2021学年上海市长宁区初三数学一模教学质量监测试卷含答案

2021学年第一学期初三数学教学质量监测试卷

(考试时间：100分钟满分：150分)

一、选择题(本大题共6题，每题4分，满分24分)

【每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】

1.已知在△ABC中，ZC=90°,/A=a,AB^c,那么BC的长为

(A)csina；(B)ctancz；(C)——；(D)ccota.

cosa

2.如果向量M与向量各方向相反，且3忖=忖，那么向量。用向量B表示为

--1-1-

(A)&=3b；(B)a=-3b；(C)&=—b；(D)a=—b.

33

3.如图，AB//CD//EF,AD:A尸3=:5,BE=12,那么CE的长等于

(A)2；(B)4；(C)—；(D)—.

55

4.抛物线卜=以?+法+。(其中Z?<0>c>0)一定不经过的象限是

(A)第一象限；(B)第二象限；(C)第三象限；(D)第四象限.

5.下列命题中，说法正确的是

(A)所有菱形都相似；

(B)两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似；

(C)三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍；

(D)斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.

6.如图，点E是线段8c的中点，NB=NC=NAED,下列结论中，说法错误的是

(A)ZXABE与△EC。相似；(B)/XABE与△AEQ相似；

8.抛物线y=2x2-｝的顶点坐标是▲

9.在比例尺为1:10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为▲千米.

10.已知点C是线段AB的黄金分割点，如果AO8C,BC=2,那么AC=▲

11.如果两个相似三角形周长之比为3:2,那么这两个三角形的面积之比为▲

12.点G是△ABC的重心，过点G作BC边的平行线与AB边交于点E、与AC边交于点

那么於

▲

13.如图，小明沿着坡度?=1：2.4的坡面由B到A直行

走了13米时，他上升的高度AC=▲米.

第13题图

14.已知抛物线丫=以2+版-2（a/?＞0）与y轴交于点4,

过点A作x轴的平行线交抛物线于点B,如果AB=2,那么点B坐标为▲.

15.我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门三十步

有木，出西门七百五十步有木.问邑方几何？”示意图如下图，正方形ABCQ中，尸、G

分别是AO和A8的中点，如果E尸，AO,E尸=30,GH±AH,GW=750,且EH过点4,

那么正方形ABCD的边长为▲.

16.如图，在MZXABC中，NACB=90°,tanZBAC=~,C£＞是斜边A8上的中线，点E是

2

直线AC左侧一点，联结AE.CE、ED,若EC±CD,ZEAOZB,那么的值为

第16题图第18题图

17.定义：在△ABC中，点。和点E分别在AB边、AC边上，且。E〃BC,点。、点E之

间距离与直线DE与直线8C间的距离之比称为DE关于BC的横纵比.己知，itAAfiC

中，BC=4,BC上的高长为3,关于的横纵比为2:3,那么DE=▲.

18.如图，在△ABC中，NC=90°,AC=BC=3,点£＞、E分别在AC边和AB边上，沿着直

线OE翻折△AOE,点A落在BC边上，记为点尸，如果CF=1,那么BE=▲.

三'解答题（本大题共7题，满分78分）

【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】

19.（本题满分10分）计算：cot30-2sin6°~tan45.

sin30+cos245

20.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

抛物线y=-f+6x+c经过点A（0,3）,B（-1,0）.

（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标.

（2）填空:如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点A的位置,那么其平移的过程是▲

平移后的抛物线表达式是▲.

21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

如图，在梯形A8CL（中，AB//CD,且AB:CO=3:2,点E是边CO的中点，联结BE交

对角线AC于点F,^AB=m,AD=n.

（1）用机、n表示AC、AF；

--».

（2）求作前在54、BC方向上的分向量.

（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）

第21题图

22.（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）

如图，某种路灯灯柱BC垂直于地面，与灯杆48相连.已知直线48与直线BC的夹角

是76；在地面点。处测得点A的仰角是53°,点B仰角是45°,点A与点D之间的距

离为3.5米.

求：（1）点A到地面的距离；（2）AB的长度.（精确到0.1米）

（参考数据：sin53°®0.8,cos53°«0.6,sin76°®0.97,cos76°«0.24）_________

D

第22题图

23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）

如图，线段BQ是△4BC的角平分线，点E、点F分别在线段80、AC的延长线上，联

结AE、BF,且ABBD=BCBE.

(1)求证：AD=AE；

(2)如果BF=OF,求证：AFCD^AEDF.

24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）

抛物线y=ox2+2ar+c与x轴交于A、8两点（点A在点8左侧），与y轴交于点C

（0,3）,其顶点。的纵坐标为4.小y

（I）求抛物线的表达式；

（2）求NACB的正切值；

（3）点尸在线段CB的延长线上，B.ZAFC=ZDAH,求C尸的长.

第24题图

25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）

已知，在△ABC中，AB^AOS,BC=8,点E是射线CA上的动点，点。是边BC上的

动点，且OC=OE,射线0E交射线BA于点D.

（1）如图1,如果0U2,求3^的值；

（2）联结A0,如果△AE。是以AE为腰的等腰三角形，求线段0C的长；

（3）当点七在边AC上时，联结3E、CD,/DBE=/CDO,求线段OC的长.

2021学年第一学期初三数学教学质量监测试卷

数学试卷参考答案及评分说明

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1.A；2.D；3.C；4.C；5.D；6.D.

二、填空题：（本大题共12题，每题4分,满分48分）

2

7.-；8.（0,-1）；9.0.5；10.V5+1;11.9:4；121;

3

13

13.5；14.（-2,-2）；15.300；16.；17.-；18.

3634

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

2---1

19.解：原式=6------...............................................（5分）

L（与

22

行一1r~r-

=V3--1j-=5/3—（A/3—1）=1.............................（5分）

一+一

22

20.解：（1）・・,二次函数旷=一/+法+6*的图像经过点Z（0,3）、B（-1,0）.

解得a=—\,b=2........................................（1分）

二二次函数的解析式是y=-d+2x+3.......................（1分）

y=-X2+2x+3=-（x-1）2+4...............................（1分）

0该抛物线的顶点为（1,4）................................（1分）

（2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点A的位置，

那么其平移的过程是向左一个单位，向下一个单位,..........（2分）

平移后的抛物线表达式是y=+3........................（3分）

21.解：（1）因为4B〃CD,则丽，灰同向，

____2一

因为A8:CD=3:2,AB=m,所以=—〃z...............（1分）

3

_______2一

因为亚=兀所以Ad=Az5+oC=n+—m............（1分）

3

1191

因为E是C。边的中点，所以£C=—OC=—・-A3=—A3

2233

ATAH3

因为A8〃CD,所以一=—=3,AF=-AC.............（2分）

FCEC4

_______332—31—

因为赤，林同向，所以4尸=二4c=々〃+—加='3+—〃；（1分）

44342

（2）画图及结论正确..........................................（5分）

22.解：（1）过点A做垂足为点，，（1分）

据题意，AD=3.5,NAOC=53°

在RtZ\AHD中，SinZADH=——，（1分）△B

AD

AH=AD-sinZADC=3.5•sin53°。2.8（1分）

答：“路灯A”到地面的距离约为2.8米.（1分）

（2）过点A做AP_L.BC,垂足为点P,设AB=xHD

据题意，NA3E=76°,ZCDB=45°,AP=CH,AH=CP

‘人上A”

在RtAAHD中，SinZADH=——，

AD

OH=A。•cosZ/U5C=3.5•cos53°a2.1（1分）

Ap

在Rt/XABP中，sinNABP=——=sin760工0.97,

AB

cosZABP=—=cos76®0.24

AB

所以AP=0.97x,8P=0.24x（2分）

Be

在RtZ\BCD中，tanZBDC=——=tan45°

CD

所以8c=C。（1分）

所以2.8-0.24x=2.1+0.97x（1分），

解得：x^O.6.

答：“灯杆"A8的长度为0.6米.（1分）

23.证明：（1）；8。平分N4BC,AZABD^ZDBC.…（1分）

,■*AB-BD=BC-BE，------------（1分）

BCBD

AABES/XCBD.................................................•.•....（...1..分）

...NE=NBDC,"：ZBDC=ZADE,：.NE=NADE.（2分）

：.AD=AE....................................................................（1分）

,、..ABCCD

（2）♦/\ABEsAACBD,**-----=------.....................（1分）

BAAE

BF=DF,：./DBF=NBDF..............................（1分）

NDBF=NDBC+NCBF,ZBDF=ZABD+ZBAD,

XVZABD=ZDBC,：.NBAF=NCBF.............（1分）

ZF=ZF,：.ABCFS^ABF............................（1分）

.BFBC「DFBC

•♦--------.又.BF=DF,«♦--------------•,（1分）

AFABAFAB

DFDC

AFCD=AEDF.（1分）

AFAE

24.解：（1）•二次函数y=ox2+2ax+c的图像经过点C（0,3）,...c=3.（1分）

y-ax2+2ax+3-a（x2+2x+l）+3-a=«（x+1）2+3-a....................（1分）

:抛物线丁=々『+2℃+。顶点。的纵坐标为4,，3-a=4,o=-l.................（1分）

该抛物线的表达式是y=一尤2_2X+3...............................................................（1分）

（2）过点A做AHLCB,垂足为点H.

在RtaocB中，CBZOB?+oc?=

在△ABC中，AB=4,0C=3,则SABOC^-CB-AH,

A/10122

A"=|屈..........................（2分）

在Rt^ACH中，C"=1AC?-AH?=^18-y=|河，

AU

：.tanZACB=——=2................................（2分）

CH

（3）设抛物线对称轴交x轴于点G,则NDGA=90°

DG

在RtZVIDG中，tanNZMB=——=2,

AG

"：tanZACB=2,NACB=/DAB."：ZDAB=ZAFC,：./ACB=/AFC.（1分）

AC=AF,AH1CB.：.CF=2CH...........................................................................（1分）

A/-J

在RtAACH中，tanZACB=——=2,AH=2CH,：.AH=CF.....................（1分）

CH

•・•A”=g屈，CF-|V10.......................................................................（1分）

25.（1）AB=AC,：.NB=NC,；0E=0C,：.Z0EC=ZC,Z0EC=ZB,

又ZC=ZC,：.MOCEsXABC

：.—,又：AB=AC=5,BC=8,0C=2,：.EC=—....................（1分）

OCAB5

o

80=6,AE=-...............................................................................................（1分）

5

•/4AED=/0EC,NOEC二NB,/.ZAED=ZB.

又丁N。=ND,AADEsADOB............................................................（1分）

^L=（^）2=（』）2=2......................................................................（1分）

S.ODB8010100

（2）设OC=OE=x

・・ARQr•EC_BC・8

•/\ABC»••=>•»EC=-x

OCAB5

当点E在边AC上时，可知N4EO>90°,唯有AE=E。............（1分）

得方程：5--x=x,解方程得：x=—.............................................（1分）

513

当点E在边AC延长线上时，

①若AE=E。，得方程：-x-5=x,解方程得：X-—>8（舍）…（1分）

53

②若A£=A。，则/£=/AOE=/C,又■:NE=NE,：./\AEO^>/\EOC-（1分）

8匚

-x-5

需察