2023-2024学年四川省眉山市仁寿县三校联考高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省眉山市仁寿县三校联考高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数(1−i)2的虚部为(

)A.−2 B.2 C.−2i D.2i2.已知向量a=(2m,1),b=(1,−3)，若a⊥bA.−23 B.23 C.33.甲、乙两位同学去参加某高校科研项目面试.已知他们通过面试的概率都是45，且两人的面试结果相互之间没有影响，则甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率为(

)A.425 B.45 C.24254.已知A，B，C，D四点在平面α内，且任意三点都不共线，点P在α外，且满足AP+BP−3CP+zA.0 B.1 C.2 D.35.在△ABC中，点E为△ABC的重心，则EC=(

)A.13AB−23AC B.−6.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断错误的是(

)A.若m⊂α，n⊂α，m⋂n=A，m//β，n/​/β，则α/​/β

B.若m⊥α，n/​/α，则m⊥n

C.若m/​/α，n⊂α，则m/​/n

D.若α⊥β，α⋂β=m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β7.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB=2，AD=A.26

B.25

C.8.一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79，则红球的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题为真命题的是(

)A.若z1，z2为共扼复数，则z1⋅z2为实数

B.若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=i

C.复数−2−i在复平面内对应的点在第三象限

D.10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A表示事件“两次掷的点数之和是4”，B表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，C表示事件“两次掷出的点数相同”D表示事件“至少出现一个奇数点”，则(

)A.A与C−互斥 B.P(D)=34 C.P(BD)=14 11.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+1(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则(

)A.ω=2

B.φ=π6

C.f(x)在[4π3,5π312.已知在等边△ABC中，AB=2，D为AC的中点，E为BD的中点，延长CE交AB于点F，则(

)A.AE=12AB+14AC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人.则该校高中学生总数是______人.14.已知平面向量e1,e2不共线，且AB=2e1+ke2,CB=3e15.四种电子元件组成的电路如图所示，T1，T2，T3，T4电子元件正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，0.6，则该电路正常工作的概率为______．

16.在如图所示的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AA1=AD，∠BAD=∠DAA1=60°，四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

目前用外卖网点餐的人越来越多，现在对大众等餐所需时间情况进行随机调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图.其中等餐所需时间的范围是[0,120]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，[100,120]．

(1)求频率分布直方图中x的值．

(2)利用频率分布直方图估计样本的平均数.(每组数据以该组数据所在区间的中点值作代表)18.(本小题12分)

一枚质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4，将该正四面体连续抛掷2次，记录每一次底面的数字．

(1)求两次数字之和为7的事件的概率；

(2)两次数字之和为多少的事件概率最大？并求此事件的概率．19.(本小题12分)

如图所示，四面体O−ABC中，G，H分别是△ABC，ΔOBC的重心，设OA=a，OB=b，OC=c，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．

(1)试用向量a，b，c表示向量MN，OG；

(2)试用空间向量的方法证明M、N20.(本小题12分)

甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．

(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；

(2)21.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB是边长为1的等边三角形，底面ABCD是正方形，M是侧棱PB上的点，N是底面对角线AC上的点，且PM=2MB，AN=2NC．

(1)求证：AD⊥PB；

(2)求证：MN/​/平面PAD；

(3)求点N到平面PAD的距离．22.(本小题12分)

已知向量m=(cosx,sinx)，n=(sinx,3sinx)，函数f(x)=2m⋅n−3．

(1)求f(x)的最小正周期参考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.B

6.C

7.B

8.A

9.AC

10.BCD

11.ABD

12.AB

13.1800

14.1

15.0.8784

16.317.解：(1)由频率分布直方图可得，(0.02+x+0.008+0.004+0.002+0.002)×20=1，

解得x=0.014；

(2)由频率分布直方图可得，平均数为：

0.002×20×10+0.004×20×30+0.014×20×50+0.02×20×70+0.008×20×90+0.002×20×110=63.6．

18.解：(1)由题意，2次所得数字(a,b)，且a，b分别表示第一次、第二次的对应数字，

基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，共16种；

其中两次数字之和为7的事件有(3,4)，(4,3)，共2种；

所以两次数字之和为7的事件的概率为18．

(2)由(1)，数字之和为X=2，3，4，5，6，7，8，

X=2有(1,1)，概率为116；

X=3有(1,2)，(2,1)，概率为18；

X=4有(1,3)，(3,1)，(2,2)，概率为316；

X=5有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，概率为14；

X=6有(2,4)，(4,2)，(3,3)，概率为316；

X=7有(3,4)，(4,3)，概率为18；

X=8有(4,4)，概率为11619.解：(1)在△OBC中，M，N分别AB，OB的中点，

∴MN/​/OA，且|MN|=12|OA|，

又OA=a，∴MN=−12a，

在△ABC中，G是△ABC的中心，D是BC的中点，

由平行四边形法则可得AG=23×12(AB+AC)=13(AB+AC)，

∵OA=a，OB=b，OC=c，

∴AB=OB−OA=b−a，AC=OC−OA=c−a，

又OG=OA+AG=a+13(b−20.解：(1)因为甲每轮猜对的概率为23，

所以甲两轮至少猜对一个数学名词的概率P=1−(1−23)2=89；

(2)“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词，包括两轮比赛中甲猜对2个，乙猜对一个，和甲猜对121.解：(1)证明：因为侧面PAB⊥底面ABCD，且侧面PAB∩底面ABCD=AB，

AD⊥AB，AD⊂面ABCD，

所以AD⊥面PAB，

因为PB⊂面PAB，

所以AD⊥PB．

(2)证明：过M作MS//BA交PA于点S，过点N作NT//CD交AD于点T，连接ST，

因为PM=2MB，

所以MS=23BA，

同理可得NT=23CD=23BA，

所以MS//NT，MS=NT，

所以四边形MNTS是平行四边形，

所以MN/​/ST，

又ST⊂面PAD，MN⊄面PAD，

所以MN/​/面PAD．

(3)由(2)知MN/​/面PAD，

所以点M到平面PAD的距离是点N到平面PAD的距离，

在平面PAB内过点M作MH⊥PA于H，

因为AD⊥面PAB，

所以AD⊥MH，

所以MH⊥面PAD，

所以MH是点M到平面PAD的距离，

在Rt△PMH中，PM=