高考数学核心考点培优讲义练习题

高考数学纲目核心精华暨压轴突破全书Word版

目录TOC\o"1-3"\h\u纲目一函数十章 1第一章函数三要素 1第一节函数的定义域 1第二节函数的解析式 3第三节函数的值域(高中五类求函数值域工具) 7第二章函数的单调性 18知识点一：求具体函数的单调区间 19知识点二：二次函数的单调性问题(图像解决) 19知识点四：含参复合函数单调性问题 21知识点五：抽象函数单调性问题 22知识点六：函数单调性的简单应用(主要应用于比较大小) 22第三章函数的奇偶性 23知识点一：奇偶函数定义的应用 31知识点二：奇函数加常数模型 32知识点四：偶函数与单调性混合问题 34第四章函数的周期性 36第五章函数的对称性 39一、对称函数的定义 39二、高中常见的点对称函数汇总 39三.周期性与对称性的区分 42知识点一：点对称函数的研究 44知识点二：轴对称函数的研究 45第六章分段函数的研究 47知识点一：分段函数值域问题 47知识点二：分段函数奇偶性问题 47知识点三：分段函数解不等式 48知识点四：分段函数的零点问题 48第七章函数的图像 50知识点一：函数图像的基本变换 51知识点二：典型的数形结合思想应用 52知识点三：分段函数中的类周期函数图象 53知识点四：嵌套函数研究(碰到嵌套函数问题，三步走) 54第八章恒成立与存在性问题 571、恒成立问题 572.存在性问题 573.恒成立与存在性混合不等问题 574、恒成立与存在性混合相等问题 585.含绝对值的恒成立问题 586、含绝对值的存在性问题 587.含绝对值的恒成立与存在性混合问题 588.解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法 59第九章函数与方程 63第十章抽象函数与取整函数 68一、抽象函数与其对应的函数模型总结 68二、取整函数及其性质总结 69纲目二三角函数 72第一章三角函数的化简与求值 72一、三角函数的定义(定义是三角函数的基石) 72二、同角三角函数公式(已知一个三角函数值，求另外两个三角函数值) 72三、诱导公式(奇变偶不变，符号看象限) 72四、特殊角三角函数 73五、常见直角三角形勾股数 75六、两角和差公式 76七、倍角公式 76八、万能公式 76九、和差化积公式 77第二章三角函数的图像与性质 78第三章三角函数一题30问 79一、三角函数的其本性质与图象 79二、解三角函数方程与不等式 83三、三角函数的奇偶性 84四、三角函数的定义 85五、三角函数化简与求值 87六、三角函数求值域 89七、求三角函数中ω的取值范围 92纲目三解三角形 94第一章解三角形知识点汇总 941.正弦定理 942.余弦定理 943.△ABC中的射影定理 944.△ABC的面积公式 955.解三角形的常用方法及结论 966.中线模型 967.角平分线模型 988.三角形中的对边和对角定理 989、三角形四心的坐标 9910、三角形中的欧拉线、欧拉公式 10011、平面几何中的几个重要定理 10012、圆的拓展 10113.什么样的三角形可解？ 10114、解三角形常规方法选择 10115.解三角形常用小结论 10216、解三角形步骤 102第二章解三角形一题14问 103一、已知边角关系求角 103二、已知一角求范围 105三、已知对边和对角求范围 105纲目四平面向量 108纲目五数列 112第一章数列知识点汇总 112第一大类：公式法 114第二大类：由递推公式求通项公式(包含以下类型) 114第三大类：周期数列求通项公式(高中常见周期数列如下) 116第四大类：阶差数列 117第二章数列一题57问 124(一)求数列的通项公式 124(二)求数列的前n项和 128(三)数列的证明问题 136(四)数列的单调性 137(五)简单数列的放缩 139第三章数列解答题规范训练 140纲目六不等式 147第一章基本不等式 147第二章线性规划一题10问 154纲目七立体几何 160第一章空间几何体常用结论 1601.四面体常见小结论 1602.五正弦定理 1633.三余弦定理 1644.最小角定理 1645.斜线定理 1656、三垂线定理与三垂线逆定理 1657、三射线定理 1668、射影夹角定理1 1678、射影夹角定理2 1679.面积射影定理 16710.与两异面直线成等角的直线条数判定 16811.欧拉公式 16912、立体几何中的空间角 16913.立体几何中的距离 17014、空间余弦定理 17215.截面问题 173第二章古代空间几何体研究 175一、阳马 176二、鳖臑 176三.刍甍 177四、刍童 177五、羡除 178六.楔形四棱台 178七、牟合方盖 178第三章立体几何中的外接球、内切球问题 182类型一、墙角模型(三条线两两垂直) 182类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面) 183类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直) 186类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球) 189类型五、折叠模型 192类型六、对棱相等模型 195类型七、两直角三角形拼在一起模型 196类型八、椎体的内切球问题 197第四章立体几何证明问题 2031、四个公理 2032.八个定理(四个判定定理+四个性质定理) 2033.立体几何中的证明网络图 2054、立体几何中的传统证明方法 2055、立体几何中的向量证明方法 2086、立体几何证明题常规解题思路 208纲目八统计概率 210第一章排列组合与二项式定理知识点 210第二章统计部分知识点 212第三章概率部分知识点 212纲目九解析几何 233第一章直线与圆知识点 233第二章椭圆知识点 239第三章双曲线知识点 256第四章抛物线知识点 267第五章圆与圆锥曲线的轨迹之缘 284第六章圆锥曲线硬解定理 290第七章椭圆一题二十问 294第八章圆锥曲线微专题汇总 306第九章圆锥曲线弦长面积问题 317第十章圆锥曲线定点问题 324第十一章圆锥曲线定值问题 333第十二章圆锥曲线其它类问题 335第十三章圆锥曲线高考真题 344纲目十导数 351第一章导数的计算与几何意义 351第二章三次函数 354第三章原函数导函数混合还原 356第四章导函数十大类型 358类型一、导数中的单调性讨论(分类讨论思想) 358类型二、导数中的可分离参数(数形结合思想) 359类型三、导数中的函数不等式放缩(不等关系转化思想) 373类型四、导数中的构造新函数(函数思想) 378类型五、导数中的隐零点问题(卡根思想) 383类型六、导数中的极值点减元问题(减元思想) 387类型七、导数中的极值点偏移问题(构造对称函数思想，或利用对数均值不等式) 398类型八、导数中的先构造，再赋值，证明和式或积式不等式(构造与赋值思想) 410类型九、导数解决含有lnx与ex的证明题(拆分思想) 420纲目十一高中数学拓展知识 429第一章导函数中的洛必达法则 429第二章泰勒公式的简单应用 432第四章阿波罗尼斯圆 434第五章斐波拉契数列的性质 438纲目一函数十章第一章函数三要素第一节函数的定义域类型一：求具体函数定义域第1步：写大括号第2步：列全满足的条件第3步：作交集例1：求函数fx[解析]x类型二、求抽象函数定义域解抽象函数定义域，记住两句话(1)定义域都是单个x的含；(2)括号里的范围永远一样，所以先求括号里的范围.例2：已知函数fx+3的定义域为−5[解析]x∈−5,−2⇒综上所述：函数f2x−类型三：求混合函数定义域第一步：先求具体函数的定义域第二步：其括号里的范围第三步：作交集例3：已知fx+1=[解析]1−x2≥综上所述：f2x−

第二节函数的解析式求函数的解析式的常用方法(注意：求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则扱易出错)类型一、代入法已知函数fx的解析式，求fgx，用g例：已知fx=2x[解析]f综上所述：ffx类型二、配凑法已如fgx的解析式，求fx解析式，可从fgx的解析式中拼凑出gx，即用gx例：已知fx+1x[解析]fx下求fx的定义域，即求括号里的范围由双句函数的图像知x+1即fx=综上所述：fx的解析式是fx=类型三、换元法已知fgx的解析式，求fx的解析式，令t=gx，再求出ft的解析式，例：已知f1−x1[解析]设1−x1f综上所述：fx的解析式是类型四、解方程组法已知fx与fgx满足的关系式，求fx，可用gx代替两边的所有的x，得到关于f例：已知函数fx满足f2−1[解析]用x替换x待：f设2+1综上所述：fx的解析式是类型五、待定系数法已如fx的泰籹类型求解析式，可根据类型设其解析式，然后求其系数即可.代：已㤊fx是二次函数且f0=[解析]设ff综上所述：fx的解析式是类型六、赋值法给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式.例：已知函数fx是0,+∞上的增函数，若ffx[解析]fx是0,+∞上的增函数，且ffx设fx−lnx综上所述：fx的解析式是类型七、递推法对于定于在N上的函数，我们可以把fn、fn+1、fn+2等与数列an中的项an、an+1、an例：已知fx定义域为N+，并且对于任意的x,y∈N+，都存f[解析]令y=1得fx累加得：f财f综上所述：fx的解析式是类型八、周期对称变换法某些函数具有周期性和对称性，告诉部分解析式，求另一部分解析式，先设出所求定义域的范围，然后用周期变换和对称变化等价转换求解.例：已知偶函数fx为定义在R上的周期为2的周期函数，已知当x∈3,4时，fx[解析]设x∈−1,0,x+4∈3,4,∴fx+4=2x+4综上所述：当x∈−1,1类型九.利用“夹逼原则"求函数解析式例.二次函数fx=ax2+bx+c的图像过点[解析]f−1=0⇒a−b+c即f1=a+b+c=1(2)，由(1即x≤ax2+所以a对∀x∈R成立所以综上所述：fx的解析式是

第三节函数的值域(高中五类求函数值域工具)求函数的值域常和求函数的最值问题紧密相关，是高中数学的一个重点和难点.市面上教辅提供的方法很多很多，比如直接法，配方法，反函数法，分樆常数法，换元法，判别式法，函数的单调性法，数形结合法，中间量法，基本不等式法，实际问题应用法...等等，方法很齐全，但是题型太杂，太分散，以至于方法太多，学生不易掌握.以下是僬倅客为高中生提供的五类求函数值域工具，经实践证明，方法具有共性，应试性很强，在考场上能决速求解出一般函数的值域.以下五类工具也有一个共性，就是抓函数的图像，一个函数只要能画图，它的所有性质在图像上是一目了然的！记住：函数干万个，图像第一条，若不记图像，考试两行泪！画函数的图像是有技巧的，主要是由单调性和特殊点决定，注意：不要过多关注函数的解析式，要关注它的单调性和对称性和特殊点，所以请你掌握以下编者总结的常规类型的函数图像，记住了，熟了，在考场里就能屠杀！类型一、基本初等函数(熟记图像，用图像解题)基本初等函数有5类，指、对、幂、三角、反三角、其中反三角早已删除函数解析式图像y当k>当k<y当a>当a<y当k>0时，有两个递减区间当y当a>当0<过定点0y当a>当0<过定点1y奇函数，T定义域和值域均为Ry偶函数，T定义域和值域均为Ry奇函数，T定义域为x值域为R不要小瞧上述8个函数，当你对它们理解深到一定程度时，基本初等函数章节就通了重点是二次函数(只要是与二次函数有关的问题，三步走图像解决，不要配方，因为配方然并卵)第一步：弃出对称轴x=−第二步：根据开口方向结合f0的值，画出草图第三步：标出定义域，在定义域内的图像加粗，注意端点值的开闭.例：求函数fx(1)x∈R；(2)x∈0,[解析]对称轴x由图像下结论：(1)fx∈[1(2)fx∈1(3)fx∈1类型二、齐次分式函数第一小类：齐次一次分式函数fx=cx+d第一步：分离常数f第二步：找中心对称点−第三步：根据ad−bca的符号确定单调性，fx=cx+定义域为x∣x≠−ba，

第二小类：囧函数标准的囧函数为偶函数，有两条渐近线绝对值型“囧函数”偶次方型“囧函数”部分二次函数的倒数函数faf=(a>0fb例如fx例如fx例如fx类型三、非齐次分式函数(画图解决)第一小类：双勾函数f第二小类：飘带函数f变形式：fx=ax+单调递增区间是−∞,−单调递减区间是−变形式：f飘带函数是奇函数定义域为−∞,0∪单调增区间是−∞,函数的零点是−a和第三小类：牛顿蛇纹线f第四小类：奇减函数f变形式：f奇函数，定义域为R，值域为−12a,当x≠0极大值点为a，极小值点为−奇减函数是奇函数，定义域为−∞,−当x=0当x≠0时，f类型四：无理式函数求值域可用三角换元第一步：先求定义域：第二步：锁定参数角的范围，三角换元第一小类：形如y=例1：求y=[解析]1−x2∴第二小类：形如y=例2：求y=[解析]2x−x2∴第三小类：形如y=例3：求y=[解析]3x≥0∴第四小类：形如y=例4：求y=[解析]x2−2x≥0⇒y当θ=π当θ≠π

类型五、含指对数可求导函数函数解析式图像性质f称之为"e峰图"零点为x=1，值域为增区间为0,e可用来研究AB与Bf称之为为"e峰图"零点为x=1，值域为增区间为0,e可用来研究AB2与f称之为"e谷图"定义域为0值域为−∞,增区间为e,+∞，减区间为f称之为"电勾图"零点为x=1增区间为1e,+∞f定义域为−∞,值域为−∞,增区间为1减区间为−∞,f值域为−增区间为−减区间为−∞,−[基础典例分析]一、换元为二次函数例1：求函数fx[解析]fx=4x−12−综上所述：函数fx的值域为例2：已知函数fx=asinx−cos[解析]fx=asinx−cos2x当−a2<0当0≤−a2当−a2>1⇒综上所述：f二、用函数工具解决侀：求函数fx[解析]设4x由牛顿蛇纹线图像性质得：g综上所述：函数fx的值域为三、数形结合法解决例1：已知函数f(I)若此函数的定义域为R，求实数m的取值范围；(Ⅱ)若此函数的值域为R，求实数m的取值范围.[解析](1)定义域为R，则mx2当m=0时，1>0当m≠0怕，由图象综上所述：实数m的取值范围为[(Ⅱ)值域为R，则mx2+mx+1的取值跑综上所述：函数m的取值范围为[例2：求函数fx[解法一]fx=sinx2+cosx由几何关系知，OP1=即f综上所述：函数fx=[解法二]设y=sinx2综上所述：函数fx=例3：求函数fx[解析]数形结合法解决fx=sinx2+cosx如图，P即f综上所述：函数fx=例4：函数fx=t+sinxt[解析]fx=t+sinxt+cosxt>1表示单位圆上动点Acosx,sinx和单位圆外一点B−t,−t的连线的斜率k，当直线AB与圆x2+y2=1四.形如y=a1例：求函数fx[解析]函数的定义域为R，设y=x−x2−当y+1≠0综上所述：函数fx=注意(1)有两种情况不能采用此法(一是定义域不为R：二是分子分母有公因式)(2)在解题过程中注意对二次项系数是否零的讨论第二章函数的单调性[基础知识整合]1.函数单调性定义：∀x1,x2∈D⊆I，若x1<x22.单调性定义的等价形式：设x1,x2∈D，且fx1−fx2x1−x2>0⇔fx3.推广：设x1,x2∈D，且fx1−fx24.单调性的证明：(I)定义法：设元→作差→变形→判断符号→给出结论(Ⅱ)求导：用导函数的符号来判断增或减5.会定性的分析一般复合函数的单调性，记住同增异减6.函数的单调性是函数的局部性质，只要函数有多个增或减区间，作答时中间都用逗号隔开7.单调性的运算法则：增+增=增；增减=增；减+减=减；减-增=减；-增=减；−减＝增；1增=减；1[基础典例分析]知识点一：求具体函数的单调区间第一步：求定义域；第二步：根据同增异娍，画出草图；第三步：结合图像下结论.例：求函数fx[解析]第一步：先求定义域：x2−第二步：出出草图：y第三步：结合图像下结论(注意反着下结论)fx的单调增区间为−∞,−fx的单调减区间为1,知识点二：二次函数的单调性问题(图像解决)例：已知二次函数fx=x2+bx+cb[解析]由题，fx的对称轴为当−b2≤−1当−b2≥1当−1<−b2当0<−b2≤综上所述：M−N知识点三：分段函数单调性问题(图像解决)例1：已知函数fx=−x2−ax[解析]−综上所述：实数a的取值范围是−例2：已知函数fx=3−ax−[解析]3综上所述：实数a的取值范围为1例3：已知函数fx=ax,x<[解析]a综上所述：实数a的取值范围为2知识点四：含参复合函数单调性问题第一步：根据同增异减，列出gx第二步：根据单调性列出函数fx有意义时g第三步：作交集例：已知函数fx=logaa+1x(A)5(B)1(C)2(D)1[解析]设g当0<a综上所述：实数a的取值范围是5知识点五：抽象函数单调性问题第一步：画出函数fx的草图，结合草图脱掉fx的第二步：写大括号“{”第三步：在大括号里列全满足的条件，尤其注意括号里的式子要满足定义域例：已知fx是定义在−1,1上的增函数，且f[解析]x知识点六：函数单调性的简单应用(主要应用于比较大小)例：已知a=4ln3[解析]a=4πln3,b=由y=ln综上所述：d

第三章函数的奇偶性[基础知识整合]一、奇函数知识点1.奇函数的定义：∀x∈I，有f−x=−注意：1、奇偶性只对自变量x而言2、括号里的整体变成原来的相反数，函数值变为相反数3.fx的图像关于原点0,2.奇函数形式的推广(记结论的时候结合图像的对称性，理解会更深，概念会更清晣)(1)若fx是奇函数，则满足代数式fx+a(2)若fx+满足代数式fx+a(3)若fx+a是奇函数满足代数式fx+f(4)若fax+则g满足代数式fax+b3.常见奇函数：f任意奇函数乘以系数仍然是奇函数，奇函数作加减运算仍然是奇函数4.特殊奇函数：ffff以下类型都为奇函数的变式幂函数奇数型f为奇函数则a(若奇函数中含有偶次项，则偶次项系数一定为零)分式型奇函数(1)fx=偶(2)fx=奇偶，(3)fx证明：定义域为R，关于原点对称f指数型奇函数(1)fx=a(2)fx=1(3)fx=a注意：ax−1易错题：(1)若fx=ex−(2)若fx=a−ex(3)若fx=(4)若fx=对数型奇函数(1)f证明：定义域显然关于原点对称f(2)fx=loga证明：f注意：loga二.偶函数知识点1.偶函数定义：∀x∈I，有f−x(定义中隐藏着定义域必须关于原点对称)注意：1、奇偶性只对自变量x而言2、括号里的整体变成原来的相反数，函数值不变3.fx的图像关于y轴对称，即满足代数式(1)若fx是偶函数，则满足代数式fx+a(2)若fx+满足代数式fx+3.常见的偶函数：f4.特殊的偶函数：f以下类型都为偶函数的变式幂函数型偶函数f为偶函数则a(若偶函数中含有奇次项，则奇次项系数一定为零)由于特殊偶函数的种类较少，所以出题者在命题时，往往借助特殊函数来构造偶函数例如：fx=x三、和函数、积函数、复合函数可偶性若两函数有公共定义域，则以下结论成立(1)奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶(2)奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇(3)奇÷奇=偶；偶÷偶=偶；奇÷偶=奇；偶÷奇=奇(4)对于复合函数奇(奇)=奇；奇(偶)=奇；偶(奇)=偶；偶(偶)=偶四、任意函数等于奇部加偶部只要函数fx的定义域关于原点对称，则f其中这个奇函数叫做fx的奇部，偶函数叫做f引理：fx其中fx−f−x2叫做例如：函数fx=ex可以拆分成奇函数五、常见题型(1)定义在闭区间上的奇函数fx，结论：(2)fx=奇函数+常数C，求fa(3)fx=一大串，则(4)单调性与奇偶性结合在一起的题目，不要太关注解析式，数形结合用图像解决(5)告诉了函数的奇偶性，学会用赋值的思想解决问题，不要用定义死算

六、常见奇偶函数的图像汇总几个简单含绝对值函数函数解析式函数图像函数性质f偶函数定义域为R值域为[图像关于y轴对称f非奇非偶定义域为R值域为[图像关于x=f偶函数定义域为R值域为(图像关于y轴对称f非奇非偶定义域为R值域为(图像关于x=f非奇非偶定义域为−值域为[过定点1f非奇非偶定义域为−值域为0fsinh(双曲正弦函数)f双曲函数奇函数，严格递增定义域为R值域为R图象关于原点对称奇函数，严格递增定义域为R值域为R图象关于原点对称非奇非偶函数，严格递增定义域为R值域为R图象关于a,fcoshx=f偶函数，定义域为R值域为[e图象关于y轴对称偶函数，定义域为R值域为[ex非奇非偶，定义域为R值域为[图像关于x=f(双曲正切函数)奇函数定义域为R值域为−单调增区间为Rf(双曲余切函数)奇函数定义域为{值域为−∞,−单调减区间为−∞,函数解析式函数图像函数性质f(反正弦双曲函数)奇函数定义域为R值域为R其中ex−ef奇函数定义域为R值域为R单调递减f(反余弦双曲函数)非奇非偶定义域为[值域为[其中ex+ef(反正切双曲函数)奇函数定义域为−值域为R其中12ln互为反函数fx奇函数定义域为−∞,−1∪其中12ln互为反函数基础典例分析知识点一：奇偶函数定义的应用例1：已知函数fx=a3x−[解析]技巧解：f例2：已知函数fx=lne3x+1[解析]技巧解：f知识点二：奇函数加常数模型例1：若fx=奇函数gx+常数c证明：f若fx有最值，设在x0处取得最大值，推广：若fx=点对称函数gx+常数这个是点对称中的中值算法，详细应用见下一节例2：若x−1+x[解析]令x因为y=lnx+x例3：若fx=log33x+1x+[解析]猜想fx为点对称函数，本来根据中值算法结果为2f0.但是在0处无意义所以我们可以其fxf所以M当然，如果你想技巧解，可以用f1知识点三：奇函数与单调性混合问题第一步：求出定义域，利用单调性画出奇函数的䓬图第二步：将表达式变为f与f的不等关系第三步：根据单调性，脱掉f，解不等式，注意千万别忘定义域例1：已知函数fx=3x−13x+1+A−1(C)0(D)−∞,−[解析]第一步：fx=奇+奇+奇=奇函数，第二步：f第三步：x2+例2：已知函数fx=2x−2−(A)−(B)−(C)−(D)0[解析]第一步：fx=奇+奇+1=奇函数+第二步：f第三步：定义域1+x1知识点四：偶函数与单调性混合问题第一步：求出定义域，利用单调性画出偶函数的草图第二步：将表达式变为f与f的不等关系第三步：由绝对值的几何意义结合单调性，脱掉f，解不等式，注意千万别忘定义域例1：已知函数fx=1−x2[解析]第一步：fx=偶+∣奇∣=媧函数，定义域为−1,1，单调递减，lnx2+1−x第二步：f第三步：t<t例2：已知函数fx=xe2x−[解析]第一步：fx=xex第二步：gx=奇×奇=偶，且当x>0时，g第三步：g综上所述：不等式的解集为1例3：已知函数fx=ex+cosx，若f[解析]第一步：fx为偶，定义域为R，当x>0时f第二步：f第三步：lnab>1例4：定义在R上的函数fx的图像关于y轴对称，且fx在[0,+∞)上递减，若关于x的不等式f2mx−lnx(A)1(B)1(C)1(D)1[解析]第一步：f第二步：偶函数fx在[0,+∞)上递增，则在−∞,0上递减，图像关于第三步：设gx=lnxx⇒g'x=1−ln综上所述：实数m的取值范围为1

第四章函数的周期性基础知识整合1.周期函数的定义及常用结论定义：若fx+T=fx，则函数结论：(1)若fx+T=f(2若fx+a=(3)fx+a=−f(4)fx+a=1(5)与fx+(6)奇函数y=f(7)偶函数y=f证明如下：(1)证明：f(2)证明：f(3)证明：ff(4)证明：ff(5)证明：f(6)证明：f(7)证明：f2、几种常见的周期函数(1)若fx=证明：f(2)若fx+1证明：f(3)1)若fx+12)若fx+13)若fx+1证明1)：f证明2):证明3)：f(4)1)若fx+2)若fx+1证明1)：f证明2)：f(5)若fx+证明：f(6)若fx+证明：ff(7)若fpx=证明：设px=t，3、周期函数的性质：(1)并不是任何周期函数都有最小正周期，如：常函数f狄利克雷函数D(2)周期函数的定义域是无界的[基础典例分析]函数的周期性经常和单调性、奇偶性、对称性混合在一起当考点，详情考点见下一节函数的对称性

第五章函数的对称性[基础知识整合]一、对称函数的定义1.单个函数的对称(y=结论：(1)fa−x=f(2)fa−x(3)fa−x+fa+(4)fa−x2.两个函数的对称(y=f结论：(1)若fa−x=ga+(2)若fa−x=gb+x(3)若fa−x+ga+x(4)若fa−x+ga+二、高中常见的点对称函数汇总点对称函数满足的代数式：fa−x类型一、奇函数的左右平移和上下平移若函数fx(1)y=fx+(2)y=fx+(3)y=fx+类型二、齐次一次分式多项式函数(1)齐次一次分式函数fx=解：fx=cx(2)函数fx=解：定义域为{x∣x≠−1,x≠−2,x≠−3}，由定义域对称性知，(3)函数fx=解：定义域为{x∣x≠−1,x≠−2,x≠−3,类型三、双勾变式函数(1)双勾函数变式一：f中心对称点为−例如fx=x+1(2)双勾函数变式二：f中心对称点为−例如fx=2x2类型四、三次函数函数fx=证明：只需证f−另解：f'x=3ax2推广：函数fx可导，且fx图㑰关于m,n对称，则导函数证明：fx的图像关于点m,两边取导：f'x−类型五、含指数式的函数(1)函数fx=证明：借用书本课后习题ax−1当m>0时，fx=当m<0时，fx=综上所述：函数fx=(2)函数fx=证明：借用上述结论nax+fx=pa(3)函数fx=证明：fx=pax−qa−类型六、含对数型的函数fx=前提条件是定义域关于原点对称证明：借用书本课后习题fx=log猜想fx=logapx+综上所述：fx=类型七、三角函数(1)函数fx=(2)函数fx=(3)函数fx=三.周期性与对称性的区分若fx+a若fa+x记住："内同表示周期性，内反表示对称性"四、奇偶性、周期性、对称性三者间的联系(1)对称性+对称性⇒周期性1)函数fx关于直线x=a，证明：f2)函数fx关于点a,0,证明：f3)函数fx关于直线x=a，点b,证明：f(2)奇偶性+对称性⇒周期性1)设函数fx为奇函数且关于x=a对称，则f证明：f2)设函数fx为奇函数且关于a,0对称，则f证明：f3)设函数fx为偶函数且关于x=a对称，则f证明：f4)设函数fx为偶函数且关于a,0对称，则f证明：f(3)奇偶性+周期性⇒对称性1)设函数fx为奇函数且周期T=2a，则f证明：fx=−f2)设函数fx为偶函数且周期T=2a，则f证明：fx=f(4)对称性+周期性⇒奇偶性1)设函数fx关于直线x=a对称，且周期T证明：f−2)设函数fx关于点a,0对称，且周期T证明：−f[基础典例分析]知识点一：点对称函数的研究例1：若函数fx+1[解法一]f即函数fx+12的图像关于0,2对称，所以函数fxf两式相加得：4综上所述：f[解法二]令x=0⇒然后解法同上，用倒序相加法，f[解法三]技巧解：取特殊函数常函数fx=2，则例2：已知函数fx=3⋅2x−12x+1[解法一]设f所以fx=2[解法二]M+N例3：设x,y∈R，且满足x−[解析]x因为ft=t3知识点二：轴对称函数的研究例1：若函数fx=−x2x2+ax+[解析]第一步：由对称性知f第二步：fx=−x2x+22⇒f例2：已知函数fx=x2−2x[解析]第一步：观察知函数fx的对称轴为第二步：结合图象下结论：f例3：已知函数fx=ae2x−[解析]第一步：a第二步：显然gx=ae第三步：结合图象下结论：g

第六章分段函数的研究[基础知识整合]1、分段函数的定义：是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数，分段函数是一个函数，常被误认为是几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集；其值域也是各段函数值域的并集.分段函数的解析式：fx定义域为D1∪2、分段函数研究方法：分段函数，分段研究；原则上，如果能画图，优先图像像解决3.分段函数易错点：定义域是关键，定义域决定分段函数的图像[基础典例分析]知识点一：分段函数值域问题例：若函数fx=m+log12[解析]第一步：求每一段的值域，当0<x≤当x>1时第二步：结合图像下结论：因为fx的值域为R，所以综上所述：实数m的取值范围为(−∞,知识点二：分段函数奇偶性问题例：函数fx是R上的奇函数，且当x≥0时，fx[解析]f0=0⇒m=−设x<0，综上所述：f知识点三：分段函数解不等式例：已知x∈0,π2，且fx=1+2[解析]fx=1+2sin2xsin2x=1+当π4<x<当0<x≤π4时，fx=综上所述，不等式gx≤知识点四：分段函数的零点问题例：已知函数fx=3x,x<00[解析]g当x<0时，由gx=0得3λ=−x当0≤x≤1时，由当x>1时，由gx=0∴综上所述：当λ>94时

第七章函数的图像[基础知识整合]1、利用解析式判断函数的图象(利用定义域、对称性、单调性、特殊值、极限值等)2.根据图象选拝正确的函数解析式3、掌握函数图象的四种变换(平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换)(1)平移变换(2)对称变换1)y=fx关于x2)y=fx关于y3)y=fx4)y=ax(a>0且a(3)伸缩变换1)把函数y=fx图像的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2)把函数y=fx图像的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的3)把函数y=fx图像的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的ω倍得y=ωfxω>(4)翻折变换1)y=fx保留x轴上方的图像，将x2)y=fx保留y轴右边的图像，将其关于4、函数图像的应用(判断函数性质.求方程根的个数，解不等式等)[基础典例分析]知识点一：函数图像的基本变换例1：已知y=fxy=fy=−fy=fy=f[解析]答案为C例2：已知函数y=fx及y=gx的图像分别如图所示，方程fgx=A.24B.15C.6D.4[解析]a知识点二：典型的数形结合思想应用例：已知函数fx=x2+4a−3x+3a(A)0(B)2(C)1(D)1[解析]函数fx在R上逽诚当x≥0时，显然fx=2−x有一个交点第一种情况：相切于点P，联立y=x2第二种情况：直线过Q或在其上方⇒2≥3a综上所述：实数a的取值范围是1知识点三：分段函数中的类周期函数图象引例：研究函数fx[解析]此函数在每一个区间2k,2k+2,k∈N都是对称的，在每一个区间2k,例1：已知函数fx=1−[解析]例2：函数fx=21−[解析]当x>0时，fx为周期为1的函数，先雨出gx=21−x,x<0fx−综上所述：实数a的取值范围为(例3：函数fx=2fx−2,x∈1,+∞1−x,x[解析]设gx如图满足：g知识点四：嵌套函数研究(碰到嵌套函数问题，三步走)第一步：画出函数fx第二步：设fx=t，第三步：根据t的值或范围结合fx例1：已知函数fx=ex−1,x不等的实数根，则实数a的取值范围是________[解析]画出函数fx的图像如图所示，设fx=t，则f由fx图像知，当fx=t又a=−t2+3t,综上所述：实数a的取值范围是2例2：设函数fx=3x+1,x≤0log4x,x>[解析]画出函数fx的图象，设fx=t，则t2−a+2t+3Δ综上所述：实数a的取值范围是2例3：若fx=lnx,x≥11[解析]画出函数fx的图象，由图知fx≥0，设t又Fx=ffx+则存在解t0≥1，又fxfx1所以gx在−∞,1单调递增，综上所述：x1⋅

第八章恒成立与存在性问题[基础知识整合]1、恒成立问题(1)∀x∈(2)∀x∈(3)∀x∈D,(4)∀x∈D，(5)∀x1(6)∀x12.存在性问题(1)∃x∈(2)∃x∈(3)∃x∈D，(4)∃x∈D，(5)∃x1(6)∃x13.恒成立与存在性混合不等问题(1)∀x1(2)∀x14、恒成立与存在性混合相等问题若fx，g(1)∀x1(2)∃x15.含绝对值的恒成立问题(1)∀x1(2)∀x1(3)∀x1∈D6、含绝对值的存在性问题(1)∃x1,(2)∀x1∈(3)∀x1∈D7.含绝对值的恒成立与存在性混合问题(1)∀x1(2)∀x1(3)∀x1∈D8.解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法(1)函数性质法；(2)分离参数法；(3)主参换位法；(4)数形结合法等.一次函数fx=kx+bk≠0若可得a>0fm>同理若y=fx在m,二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解类型1：设fx(1)fx>0在x∈R(2)fx<0在x∈R类型2：设fx(1)当a>0时，fx⇔−b2a<f(2)当a<0时，fx>f[基的典例分析]例1：已知函数fx=−3x+(I)存在t∈R，不等式ft2−2t(Ⅱ)若gx满足fx⋅gx+[解析]所以fx=1−3x3(Ⅱ)1−3x3x+1+3gx+2=综上所述：实数m的最大值为6例2：已知fx(1)若存在x∈0,2，使得fx(2)若存在x∈0,2，使得fx(3)若对任意x∈0,2，柦在fx(4)若对任意x1,x2∈0,2(5)若对任意x2∈0,2，存在x1∈0(6)若对任意x2∈0,2，存在x1∈0(7)若存在x1,x2∈0,2(8)若存在x1,x2∈0,[解析]设fx值域为A，当x∈0,2,A(1)fx=gx⇒a=lnx+(2)存在x(3)任意x(4)任意x1,x(5)∀(6)∀(7)存在x1,x(8)存在x1,x2∈0,2，使得fx1=gx2⇒例3：设函数fx(1)若任意的x∈−2,−1，使得fx(2)若存在x∈−2,−1，使得fx(3)若任意的x1,x2∈−2,−1(4)若存在x1,x2∈−2,−1(5)若任意的x1∈−2,−1，存在x2∈0(6)若任意的x1∈−2,−1，存在x2∈0(7)若任意的x1∈−2,−1，总存在x2∈[解析](1)即fx−gx>0在x∈−2,−1上恒成立，即因为ℎx=−1x3−4x(2)解法1：即fx−gx>0在x∈−2,−1上有解，令ℎx解法2：通过分离参数法使得a<▫1x3−4x, x(3)转化为fxmin>g所以fx在−2,−1上单调递增，所以fxmin=f−2=−8a−(4)转化为fxmax>g所以−a−1>−(5)转化为fxmin>(6)转化为fxmax≤gxmax，而fxmax=−a−1(7)设函数fx的值域为A，则A=−8a−7,−a转化为A⊆B，

第九章函数与方程[基础知识整合]1、判断函数y=f(1)解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.方程fx=0有实数根⇔函数y=fx的图像与3、零点存在定理：设函数fx在闭区间a,b上连续，且fa⋅fb函数零点的理解：(1)函数y=fx的零点、方程fx=0的根、函数y=fx的图像与x轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程f(2)函数零点不是点，而是函数函数y=fx(3)若函数fx在区间a,b上的图像是一条连续的曲线，则fa⋅4.凸函数定义：设fx是定义在a,b上的函数，对于a(I)若fx1+x22推广：(琴生不等式)若fxf下凸函数图像：(Ⅱ)若fx1+x22推广：(琴生不等式)若fxf上凸函数图像：5、一元二次方程ax1.元一次方程的根：x2.根与系数的关系：x3.判别式：Δ6.闭区间上的二次函数的最值二次函数fx=ax2+(1)当a>0时，若x=−b(2)当a<0时，若x=−若x=−b2a∉7.一元二次方程的实根分布(一元二次函数零点的分布)设x1,x2是一元二次方程根的分布充要条件充要条件1充要条件2xx1>x−xx1<x−xxxafmmxm8.三次方程的韦达定理设二次方程ax3+bx这个定理的证明并不困难，只要把式子ax3的同次项系数即可.[基础典例分析]求函数零点满足的代数式例1：已知fx=lnx,0<x≤e2−lnx[解析]画出函数图象，可知0<又−lna=ln即a例2：已知函数fx=log2−x,x<0x2−2x[解析]作出函数的图象：由图象得：x1所以log即x2x1例3：定义在1π,π上的函数fx，满足fx=f1x，且当x∈1π,1时[解析]当x∈1π,1时，fx=lnx,∴x∈(1,π]时，1x∈1π,1,∴f1x=−lnx，此时fx=f1x，故fx

第十章抽象函数与取整函数[基础知识整合]一、抽象函数与其对应的函数模型总结1.f正比例函数fx2.fxy=对数函数fx3、fxy=幂函数f4.fx+指数函数f5.f余弦函数f6.f正切函数f[基础典例分析]例：已知定义在R上的函数fx满足对任意的实数m,n都有fm+n=fm[解析]令m令m=xg所以g技巧解：g0所以g二、取整函数及其性质总结函数y=x，称为高斯函数，又称取整函数.它是数学定义一：对任意实数x,x是不超过x的最大整数，称[x∣为由x、{x}性㕃1：y=x的定义域为R，值域为Z;y性质2：对任意实数x，都有x=性质3：对佳意实数x，都有x≤性质4：y=x是不减函数，即若x1≤xy性质5：x+n=性质6：x+y≥x+性质7：xy≥x⋅y，其中x,n性质8:xn性质9：若x，y∈性质10：若n∈N∗性质11：若n∈N∗，x∈R性质12：设p为质数，n∈N∗，则p在n[基础典例分析]例1：定义区间a,b、a,b)、(a,b、a,b的长度均为d=b−a，用x表示不超过xA.dB.dC.dD.d[解析]fx=x⋅{x}=xx−x=xx−x2，由fx<gx，得xx−x2<x−1，即x−1x<x2−1，当x∈[例2：[x表示不超过x的最大整数，则方程log2x=[解析]∵−(1)若log2x=2sinx=0(2)若log2x=2sinx=1，(3)若log2x=2cinx=2，综上得方程log2x=2sin

纲目二三角函数第一章三角函数的化简与求值[基础知识整合]一、三角函数的定义(定义是三角函数的基石)在角α终边上任取一点Px,(解题碰到终边、坐标、旋转等字眼，用定义解决)二、同角三角函数公式(已知一个三角函数值，求另外两个三角函数值)sin三、诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)(1)α+2kπk∈Z、−α(2)π2+α、πsin四、特殊角三角函数α0ππππ5ππ2π3π5ππsin06123613210cos1632160−−−-1tan023132不存−-1−0用三角形解出特殊角的三角函数值(1)如图，Rt△ABC中，∠∠则tansin所以tansin(2)如图，Rt△ABC中，∠ACB=(3)如图，正五边形中，∠BAC=108∘，由DB∠设DE=5−补充如下：tan五、常见直角三角形勾股数六、两角和差公式sin七、倍角公式二倍角公式sin2α=2sin(降幂公式)cos(升幂公式)1八、万能公式sincostan九、和差化积公式sin

第二章三角函数的图像与性质[基础知识整合]1、掌握y=sinx,2、会分析y=y=Asinωx对称轴是x=kπ单调递增区间是2kπ−单调递减区间是2kπ3、掌握y=Asinωx函数y=Asin函数y=Asin函数y=Acos函数y=Acos4.函数y=sinx的图像经变换得到记住左右平移和周期变换都是对单个x而言，有系数就提系数，有负号就提负号第三章三角函数一题30问例：已知向是a=3sinx,cos一、三角函数的其本性质与图象(1)求fx最小正周期、最值(并指出取得最値时x的集合)、单调区间、对称轴、对称中心(2)画出fx在−π[解析]f(1)fx取小正周期当sin2x+π6=1满足的集合为x当sin2x+π6=−1满足的集合为x当2x+π当2x+π当2x+π当2x+π(2)列表如下：2x0ππ3π2πx−2π5π8π11π2020-20(3)求fπ4(4)求fx在区间−(5)求fx在区间−π[解析](3)ff(4)(三步走)哿一步：求括号里的范围∵x∈−π第三步：下结论∴综上所述：f(5)(两步走)第一步：先求R上的递增区间当2x第二步:画数轴,作交集,下结论又x∈−π如图，fx在区间−π4,π(6)将函数y=fx图像先向左平移π12个单位后，再将得到的图像上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将函数图像关于y轴对称得到函数gx的图像(7)为得到gx=cos2x−[解析](6)f令g综上所述：函数gx的果点的集合为(7)gy=2(8)已知gx=Asinωx+(9)已知gx=Asinωx+(10)已知函数gx=Asinωx+φx∈R,A>0,ω>0,[解析](8)根据图像求单调区间，可以不用求解析式T∴gx的增区间是2k+(9)T2=11π12综上所述：gx的解析式为(10)设∠POQ=θT综上所述：函壯y=g二、解三角函数方程与不等式(11)已知x∈0,π2，求(1)若a(Ⅱ)c=3sinx,cosx，若(12)解方琾fx=1，(13)解不等式fx[解析](11)(I)a(Ⅱ)aa(12)f综上所述：方程fx=(13)fx≥三、三角函数的奇偶性(14)若fx+φ是奇函数，(15)若fx+φ是偶函数，其中0[解析](14)fx+(15)fx+∵四、三角函数的定义(16)在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非你半轴重合，若点P1,fπ6在α的终边上，将终边所在直线逆时针转5(17)在平面直角坐标系中，角α的终边上有一点P3,4，在∠POx之间有一条线段MN=6(18)在坐标系中，以Ox为始边，角α的终边与单位圆O的交点B在第一象限，若A−1,(I)若OA⊥OB，求tan(Ⅱ)若B点的横坐标为35，求S[解析](16)fπ6=2sinπ由三角函数的定义得：cosαcos综上所述：旋转后P点的坐标为P(17)设∠POx=α，由三角函数的定义待：cosα=35sinα=45，设OM=m∴综上所述：S△ONN(18)(I)终边OA对应的角为α+π2costanα(Ⅱ)由题知B35,45，设终边OA对应的角为得：cos∴sin∠∴五、三角函数化简与求值(19)若fα求(I)sinα(Ⅱ)1sin2α+(20)tan20∘(21)(1)1−tan15∘1+tan15∘=_______(22)设α∈0,π6，且f(23)设fα2=23[解析](19)f(1)sin(Ⅱ)1(Ⅲ)2cos2α2(21)(1)1(2)1(3)3(22)fα=4(23)设fα2=∴sin六、三角函数求值域(24)g[解析](24)(齐次化同角，同角求和)gg==−g(25)(I)设gx=cos2x+sinx(Ⅱ)设gx=cos2x+cosx,[解析](25)(非齐次化同名，换元为二次函数)(I)g当t=−1的，gxmin=−2鉩上所述：gx的值域为(Ⅱ)不妨设x≤A≤B，则3x≤X+A+B=π⇒0综上所述：gx的值域为(26)设gx=sinx+cos[解析](26)(既不同名，也不齐次：和积孤立，设和为t)设sinx+cosx=t=2sin当t=2时(27)(I)设函数y=sinx1−cosx(Ⅱ)设函数y=sinx1+cosx(Ⅲ)已知函数gx=2sin[解析](27)(I)y⇒⇒(Ⅱ)y(Ⅲ)由题知gx为奇函数，先求gx的最小值令g'x>0⇒cos令g'当cosx=12时，gx有最小值，此时sin综上所述：gx的值域为七、求三角函数中ω的取值范围(28)已知函数gx=sinωx+cosωxω>0,x∈R，若函数gx在区间(29)若gx=sinωx+π3ω>0在((30)若gx=sinωx+π4ω[解析](28)ggx在区间−ω,gx关于x=ω对称⇒gx恰有一个最大值gx恰有一个最小值−1⇒(30)先求gx当

纲目三解三角形第一章解三角形知识点汇总1.正弦定理a正弦定理的变形式如下：(连比性质)sin(合比性质)a(差比性质)a(角化边)sin(边化角)a2.余弦定理a余弦定理的三角形式：sin余弦定理的变形式如下：(三边平方和差关系)a2+3.△ABC中的射影定理aRt△ABC中的射影定理：在Rt△ABC中，4.△ABC的面积公式(1)S△ABC=1(2)S(3)S海伦公式的证明S===(4)S△ABC=(5)S(6)S△ABC=(7)△ABC中，若AS(8)l5.解三角形的常用方法及结论(1)求解三角形中的问题时，一定要注意A+△ABC中，(2)锐角△ABC中，直角△ABC中，钝角△ABC中，(3)在△ABC(I)sin(Ⅱ)cos(Ⅲ)tan(Ⅳ)tan6.中线模型△ABC中，已知AB=c,AD推论1：(中线恒等式)已知△ABC的三边长分别为a,b,2b2证明如下：A推论2：(极化恒等式)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,证明如下：AB推论3：(矩形大法)P为矩形ABCD外一点，则P证明如下：在△PAC和△PBD中P7.角平分线模型推论1：(角平分线定理)△ABC中，AD是∠BAC证明如下：S推论2：(角平分线长等式)△ABC中，AD是∠BAC则：(1)AD(2)1证明如下：(1)S(2)AD推论3：(斯库顿定理)△ABC中，AD是∠BAC平分线，则AD2=AB⋅8.三角形中的对边和对角定理△ABC中，边长a对应的角为则：(1)△ABC的面积(2)△ABC的周长证明如下：(1)a(2)a9、三角形四心的坐标设△ABC三边的长度分别为a,b,c，三个顶点A,B,C的坐标分别记为xA,yA，xB,10、三角形中的欧拉线、欧拉公式如图，△ABC中，外心、重心、垂心分别为O,G,H三点共线，且OG=12GH.又若D是BC的中点，则AH=2OD.设△ABC11、平面几何中的几个重要定理(1)斯特瓦尔特定理设P是△ABC的边BC上一点，且BP:当m=n时，P是BC的中点，有当AP是∠A的平分线时，有AP=2(2)托勒密定理设四边形ABCD内接于圆，则有AB⋅(3)西姆松定理从△ABC的外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或它们的延长线引垂线，垂足分别为D、E、F，(4)西姆松定理的逆定理自P向△ABC的三边或它们的延长线引垂线，垂足分别为D、E、F，若D12、圆的拓展弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角；弦切角定理：弦切角等于它所夹的孤对的圆周角；切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条熍线与圆的交点的两条线段长的积相等.13.什么样的三角形可解？这里说的可解是指由题设条件三角形能确定下来(联想初中两三角形全等的条件)边边边，边角边，角边角，角角边，HL都能确定三角形角角角，边边角不能确定三角形14、解三角形常规方法选择(1)注意三角形有个隐藏条件，即内角和为180(2)已知两角和一边，先求第三角，后用正弦定理(三角形确定)(3)已知两边和夹角，用余弦定理(三角形确定)(4)已知三边，用余弦定理(三角形确定)(5)已知两边和邻角，求角，首选正弦定理(三角形不确定)(6)已知两边和邻角，求边，首选余弦定理(三角形不确定)(7)已知三角，用正弦定理(三角形不确定)15.解三角形常用小结论(1)△ABC中，若A,(2)△ABC中，若A为最小角，则A≤60∘；(3)锐角三角形中三个角都为锐角：A(4)若A为钝角，则a2>b(5)化简过程中，遇到cosA不能约掉，因为cosA(6)△ABC中，sinA(7)关于三角形形状判断的小结论：1.△ABC中，sin2.sinAcosA3.sinAcosA4.△ABC中，A,B,C成等差数列5.△ABC中，a6.△ABC中，a16、解三角形步骤第一步：定条件；把已知条件在图形中标出来，确定转化方向；第二步：定工具；合理选择转化工具，进行边角之间的互化，统一化角或化边；第三步：定结果；如果求最值，要注意把角的范围分析准确.

第二章解三角形一题14问一、已知边角关系求角已知角关系，求角(成元思䀩)(1)△ABC中，sinA=sinB(2)△ABC中，C=π3(3)△ABC中，cos2A−cos2B(4)斜△ABC中，cosAsinB(5)△ABC中，4cos2A[解析](1)sinsinA=−cosC∴A=Bsin(3)cos⇒cos(4)cos∵∴cos(5)⇒已知边角互杂，求角(要么化角，要么化边)(6)△ABC中，2a−c(7)△ABC中，acosC+(8)△ABC中，求证：[解析](6)2a⇒2sinAcos⇒sinAcosC+3sinA(8)左边=右边=左边=右边，证毕二、已知一角求范围(9)在锐角△ABC中，B=π6，(10)△ABC中，若A=π3[解析](9)cos⇒cos综上所述：cosA+sin(10)ABa2=b2+三、已知对边和对角求范围△ABC中，角A,B,C的对边分别为a(11)求△ABC面积的最大值；周长的最大值(12)求3−1(13)若△ABC是锐角三角形，求b−(14)若B∈π6,[解析](11)a∴S△ABC=1a当且仅当b=c时(12)由正弦定理得：2记综上所述：3−12(13)由正弦定理得：2记f又B即f综上所述：b−c(14)由正弦定理将：23sinπ3f==−∵综上所述：求b2−

纲目四平面向量[基础知识整合]1、掌握向量的加、减、数乘运算及运算律，理解大写字母、小写字母、作图的运算法则.2、平面向量基本定理：平面上任意一个向是都可以用两个不共线的向旦线性表示c=λa+μb3、两向量夹角的范围0a⋅b>a⋅b<4.a⋅b的几何意义：数旦积a⋅b等于a与投影公式：a在b上的投影为acosθ，b在5.向量共线充要条件：a共线向量定理：a大写字母表示为：A,B共线向量定理推论：若A,B,C共线6.向量垂直充要条件：a特别地，AB7.向量为什么可以用坐䏡表示：若a=λe1+μe2，当且仅当8.向量的模：(1)坐标公式：若a=x(2)枢纽公式：若a=λ9.向量变形式小结论：a,b,三角不等式：a−aa表示与aaa+a+b=a+a+b210.三角形的各种心的向旦结论(理解+推导)：(重心G)G为△ABC的重心λAB+AC,λ(垂心H)H为△ABC的垂心λABABcosB+ACAC(内心I)I为△ABC的内心λABAB+(外心O)O为△ABC⇔OA=OB=若P为重心，则PA若P为外心，则sin若P为内心，则sin若P为垂心，则tan证明如下：作PA'=−PAP即

纲目五数列第一章数列知识点汇总1、等差数列的定义：ana等差数列的通项公式：an等差数列的前n项和公式：Sn等差数列的性质：(1)m+推广：若m+n=p(2)Sm(3)项数为偶数2n,S(4)等差数列an,bn的前若AnB(5)等差数列前n项和Sn=na1+方法：前n项和可以写成Sn=d方法二：(1)当a1>0,d<0(2)当a1<0，d>02、等比数列的定义：ana等比数列的通项公式：an等比数列的前n项和公式：Sn=等比数列的性质：(1)m+推广：若m+n=(2)Sm,S(3)两个数的等比中项一定有两解，三个及以上一定只有一解，等比数列隔项符号一定相同(4)S(5)a(6)等比数列的单调性：等比数列an递增⇒a等比数列an递减⇒1(7)等比数列前n项积为Πn，则使Πn最大(或最小)的序号n先看单调性，注意可能是摆动数列，研究通项与1的大小即可3、求通项公式方法：第一大类：公式法(1)等差数列a(2)等比数列a(3)已知Sn求(4)摆动数列a,b(5)先统一每一项的形式，观察，再归纳，最后用数学归纳法证明第二大类：由递推公式求通项公式(包含以下类型)类型一：an+1−a累加法得：a类型二：an+累乘法得：a类型三：an+构造a设a所以an+qp−所以a类型四：a构造an类型五：an+两边同除以qn类型六：a构造an特别地，斐波那契数列满足an+对应的通项公式求解方法叫特征根法特征根法：an方法：可用下面的定理求解.令α,β为相应的二次方程(1)当α≠β时，其；项公式为：(2)当α=β时，其通项公式为：其中A,B由a1,a更一般地，对于常系数线性递推数列an其特征方程xk=c分别为x1,x2,⋯xs，则an=​sf类型七、形如an+an类型I：an+1令fx(1)若fx=x有两个不相等的实数根x1、x2，则an+1−(2)若fx=x有两个相等的实数根x0，则1an+1−x类型Ⅱ：an令fx(1)若fx=x有两个不相等的实数根x1、x2，即x1所以，两式相除，得an+1−x1an+1(2)若fx=x有两个相等的实数根x0，则可得x0=−c2a,c类型八：an+1两边取倒得1a类型九：a两边取对数转化为bn+第三大类：周期数列求通项公式(高中常见周期数列如下)(1)a(2)a特别的a(3)a(4)a(5)摆动数列也是周期数列a,b,a,(6)an=A第四大类：阶差数列对于一个给定的数列an，把它的连续两项an+1与an的差an+1−an记为bn，得到一个新数列bn，把数列bn称为原数列an的一阶差数列；如果c如果某一数列的p阶差数列是一非零常数列，则称该数列为p阶等差数列.其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列；高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称.高阶等差数列具有以下性质：(1)如果数列an是p阶等差数列，则它的一阶差数列是p(2)数列an是p阶等差数列充要条件是：数列an的通项是关于n的(3)如果数列an是p阶等差数列，则其前n项之和Sn是关于n的4、求数列的前n项和第一大类：公式法(1)等差数列S(2)等比数列S(3)i(4)i第二大类：抓数列的通项，变成有规律的能求和的形式(包含以下类型)类型一：倒序相加法(适用于首项加末项等于定值)T两式相加：2类型二：分组求和法(将通项拆成几个能求和的逍项)c类型三：两两配对法(适用于通项含−1例1：an=−解：由于n的奇偶性对−1n有影响，故末项是不确定的，所以求当n为侗数时，S=当n为奇数时，S综上所述：S例2：an=−解：由于前2n项和的末项为偶数项，是确定的，故不用分奇偶讨论S====例3：bn=−1n1a解：由千n的奇偶性对−1n有影响，故末项是不确定的，所以求当n为奇数时，T=−当n为偶数时，T=−综上所述：T类型四、裂项相消法(将通项裂成两项做差的形式，前后项相差阶的整数倍)分式裂项：若an为等交数列，则a特别地：11112n2−1根式裂项：1指数式裂项：2阶乘式裂项：n⋅n混合裂项：2n∴常见裂项放缩：(1)1n(2)1n(3)2n(4)1n(5)2类型五：错位相减法(适用于等差乘等比)cn=an⋅bna错位相减过程如下：Tq两式相减：1(等比求和)1(保留符号)1(提次数低的)1(下结论)T结果形式：T错位相减法的万能公式：若an=an+b第三大类：周期数列求和见求通项公式的第三大类，确定周期后，先求一个周期的前n项和，再乘以周期倍数加上余数，注意有些数列不是周期数列，但是也能按照周期数列的方法求和，例如an

第二章数列一题57问例：设数列an的前n顼利为Sn，且对任意的n(一)求数列的通项公式已知Sn=(1)求数列an的通项公式(2)若数列bn的前n项和为Tn,b1(3)若数列bn=1a[解析](1)当n=1时，a1当n≥2时⇒∴数列an是首项为a1=1，综上所述：数列an的通项公式为(2)T当n≥2时，Tn−分别令n=2,3综上所述：数列bn的通项公式为(3)1∴综上所述：数列cn的通项公式为已知数列类型，可用前三项解决(4)若等差数列bn满足2bn(5)若等比数列bn满旭2bn[解析](4)2(5)2没有常数项的选捃关系，同除以积式(6)若数列bn澕攵1b1=1，且b(6)b1隔项成等差或等比，分奇偶讨论(7)若数列bn满足b1=1,b2=(8)若数列bn满足b1=1,b2[解析](7)b当n为奇数时，b当n为偶数时，b综上所述：数列bn的通项公式为(8)b当n为奇故时，b当n为偶数时，b综上所述：伡列bn的通项公式为基本量通法解决(9)若正项等比数列bn满足b1=a2，且2(10)若正项等差数列bn满足b1=a2，且2[解析](9)2b1+3(10)2b1×∴周期数列的运算(11)若数列bn满足bn+1=b(12)若数列bn满足bn+1=11−bn(13)若数列bn满足bn+1[解析](11)b显然T(12)b∴(13)b即b左边n项，右边有限项，三步走，但是第二步写成降阶相减的形式(14)若正项数列bn满足b1+2b(15)若数列bn满足b13+1(16)若正项数列bn满足b1⋅b2[解析](14)当n=1晿当n≥2时，b1n∴nb综上所述：数列bn的通项公式为(15)当n=1时n≥2时，b13此时b1综上所述：数列bn的通项公式为(16)当n=1时当n≥2时，b1⋅此时b1综上所述：数列bn的通项公式为灵活构造等差或等比(17)若数列bn满足b1=a[解析](17)b即b(二)求数列的前n项和含绝对值求和(18)若bn=13−[解析](18)b当n≤6时当n≥7时综上所述：T含−1n的数列求和，两两配对(19)若bn=−1a⋅2a(20)若bn=−1a∗⋅2(21)若bn=−1n+12[解析](19)bT(20)b当n为偶数时，T=当n为奇数时，T综上所述：T(21)b当n为奇数时，r当n为偶数时，T综上所述：T等差加等比，分组求和法(22)若log3bn+1=an[解析](22)log3bnT等差乘等比，错位相减法(23)若log3bn+1=an(24)若an+log2bn=0(25)若bn=2a[解析](23)log(24)n+logT1∴=(25)bT=T∴−=伪周期数列求和(26)若bn=2sin2n+16π(27)若bn=nsin2n+16π(28)若bn=n2sin2n+16[解析](26)bn=2又(27)bn=此形式的政列T6为字值，又bb∴=(28)bn=此形式数列每6项的和成等差数列，又b1b记c1=i=c分式裂项(29)若bn=12an(30)若bn=2an+1，其前(31)若bn=1anan+1[解析](29)bT(30)bi显然i=1nTi为单调递增数列，(31)T高阶分式列项(32)若bn=2an22an(33)若bn=an+1an2(34)若bn=2a[解析](32)bTn=1nT=(34)b当n=1时，当n≥2时综上所述：b12根式裂项(35)若bn=1an，其前n顶和为(36)若bn=1anan+1[解析](35)TbT综上所述：2n+(36)bT∵n∈{1,2综上所述：T1,T指数式裂项(37)若bn=2an2∗−(38)若bn=2an2an(39)若bn=an+2an(40)若bn=an−12a[解析](37)bT(38)T(39)bT(40)bT三角函数式裂项(41)若bn=sin1cosan⋅cos(42)若bn=tanan⋅tanan[解析](41)T(42)tanT抽象函数裂项(43)fx满足fx−fy=fx−y[解析](43)T(三)数列的证明问题(44)若数列bn满足bn+1=(45)若数列bn满足bn+bn+1(46)若bn瀮足b1=1，其谈n项和为Tn，且(47)若数列bn满足b1=1等差数列又是等比数列；[解析](44)1b∴数列1bn−1是首项为1(45)bn∴数列bn−13⋅2(46)当n≥2时1∴数列1Tn是着项为1T1(47)即证数列bnb∴数列bn+(四)数列的单调性(48)若n−8Sn≥ank对(49)设Tn为数列1an+1an+2的前n项和，若存在n(50)若bn=14Sn,Tn(51)若k⋅2an−2an+7(52)若不等式2Sn+9>−1n⋅[解析](48)n−8⋅当n=3或n=(49)1a使得1记f则fn=(50)bn即m<16nn+1min(51)k⋅2n记f当n≤4时，fn+∴f1<f2<即fn递减，故fn的最大值只能是f4(52)2⋅当n为奇数时，−kn<n记fn=n当n为偶数时，kn<n2+记fn=n综上所述：实数k的取值范围为−(五)简单数列的放缩53.求证[解析]1i54.求证i[解析]1n55.求证i[解析]1i56.求证i[解析]1i57.求证i[解析]1i第三章数列解答题规范训练例1：设数列an满足an2=an+(I)若an是等差数列，且公差d≠0，求λ(Ⅱ)茩a1=1,a2=2(1)求数列bn的前n项之和S(2)若m⋅an≥n−7解：由题意得(I)a⇒(Ⅱ)令n所以数列an为等比数列，即a(1)SS∴∴(2)m⋅an≥nf当n≤8时，fn递增；当n>∴例2：已知数列an中，a(I)若a=−7，求数列an(Ⅱ)若对任意的n∈N∗，都有an≤解：由题意得(1)当a=−7时设fx=1+1a∴(Ⅱ)aan≤a5例3：已知数列an中，a(I)令bn=an+1−(Ⅱ)求数列an的通项公式(Ⅲ)若数列an的前n顶和为Sn，试比较an解：由题意得(1)bn当n=1故数列bn是首项为2，公比为2(Ⅱ)由(I)得ba累加得：a故数列an的通项公式为(Ⅲ)aS当n=1时当n≥2时综上所述：当n=1时，Sn>an例4：已知数列an满足a1=(I)求数列an的通项公式(Ⅱ)设an的前n頊和为Sn，求证解：由题意得(1)a设1即数列1an+1−1an是首项为1累加得：1故数列an的通项公式为(Ⅱ)a∴Sn例5：已知数列an满足：a(I)求数列an的通项公式(Ⅱ)若bn=−1n2n+(Ⅲ)若cn=1a幹：由题意得(1)a即a∴数列an+1是首项为1，∴故数列an的通项公式为(Ⅱ)b当n为奇数时，S当n为偶数时，S综上所述：S(Ⅲ)1c⇒∴综上所述：cn的取值范围为例6：已知数列an的首项为2，前n项的和为Sn，且(1)设bn=ana(Ⅱ)是否存在正整数n，使得an+3an为整数解：由题意得(1)当n=1时当4Sn4所以数列bn是首项为b1=a∴(Ⅱ)由(I)知a即数列an4n−即an+3an=综上所述：存在正整数n=1，使得

纲目六不等式第一章基本不等式[基础知识整合]1、基本不等式若a>0，b>若a<0，b<2.重要不等式a，b为正数，a2常用推论如下：若x>0，则x+若x<0，则x+若x≠0，则x+1x≥2若ab>0，则ab注意：凡是可以化为ft3.若a>0，b>若a>0，b>4、最值定理：设x，(1)若x+y=C(和为定值)，则当x(2)若xy=S(积为定值)，则当x=y推广：若a1+a2若a1a2⋯5.a，b一个不等式链：36、三角不等式a−7.权方和不等式ax+ba，b，权方和不等式的n维形式：a1当且仅当a1权方和不等式的推广aa1>0，b1>0，8.均值不等式设a1，a2，Gn=na19.柯西不等式柯西不等式的二维形式：若a，b，c，柯西不等式的一般形式：设a1a1当且仅当bi=0i=柯西不等式的几个推论(1)当b1=b若ai∈R+i(2)当b1=1(3)当a1，b10、排序不等式(又称排序定理)给定两组实数a1，a2(反序和) (乱序和) (同序和)其中i1，i

[基础典例分析]例1：若实数x，y(1)若x>0，(2)若x>1，(3)若