，S取的最大值—3xjZ—21+12=—m2,

3UJ3

7

•••当A8的长是；m时，围成的花圃面积最大.

【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求二次函数的解析式，最值问题，一元二次方程的应用，正确掌握各

知识点是解题的关键.

23.如图，四边形48。中，乙4=/B=90。，以C。为直径的。。与边AB相切于点

(1)求作。0,并标出点E(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；

(2)连接CE,求证：CE平分/BCD；

(3)若BC=5,AB=6,求CD的长.

(1)见解析(2)见解析

34

(3)CD=—

5

【分析】(1)按题意作出CD的中点。，以0为圆心，0C为半径画圆即可：

(2)由等腰三角形的性质得出NQEC=NOCE,由切线的性质得出OELAB,证出OE//3C,由平行线的性

质可得出结论；

(3)证出A£>+BC=CD,连接OE，设AO=X,则b=5—x,由勾股定理得出6+(5-x>=(x+5『，

求出X的值，则可得出答案.

【小问1详解】

解:如图，

【小问2详解】

证明：连接CE,

\OE=OC,

:.ZOEC=ZOCE,

•.•43为。。的切线，

:.OE±AB,

vZB=90o,

:.OE//BC,:.ZOEC=ZECB,

.-.ZECB^ZECO,

即CE平分NBCD；

【小问3详解】

解："JOELAB,ZA=ZB=90°,

：.OEIIADIIBC,

.AEDO

•.•。为CO的中点，

.••E为48中点，

.〔OE为梯形的中位线，

:.OE=；(AD+BC),

;.AD+BC=CD,

连接。尸，

•.•CD为。。的直径,

:.NDFC=90。,

二四边形ABFD为矩形，

；.AD=BF，

设AO=x,

..CF—5—x,

■.■DF2+CF2=CD2,

.-.62+(5-x)2=(x+5)2,

9

解得x=二，

9

:.AD=-,

5

934

CD=5+x=5H—=—.

55

【点睛】本题是圆的综合题，考查了尺规作图，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，等腰三角形的性质，熟练

掌握切线的性质是解是解题的关键.

24.已知抛物线y=af+2ox-3a(a为常数，arO).

(1)请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标(用含a的代数

图1图2

式表示)；

(2)如图1,当a=T时，若点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为怙过点P作

PH上AC于点H,小为多少时，PH的值最大，最大值是多少？

(3)如图2,当。=-1时，设该抛物线与x轴分别交于小B两点，与y轴交于点C.点。是直线AC上方抛物线

上的一个动点，8。交AC于点E,设点E的横坐标为”，记5=》些，当〃为何值时，S有最大值，最大值是

3AABE

多少？

(1)y=o(x+l)2-2〃，

(2)相=一3时，PH的最大值见1

28

39

(3)〃=一二时，S有最大值

5176T

【分析】(1)将解析式化为顶点式，即可得到图象的顶点坐标;

(2)过点P作PT〃y轴，勾股定理求出4C,当'we的值最大值，尸”的值即最大，利用面积公式求出I”。

的值，根据二次函数的性质求解即可;

ED

(3)由VAOE和AABE等高，则S=力;，过点。作轴交AC于点H过5点作6G_Lx轴交AC于

BE

点G,由平行线的性质可得罢=S,求出直线AC的解析式，设。(/,一/—2/+3),则/“J+3),得到

BG

\(Q30(315、

S=t+-+—,当，=一巳时，S有最大值三，此时。一彳,二，再求出直线3。的解析式为

4(2)16216I24；

333

y=--x+—，联立《33,即可求出〃=一一.【小问1详解】解:

-22y=一一x+—5

22

y-ax2+2or—3a=a（x+l,—4。,

:.顶点为(TTa)；

【小问2详解】

当a=-l时，y=-x2-2x+3,

/.C（0,3）,

：A（—3,0）,

OA=OC=3,

AC=y]o^+OC2=A/32+32=30，

设直线AC的解析式为了=履+"

—3k+。=0

b=3

k=l

解得《

b=3'

・,・直线AC的解析式为x+3,

如图，过点尸作PT〃y轴,

:「（/%-〃，一2根+3）,

r（//z,m+3）,

327

.,•加=-彳时，4c的面积最大，最大值为丁，此时PH的值最大,

2o

27

PH的最大值为=上也；【小问3详解】

3及一8

当a=-1时，y=-X2-2x+3,

令y=。，则％=-3或x=l,

・・・3（1,1）,

^AABE

』型，

BE

过点。作J_x轴交AC于点F,过B点作6G_Lx轴交AC于点G,

：.DF//BG,

EDDF0

•-----=-----=S，

BEBG

设直线AC的解析式为y=k'x+b',

b'=3

b'=3

：'\k'=l，

y=x+3,

设。（。一厂—2f+3）,则尸（，/+3）,

DF=-t2-3t,3G=4,

一户一3r=4s,

]_(3i+2,

St+-

4l2.116

...当，=一13时，S有最大值9二,

216

f315

此时D\

I24

设直线8£＞的解析式为y=c