2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第15课时 二次函数的图象与系数a、b、c的关系（课件）

第15课时

二次函数的图象与系数a、b、c的关系

内蒙古中考真题及拓展3

考点精讲1

重难点分层练2二次函数的图象与系数a、b、c的关系根据二次函数图象判断相关结论根据二次函数图象判断a、b、c的关系式与0的关系与一元二次方程的关系与一次函数的关系二次函数与一元二次方程、一次函数的关系二次函数的图象与系数a、b、c的关系考点精讲【对接教材】北师：九下第二章P51～P55；

人教：九上第二十二章P43～P48.1考点二次函数的图象与系数a、b、c的关系1.根据二次函数图象判断相关结论图象(草图)结论a＞0；b______0；c______0；b2－4ac______0a______0；b______0；c______0；b2－4ac______0＝＝＝＞＞＝＞图象(草图)结论a＜0；b______0；c______0；b2－4ac______0a______0；b______0；c______0；b2－4ac＞0＞＜＜＜＞＝2.根据二次函数图象判断a、b、c的关系式与0的关系结论形式联系知识观察图象

结论判定a＞0a＜02a＋b对称轴x＝－与直线x＝1的位置关系对称轴x＝－在直线x＝1左侧

2a＋b＞02a＋b＜0对称轴x＝－与直线x＝1重合2a＋b＝0对称轴x＝－在直线x＝1右侧

2a＋b＜02a－b＞0结论形式联系知识观察图象

结论判定a＞0a＜02a－b对称轴x＝－与直线x＝－1的位置关系对称轴x＝－在直线x＝－1左侧2a－b＜02a－b＞0对称轴x＝－与直线x＝－1重合2a－b＝0对称轴x＝－在直线x＝－1右侧2a－b＞02a－b＜0结论形式联系知识观察图象

结论判定a＞0a＜0a＋b＋c抛物线与直线x＝1的交点的位置抛物线与直线x＝1的交点在x轴上方a＋b＋c>0抛物线与直线x＝1的交点在x轴上a＋b＋c＝0抛物线与直线x＝1的交点在x轴下方a＋b＋c<0结论形式联系知识观察图象

结论判定a＞0a＜0a－b＋c抛物线与直线x＝－1的交点的位置抛物线与直线x＝－1的交点在x轴上方a－b＋c>0抛物线与直线x＝－1的交点在x轴上a－b＋c＝0抛物线与直线x＝－1的交点在x轴下方a－b＋c<02考点二次函数与一元二次方程、一次函数的关系与一元二次方程的关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标值．1.抛物线与x轴有两个交点⇔方程ax2＋bx＋c＝0有两个_________的实数根⇔b2－4ac＞0；2.抛物线与x轴有且只有一个交点⇔方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根⇔b2－4ac________0；3.抛物线与x轴无交点⇔方程ax2＋bx＋c＝0_______________⇔b2－4ac________0不相等＝无实数根＜与一次函数的关系一次函数y＝kx＋n(k≠0)的图象l与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象G的交点个数，由方程组的解的数目确定，方程组有两组不同的解⇒l与G有两个交点；方程组只有一组解⇒l与G只有一个交点；方程组无解⇒l与G没有交点重难点分层练例1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点为

B(1，0).结合图中信息，填空(填“＞”、“＜”或“＝”)．一题多设问例1题图(1)a________0；

2a－b________0；b________0；

c________0；abc________0；＞＝＞＜＜回顾必备知识(2)b2－4ac________0；(3)a－b＋c________0；(4)4a－2b＋c________0；(5)9a－3b＋c________0；(6)3a＋c________0；(7)b2－c2________0.＞＜＜＝＝＜例1题图例2已知抛物线y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m(m是常数).(1)若抛物线经过点(0，4)，则其与x轴是否有交点？若有，求出交点的坐标；若没有，请说明理由；一题多设问解：(1)有交点，理由如下：∵抛物线经过点(0，4)，∴1－3m＝4，解得m＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4.提升关键能力令y＝0，即－x2＋3x＋4＝0,解得x1＝－1，x2＝4，∴该抛物线与x轴有交点，交点坐标为(－1，0)，(4，0)；(2)若抛物线与x轴交于A、B两点，求m的取值范围；(2)∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴m≠0，b2－4ac＝(1－2m)2－4m(1－3m)＝(4m－1)2＞0，解得m≠，∴m的取值范围为m≠且m≠0;(3)若抛物线与y轴的负半轴交于一点，且该点到x轴的距离为2，P为抛物线上一点，若其到x轴的距离为3，求点P的坐标；(3)由题意知抛物线与y轴交于点(0，－2)，∴1－3m＝－2，解得m＝1，∴抛物线解析式为y＝x2－x－2.∵点P到x轴的距离为3，∴点P的纵坐标为3或－3,当－3＝x2－x－2时，方程无解，

当3＝x2－x－2时，解得x1＝

，x2＝

，

∴点P坐标为(，3)或(，3);(4)若该抛物线与直线y＝－2只有一个交点，求m的值；(4)∵该抛物线与直线y＝－2只有一个交点，∴交点坐标即为顶点坐标，

即

化简得16m2－16m

＋1＝0，

解得m＝

即m的值为

或(5)若该抛物线与直线y＝2x＋3有两个交点，其横坐标分别为x1，x2，且x1＋x2＝3，求m的值．(5)∵该抛物线与直线y＝2x＋3有两个交点，∴令mx2＋(1－2m)x＋1－3m＝2x＋3，化简得mx2＋(－1－2m)x－2－3m＝0，∵x1＋x2＝3，∴＝3，解得m＝1.(6)已知点E(－1，0)、F(4，9)，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求m的取值范围．(6)抛物线y＝mx2＋(1－2m)x＋1－3m中，当x＝－1时，y＝m－1＋2m＋1－3m＝0，∴抛物线恒过点E(－1，0)，①当m＞0时，要使抛物线与线段EF只有一个交点，则当x＝4时，F(4，9)在抛物线上方，即16m＋4－8m＋1－3m＜9，解得m＜

，∴m的取值范围为0＜m＜

；②同理当m＜0时，则有16m＋4－8m＋1－3m＞9，解得m＞

，此时，不符合题意，综上所述，m的取值范围为0＜m＜内蒙古中考真题及拓展1命题点二次函数与系数a、b、c的关系1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a－b＋c＝0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＋1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x＜－1或x＞3时，y＞0，上述结论中正确的是________．(填上所有正确结论的序号)．第1题图②③④拓展训练2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2－4ac>0；③方程ax2＋bx＝0的两根为x1＝－2，x2＝0；④7a＋c<0.其中正确的有(

)A.①④B.②③C.③④D.②④x…－3－2－112…y…1.8753m1.8750…B3.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(1，2)，且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中－1<x1<0，1<x2<2，下列结论：①abc>0；②2a＋b<0；③4a－2b＋c>0；④当x＝m(1<m<2)时，am2＋bm<2－c；⑤b>1.其中正确的有________．(填写正确的序号)第3题图②④⑤2命题点二次函数与一元二次方程4.已知二次函数y＝(a－2)x2－(a＋2)x＋1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程(a－2)x2－(a＋2)x＋1＝0的两根之积为(

)A.0B.－1C.－D.－D拓展训练5.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2＋2x＋k与x轴只有一个交点，则k＝________．16．如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b交于点A(2，0)和点B.(1)求m和b的值；第6题图解：(1)∵抛物线y＝x2＋mx经过点A(2，0)，∴4＋2m＝0，解得m＝－2.∵直线y＝－x＋b经过点A(2，0)，∴－2＋b＝0，解得b＝2；(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式