2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第27课时 正方形（课件）

第27课时正方形

考点精讲1

重难点分层练2

内蒙古中考真题及拓展3正方形的性质与判定概念性质判定面积公式中点四边形平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系从边、角的角度看从对角线的角度看正方形考点精讲【对接教材】北师：九上第一章P20～P25；

人教：八下第十八章P58～P63.1考点

正方形的性质与判定概念有一组邻边相等，并且一个角是直角的平行四边形叫做正方形性质1.边：(1)四条边都______；(2)两组对边分别平行；2.角：四个角都是直角；3.对角线：对角线____________________，每条对角线平分一组对角；4.对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形，有4条对称轴，对称轴是两条对角线所在直线及两组对边的垂直平分线，对称中心是对角线的交点相等互相垂直平分且相等判定1.有一组______相等的矩形是正方形；2.有一个角是_____________的菱形是正方形；3.对角线__________的矩形是正方形；4.对角线______的菱形是正方形面积公式S＝a2＝l2(a为正方形的边长，l表示正方形对角线的长)邻边直角(或90°)互相垂直相等2考点

平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系从边、角的角度看从对角线的角度看相等直角(或90°)直角(或90°)相等3考点

中点四边形概念依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形原图形任意四边形矩形菱形正方形中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形原图形对角线相等的四边形对角线垂直的四边形对角线垂直且相等的四边形

中点四边形形状菱形矩形正方形【满分技法】连接特殊四边形中点的四边形面积是原图形的一半重难点分层练回顾必备知识例1一题多设问如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O

，满足：①AO＝BO，②AC⊥BD，③AB＝BC，④∠ABC＝90°.从上述条件中，任意选取两个条件，证明平行四边形ABCD是正方形．例1题图【解法一】选择条件：______(填序号)；证明：【判定依据】用到的正方形的判定定理为_________________________.例1题图①③∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形．∵AO＝BO，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是正方形；对角线相等的菱形是正方形【解法二】选择条件：______(填序号)；证明：【判定依据】用到的正方形的判定定理为________________________________.②④∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形．又∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是正方形．有一个角为直角的菱形是正方形例1题图例2一题多设问如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O.例2题图(1)∠AOD的度数为______；(2)若AB＝2，则AC＝______；(3)若AC＝5，则正方形ABCD的面积为_____；(4)若△OBC的面积为4，则正方形ABCD的周长为_____．90°2516提升关键能力一题多设问例3在边长为4的正方形ABCD中，点E是边BC上一点，点F是边CD上一点，连接AE、BF相交于点G，连接AF.例3题图①例3题图①(1)如图①，连接EF，若CE＝CF＝1，则△AEF的面积为____，点E到AF的距离为____；【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝4，∵CE＝CF＝1，∴BE＝DF＝3，∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ABE－S△ADF－S△CEF＝4×4－2××4×3－×1×1＝

；例3题图①如解图①，过点E作EH⊥AF于点H，H∟在Rt△ADF中，AF＝

＝5，∵S△AEF＝

AF·EH＝

，∴EH＝

，∴点E到AF的距离为.解：

，

；(2)如图②，若CE＝DF.①求证：△ABE≌△BCF；例3题图②(2)①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCF＝90°.∵CE＝DF，∴BE＝CF.在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF(SAS)；例3题图②②若CE＝DF＝1，则GF的长为____；【解法提示】由①得，△ABE≌△BCF，∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE

＋∠BEA

＝90°，∴∠GBE

＋∠GEB

＝90°，∴∠BGE

＝90°，∵cos∠EBG

＝

，∴BG

＝·BE

＝×3＝

，∴GF

＝

BF

－

BG

＝5－

＝.(3)如图③，若点E、F分别是BC、CD的中点，点P、Q分别是AE、BF的中点，连接PQ，求PQ的长；例3题图③(3)解：如解图②，连接BP并延长交AD于点K，连接KF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，AD∥BC，∠D＝90°，∴∠PAK＝∠PEB，∠AKP＝∠EBP.∵点P是AE的中点，∴AP＝EP.K例3题图③K在△APK和EPB中，∴△APK≌△EPB(AAS)，∴AK＝EB，PK＝PB.∵点E、F分别是BC、CD的中点，∴BE＝DF＝2，∴AK＝DK＝2，例3题图③K∴在Rt△KDF中，KF＝

.∵点Q是BF的中点，点P是BK的中点，∴PQ是△BKF的中位线，∴PQ＝

KF＝

；(4)如图④，若点E是BC的中点，CF＝3DF，求△AGF的面积；

例3题图④(4)解：如解图③，过点F作FM⊥AB于点M，过点G作GN⊥AB于点N，∵正方形ABCD的边长为4，点E是BC的中点，CF＝3DF，∴BE＝2，CF＝3.∵GN⊥AB，FM⊥AB，∴MF＝BC＝4，BM＝CF＝3，GN∥FM，∴△BNG∽△BMF，∴

，即

.M∟N∟例3题图④M∟N∟设BN＝3x，则NG＝4x，AN＝4－3x，∵GN⊥AB，EB⊥AB，∴△ANG∽△ABE，∴，即

，解得x＝

，∴NG＝4x=∴S△AGF＝S△ABF－S△ABG＝(5)如图⑤，连接EF，当△AEF是等边三角形时，求∠AEB的度数和CF的长；例3题图⑤(5)解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝4.∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝60°.在Rt△ABE和Rt△ADF中，例3题图⑤∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴∠BAE＝∠DAF，∠AEB＝∠AFD，∴∠BAE＋∠DAF＝90°－∠EAF＝30°，∴∠BAE＝∠DAF＝15°.∴∠AEB＝90°－∠BAE＝75°.如解图，在AD上取一点J，使∠JFA＝∠DAF＝15°，J∴AJ＝FJ，∠DJF＝30°，∴DF＝

FJ＝

AJ，DJ＝

DF.例3题图⑤J设DF＝x，则DJ＝

x，AJ＝FJ＝2x，∵AJ＋DJ＝AD，∴2x＋

x＝4，解得x＝8－4，∴DF＝8－4，∴CF＝CD－DF＝4－(8－4)＝4－4；(6)如图⑥，∠EAF＝45°，连接EF.①求证：EF＝BE＋DF；例3题图⑥(6)证明：①如解图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABO，由旋转性质可知∠BAO＝∠DAF，AF＝AO，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠BAE＋∠BAO＝45°，∴∠EAF＝∠OAE.∵∠ABO＝∠D＝90°，∴点O、B、E共线．O例3题图⑥O在△AFE和△AOE中，∴△AFE≌△AOE(SAS)，∴EF＝EO，即EF＝BE＋BO＝BE＋DF；例3题图⑥②连接BD交AE于点H，连接HF，求证：△AHF是等腰直角三角形．②如解图，设BD与AF交于点I，I∵∠HAI＝∠IDF＝45°，∠AIH＝∠DIF，∴△AHI∽△DFI，∴，即

.又∵∠AID＝∠FIH，∴△ADI∽△HFI，∴∠HFI＝∠ADI＝45°，∴∠HAF＝∠HFA＝45°，∴△AHF是等腰直角三角形．内蒙古中考真题及拓展

与正方形有关的证明与计算1.已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若A点的坐标为(2，

)，则B点与D点的坐标分别为(

)A.(－2，

)，(2，－

)B.(－

，2)，(，－2)C.(－

，2)，(2，－

)D.(

－

)，(

)B命题点2.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是(

)第2题图A.B.C.D.C3.如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE.若∠BAE＝56°，则∠CEF＝____°.第3题图4.已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝

，连接AE，与正方形另一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为_______．225.如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF.若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为________．第5题图22.5°6.如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH.以下结论：①CF⊥DE；②

；③GH＝

；④AD＝AH，其中正确结论的序号是________．第6题图①②④7.如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点(不与B、C重合)，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.第7题图(1)求证：AF－BF＝EF；(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＋∠