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专项素养综合全练(八)新定义试题类型一函数中的新定义试题1.定义:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=1时的函数值y=a+b+

c记为该函数的“系数和值”.(1)抛物线y=x2-kx-3与x轴交于两点A、B,与y轴交于点C,点B

的坐标为(1+k,0),求该抛物线的“系数和值”.(2)将(1)中的抛物线平移,使其顶点落在线段BC上,求平移后

的抛物线“系数和值”的取值范围.解析

(1)∵B(1+k,0)在抛物线y=x2-kx-3上,∴0=(1+k)2-k(1+k)-3,解得k=2,∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3,∴当x=1时的函数值y=1-2-3=-4,∴“系数和值”为-4.(2)由B(3,0),C(0,-3)得直线BC的解析式为y=x-3,设平移后的

抛物线的顶点坐标为(m,m-3),则解析式为y=(x-m)2+m-3,“系数和值”=m2-m-2=

-

,∵0≤m≤3,∴-

≤“系数和值”≤4.类型二相似中的新定义试题2.(2023甘肃陇南模拟)定义:如图1,在△ABC中,D为AB上一

点,∠ACD=∠B,则称点D为△ABC的关于点B的自相似点.(1)求证:AC2=AB·AD;(2)如图2,在平行四边形ABCD中,AD=

,E为BC上一点,BE=3,F为CD延长线上一点,BF=4.求证:点E为△BFC的关于点C

的自相似点.

图1

图2解析

证明

(1)在△BAC与△CAD中,∵∠ACD=∠ABC,∠CAD=∠BAC,∴△BAC∽△CAD,∴

=

,∴AC2=AB·AD.(2)∵在平行四边形ABCD中,AD=

,∴BC=AD=

,∵BE=3,BF=4,∴

=

=

,又∵∠FBE=∠CBF,∴△BFE∽△BCF,∴∠BFE=∠BCF,∴

点E为△BFC的关于点C的自相似点.类型三锐角三角函数中的新定义试题3.同学们已经学习了解直角三角形的相关知识,掌握了利用

锐角三角函数的定义来解决直角三角形问题的方法,还知道

了通过作高来解决斜三角形(即锐角三角形与钝角三角形)

的问题以及相关的实际应用问题.请同学们利用这些学习经

验,应用类比的方法来解决下面的新问题.定义:如图1,在△ABC中,AB=AC,我们称它的腰与底的长度之

比为顶角∠A的余对(csdA),记作csdA=

.(1)填空:csd60°=

;csd90°=

;csd120°=

;(2)如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=

,求csdA的值.

图1

图2解析

(1)csd60°=1.csd90°=

.csd120°=

.(2)如图,过点C作CH⊥AB于点H,在AB上截取AF,使得AF=

AC,连接CF.

∵cosA=

=

,∴设AC=4k,AB=5k,则BC=3k,∵cosA=

,∴AH=

k,∴CH=

=

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