2024新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.2对数与对数函数4.2.2对数运算法则导学案新人教B版必修第二册

.2.2对数运算法则(老师独具内容)课程标准：1.驾驭对数运算法则，并能运用对数运算法则进行对数式的化简、求值与证明.2.驾驭换底公式，并能运用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数．教学重点：对数运算法则、换底公式．教学难点：对数运算法则及换底公式的应用.学问点一对数运算法则假如a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R，那么，(1)eq\o(□,\s\up3(01))loga(MN)＝logaM＋logaN；推广：eq\o(□,\s\up3(02))loga(N1N2…Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N＋，N1，N2，…，Nk均为正数)；(2)eq\o(□,\s\up3(03))logaMα＝αlogaM；(3)eq\o(□,\s\up3(04))logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.学问点二对数的换底公式(1)logab＝eq\o(□,\s\up3(01))eq\f(logcb,logca)，其中a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1.(2)转换成自然对数或常用对数logab＝eq\o(□,\s\up3(02))eq\f(lnb,lna)＝eq\o(□,\s\up3(03))eq\f(lgb,lga).1．对数运算性质口诀积的对数变加法，商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前．2．换底公式的常用推论(1)loganbn＝logab；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab；(3)logab·logba＝1；(4)logab·logbc·logcd＝logad.对于上述结论，都可采纳换底公式证出，以(4)为例，证明如下：logab·logbc·logcd＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lgc,lgb)·eq\f(lgd,lgc)＝eq\f(lgd,lga)＝logad.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()(2)loga(xy)＝logax·logay.()(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．()(4)由换底公式可得logab＝eq\f(log－2b,log－2a).()答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)log325－log35＝________.(2)lg8＋lg53＝________.(3)若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75＝________.答案(1)log35(2)3(3)eq\f(a,b)题型一对数运算法则的应用例1若a>0且a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga(xy)＝logax·logay；④eq\f(logax,logay)＝logaeq\f(x,y)；⑤(logax)n＝logaxn；⑥logax＝－logaeq\f(1,x)；⑦eq\f(logax,n)＝logaeq\r(n,x)；⑧logaeq\f(x－y,x＋y)＝－logaeq\f(x＋y,x－y).其中式子成立的个数为()A．3 B．4C．5 D．6[解析]对于①，取x＝4，y＝2，a＝2，则log24·log22＝2×1＝2，而log2(4＋2)＝log26≠2，∴logax·logay＝loga(x＋y)不成立；对于②，取x＝8，y＝4，a＝2，则log28－log24＝1≠log2(8－4)＝2，∴logax－logay＝loga(x－y)不成立；对于③，取x＝4，y＝2，a＝2，则log2(4×2)＝log28＝3，而log24·log22＝2×1＝2≠3，∴loga(xy)＝logax·logay不成立；对于④，取x＝4，y＝2，a＝2，则eq\f(log24,log22)＝2≠log2eq\f(4,2)＝1，∴eq\f(logax,logay)＝logaeq\f(x,y)不成立；对于⑤，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6，∴(logax)n＝logaxn不成立；⑥成立，由于－logaeq\f(1,x)＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax；⑦成立，由于logaeq\r(n,x)＝logaxeq\s\up15(eq\f(1,n))＝eq\f(1,n)logax；⑧成立，由于logaeq\f(x－y,x＋y)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,x－y)))－1＝－logaeq\f(x＋y,x－y).[答案]A例2化简：(1)eq\f(lg\r(27)＋lg8－3lg\r(10),lg1.2)；(2)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5log53；(3)log2eq\r(8＋4\r(3))＋log2eq\r(8－4\r(3)).[解](1)原式＝eq\f(lg33eq\s\up15(eq\f(1,2))＋lg23－3lg10eq\s\up15(eq\f(1,2)),lg\f(3×22,10))＝eq\f(\f(3,2)lg3＋2lg2－1,lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3,2).(2)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝5log32－(5log32－2)－3＝－1.(3)原式＝log2(eq\r(8＋4\r(3))·eq\r(8－4\r(3)))＝log24＝2.点睛利用对数运算法则解决相关问题的思路(1)利用对数的运算法则解决问题的一般思路：①把困难的真数化简；②正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．(2)要留意一些常见的结论，如lg2＋lg5＝1，lgeq\f(1,a)＝－lga等．eq\a\vs4\al([跟踪训练1])计算：(1)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2；(2)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log51.8.解(1)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(2)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5eq\f(9,5)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.题型二换底公式的应用例3(1)用logab表示loganbn和logambn(m≠0，n≠0)；(2)计算：(log85＋log25)×(log54＋log258)；(3)已知lg2＝a，lg7＝b，用a，b表示log89.8的值．[解](1)loganbn＝eq\f(lgbn,lgan)＝eq\f(nlgb,nlga)＝eq\f(lgb,lga)＝logab；logambn＝eq\f(lgbn,lgam)＝eq\f(nlgb,mlga)＝eq\f(n,m)logab.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg5,lg8)＋\f(lg5,lg2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg4,lg5)＋\f(lg8,lg25)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg5,3lg2)＋\f(lg5,lg2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2lg2,lg5)＋\f(3lg2,2lg5)))＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)＋2＋eq\f(3,2)＝eq\f(14,3).(3)log89.8＝eq\f(lg9.8,lg8)＝eq\f(lg\f(72×2,10),lg23)＝eq\f(2lg7＋lg2－1,3lg2)＝eq\f(2b＋a－1,3a).点睛换底公式的作用换底公式的作用是将不同底数的对数式转化为同底数的对数式，将一般对数转化为自然对数或常用对数来运算，要留意换底公式的正用、逆用及变形运用.留意：在运用换底公式时，通常依据须要和从简的原则进行换底，一般换成以10或e为底的常用对数或自然对数.eq\a\vs4\al([跟踪训练2])(1)计算：(log43＋log83)×eq\f(lg2,lg3)；(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.解(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))×eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(lg3,2lg2)×eq\f(lg2,lg3)＋eq\f(lg3,3lg2)×eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).(2)解法一：∵18b＝5，∴log185＝b.又∵log189＝a，于是log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log189×5,log1818×2)＝eq\f(log189＋log185,1＋log182)＝eq\f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(a＋b,2－a).解法二：∵18b＝5，∴log185＝b.又∵log189＝a，于是log3645＝eq\f(log189×5,log18\f(182,9))＝eq\f(log189＋log185,2log1818－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).解法三：∵log189＝a,18b＝5，∴lg9＝alg18，lg5＝blg18.∴log3645＝eq\f(lg45,lg36)＝eq\f(lg9×5,lg\f(182,9))＝eq\f(lg9＋lg5,2lg18－lg9)＝eq\f(alg18＋blg18,2lg18－alg18)＝eq\f(a＋b,2－a).题型三与对数有关的条件求值例4(1)设3x＝4y＝36，求eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的值；(2)已知实数x，y满意xy＝yx，且logxy＝2，求xy的值．[解](1)对等式3x＝4y＝36各边都取以6为底的对数，得log63x＝log64y＝log636，即xlog63＝ylog64＝2，∴eq\f(2,x)＝log63，eq\f(1,y)＝log62，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝log63＋log62＝log66＝1，即eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1.(2)∵xy＝yx，且logxy＝2，∴ylgx＝xlgy，eq\f(lgy,lgx)＝2，∴ylgx＝x·2lgx，∴2x＝y，∴logx2x＝2，则2x＝x2，∵x>0且x≠1，∴x＝2，y＝4，∴xy＝8.点睛与对数有关的条件求值问题的解题技巧1通过指数式化对数式求出x，y，再代入所求式子中进行运算.2对等式两边取对数，是一种常用的技巧，一般地给出的等式以指数形式出现时，常用此法，值得一提的是，在取对数时，要留意对底数的合理选取.eq\a\vs4\al([跟踪训练3])已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，求abc的值．解解法一：设ax＝by＝cz＝t，∴x＝logat，y＝logbt，z＝logct，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(1,logat)＋eq\f(1,logbt)＋eq\f(1,logct)＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0，∴abc＝t0＝1，即abc＝1.解法二：∵a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，∴令ax＝by＝cz＝t>0，∴x＝eq\f(lgt,lga)，y＝eq\f(lgt,lgb)，z＝eq\f(lgt,lgc)，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝eq\f(lga,lgt)＋eq\f(lgb,lgt)＋eq\f(lgc,lgt)＝eq\f(lga＋lgb＋lgc,lgt).∵eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，且lgt≠0，∴lga＋lgb＋lgc＝lg(abc)＝0，∴abc＝1.1．计算log916×log881的值为()A．18B.eq\f(1,18)C.eq\f(8,3)D.eq\f(3,8)答案C解析log916×log881＝eq\f(lg16,lg9)×eq\f(lg81,lg8)＝eq\f(4lg2,2lg3)×eq\f(4lg3,3lg2)＝eq\f(8,3)，故选C.2．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36＝()A.eq\f(a＋b,a)B.eq\f(a＋b,b)C.eq\f(a,a＋b)D.eq\f(b,a＋b)答案B解析log36＝eq\f(lg6,lg3)＝eq\f(lg2＋lg3,lg3)＝eq\f(a＋b,b)，故选B.3．(多选)若a>0且a≠1，x∈R，y∈R且xy>0，则下列各式恒成立的是()A．logax2＝2logaxB．logax2＝2loga|x|C．loga(xy)＝logax＋logayD．loga(xy)＝loga|x|＋loga|y|答案BD解析∵xy>0，∴A中若x<0则不成立；C中若x<0，y<0也不成立；B，D恒成立．故选BD.4．已知loga2＝m，loga3＝n，则loga18＝________(用m，n表示)．答案m＋2n解析loga18＝loga(2×32)＝loga2＋loga32＝loga2＋2loga3＝m＋2n.5．(1)计算：2(lgeq\r(2))2＋lgeq\r(2)×lg5＋eq\r(lg\r(2)2－lg2＋1)；(2)已知log35＝m,3n＝7，用m，n表示log3245.解(1)原式＝lgeq\r(2)×(2lgeq\r(2)＋lg5)＋eq\r(lg\r(2)－12)＝lgeq\r(2)×(lg2＋lg5)＋1－lgeq\r(2)＝lgeq\r(2)＋1－lgeq\r(2)＝1.(2)由3n＝7，得log37＝n，∴log3245＝log3(5×49)＝log35＋log372＝log35＋2log37＝m＋2n.一、选择题1．2log510＋log50.25＝()A．0 B．1C．2 D．4答案C解析2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.2．假如lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么()A．x＝eq\f(ab3,c5) B．x＝eq\f(3ab,5c)C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3答案A解析∵lgx＝lga＋3lgb－5lgc＝lga＋lgb3－lgc5＝lgeq\f(ab3,c5)，∴x＝eq\f(ab3,c5).3．化简log2eq\f(1,2)＋log2eq\f(2,3)＋log2eq\f(3,4)＋…＋log2eq\f(31,32)等于()A．5 B．4C．－5 D．－4答案C解析原式＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(2,3)×\f(3,4)×…×\f(31,32)))＝log2eq\f(1,32)＝－5.4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝()A.eq\f(1,3) B．3C．－eq\f(1,3) D．－3答案A解析∵x＝log2.51000＝eq\f(3,lg2.5)，y＝log0.251000＝eq\f(3,lg0.25)，∴eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝eq\f(1,3)×(lg2.5－lg0.25)＝eq\f(1,3)×lgeq\f(2.5,0.25)＝eq\f(1,3)×lg10＝eq\f(1,3).5．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么()A．ab＋bc＝2acB.eq\f(2,c)＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)C.eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)－eq\f(1,a)D.eq\f(2,c)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)答案AC解析由题意，设4a＝6b＝9c＝k(k>0)，则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k，对于A，由ab＋bc＝2ac可得eq\f(b,c)＋eq\f(b,a)＝2，因为eq\f(b,c)＋eq\f(b,a)＝eq\f(log6k,log9k)＋eq\f(log6k,log4k)＝eq\f(logk9,logk6)＋eq\f(logk4,logk6)＝log69＋log64＝log636＝2，故A正确；对于B，因为eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,log4k)＋eq\f(1,log6k)＝2logk4＋logk6＝logk96，eq\f(2,c)＝eq\f(2,log9k)＝2logk9＝logk81，故eq\f(2,c)≠eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)，故B错误；对于C，因为eq\f(2,b)－eq\f(1,a)＝eq\f(2,log6k)－eq\f(1,log4k)＝2logk6－logk4＝logk9，eq\f(1,c)＝eq\f(1,log9k)＝logk9，故eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)－eq\f(1,a)，故C正确；对于D，因为eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(1,log4k)＋eq\f(2,log6k)＝logk4＋2logk6＝logk144，eq\f(2,c)＝eq\f(2,log9k)＝2logk9＝logk81，故eq\f(2,c)≠eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)，故D错误．故选AC.二、填空题6．log3eq\f(\r(4,27),3)＋lg25＋lg4＋7log72＝________.答案eq\f(15,4)解析原式＝log3eq\f(3eq\s\up15(eq\f(3,4)),3)＋lg(25×4)＋2＝log33eq\s\up15(－eq\f(1,4))＋lg102＋2＝－eq\f(1,4)＋2＋2＝eq\f(15,4).7．化简(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.答案eq\f(5,4)解析原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log23,log24)＋\f(log23,log28)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,log23)＋\f(1,log232)))＝eq\f(5,6)log23×eq\f(3,2log23)＝eq\f(5,4).8．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则ab＝________，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(a,b)))2＝________.答案1002解析由根与系数的关系，得lga＋lgb＝2，则lgab＝2，ab＝102＝100.又lga·lgb＝eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(a,b)))2＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb＝22－4×eq\f(1,2)＝2.三、解答题9．计算：(1)logeq\s\do10(eq\r(3))27＋lg4＋lg25；(2)lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2eq\s\up15(eq\r(3)))2＋lgeq\f(1,6)＋lg0.06；(3)2eq\s\up15(log2eq\f(1,4))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)))eq\s\up15(－eq\f(1,2))＋lg20－lg2－(log32)×(log23)＋(eq\r(2)－1)lg1.解(1)原式＝logeq\s\do10(eq\r(3))(eq\r(3))6＋2lg2＋2lg5＝6＋2(lg2＋lg5)＝8.(2)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2－lg6＋lg6－2＝3lg5×lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3lg2＋3lg5－2＝3(lg2＋lg5)－2＝1.(3)原式＝eq\f(1,4)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2))eq\s\up15(－eq\f(1,2))＋lgeq\f(20,2)－eq\f(lg2,lg3)×eq\f(lg3,lg2)＋1＝eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))－1＋lg10－1＋1＝2.10．解下列方程：(1)eq\f(1,2)(lgx－lg3)＝lg5－eq\f(1,2)lg(x－10)；(2)lgx＋2log(10x)x＝2.解(1)由已知方程知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x－10>0.))故x>10.原方程可化为lgeq\r(\f(x,3))＝lgeq\f(5,\r(x－10))，所以eq\r(\f(x,3))＝eq\f(5,\r(x－10))，即x2－10x－75＝0.解得x＝15或x＝－5(舍去)，经检验，x＝15是原方程的解．(2)由已知方程知10x>0且10x≠1，即x>0且x≠eq\f(1,10).原方程可化为lgx＋eq\f(2lgx,1＋lgx)＝2，即lg2x＋lgx－2＝0.令t＝lgx，则t2＋t－2＝0，解得t＝1