2022-2023学年河南省郑州某中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（附答案详解）

2022-2023学年河南省郑州第二高级中学高二（上）月考数学试

卷（10月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.点（0,-1）到直线y=k（x+l）距离的最大值为（）

A.1B.V2C.V3D.2

2.下列说法中正确的是（）

A.急=忆表示过点心（修,%），且斜率为k的直线方程

B.直线y=fcx4-b与y轴交于一点8（0,b）,其中截距b=\OB\

C.在X轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是X=1

D.方程（%2-Xl）（y-Vl）=（当一%）0-％1）表示过点匕。1，%），的直线

3.已知空间向量日石,不是一组单位正交向量，m=—a+6ib—5c,n=3a+8K>则钻•

n=（）

A.15B.21C.45D.36

4.如果A-B>0且B・C<0,那么直线Ax+By+C=0不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.已知空间四边形。ABC,M,N分别是对边04,BC的中点，点G在线段MN上，且麻=|嬴,

设而'=+y而+z方，则x,y,z的值分别是（）

1111

X=-y=-=-X=1y=1z=-

A.3336

31,31,

111--1

cX--y=6z=-X=6y=3Z=-

3*33

6.直线％s讥a+y+2=0的倾斜角的取值氾围是（）

A.[0㈤B.哨U笆㈤C.[O.JD.呻呜兀）

7.如图，在四棱锥P-4BCD中，ZM1底面ABCD,底面ABCD

为正方形，PA=BC,E为的中点，F为PC的中点，则异面

直线BF与PE所成角的正弦值为（）

B

Bl

r5V3

,-

D.延

9

8.在一平面直角坐标系中，已知4（一1,6）,B（2,—6）,现沿x轴将坐标平面折成60。的二面角，

则折叠后A,B两点间的距离为（）

A.2V7B.V41C.gD.35/5

9.在三棱锥P-ABC中，PC1底面ABC,Z.BAC=90°,AB=AC=4,/.PBC=60°,则点C

到平面P4B的距离是（）

A3属B4闻Q5/D6很

•7・7•7•7

10.三棱锥P-ABC中，M是棱的中点，若丽=%彳？+y荏+z1?（%,y,z€R），则x+y+

z的值为（）

A.—1B.0C.D.1

11.已知实数x,y满足/-4x+3+y2=0,则要干的取值范围是（）

A.£+8）B.停,+8）C.[0,i]D.生刍

12.阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常

数k（k>0且k力1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点4B间的距

离为2,动点P与4、B距离之比为鱼，当P、A、B不共线时，aPAB面积的最大值是（）

A.苧B.竽C.V2D.2V2

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若直线1的一个方向向量五=（s呜,cos》则直线I的倾斜角。=.

14.已知两点4（一3,-4）,8（6,3）到直线2：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值等于

15.若曲线y=m三口与直线y=x+6恒有公共点，贝帕的取值范围为.

16.达・芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”.从年轻时起，他就本能地

把这些主题运用在作品中.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形

上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）,把三片这样的达・芬奇方砖形成图2的组合，这个

组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1,则点F到直线QC的距离

e

(图1)(图2)(图3)

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知直线。：ax+2y+6=0和x+(a—l)y+a2—1=0(a1),试求a为何值时,

(1乂〃5

(2)/11/2.

18.(本小题12.0分)

已知4人口。的顶点4(2,1),4B边上的中线所在直线的方程为2x+3y-l=0,NB的平分线所

在直线的方程为％-2y+5=0.

(1)求B点坐标;

(2)求BC边所在的直线方程.

19.(本小题12.0分)

如图，在正方体力BCO-4当6。1中，E为8当的中点.

(1)求证：Bq〃平面4。道；

(2)求直线44］与平面所成角的余弦值.

'B

D

20.(本小题12.0分)

已知点4(1,-2),B(—1,4).

(1)求过点4B且周长最小的圆的方程；

(2)对于(1)中的圆，设过点P(2,-l)的直线1与圆心的距离是2,求直线，的方程.

21.(本小题12.0分)

在平面直角坐标系中，直线，过点P(l,2).

(1)若直线I在两坐标轴上的截距相等，求直线/的方程；

(2)若直线I分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于小B点，当44。8面积最小时，求直线2的方程.

22.(本小题12.0分)

如图，在梯形4BC0中，AB//CD,Z.DAB=90°,AD=DC=^AB=1,四边形4CFE为正方

形，平面2CFEJ_平面4BCD.

(1)求证：平面BCF_L平面ACFE；

(2)点M在线段E用上运动，是否存在点M使平面M4B与平面4CFE所成二面角的平面角的余弦

值为|,若存在，求线段FM的长：若不存在，说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是点到直线的距离公式.

直接代入点到直线的距离公式，可求解结论.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了直线方程的几种形式，关键是对直线方程形式的理解，属于基础题.

分别由直线的点斜式方程、直线在y轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形式逐一核

对四个选项进行分析判断，即可得答案.

【解答】

解：对于4点七（乙,%）不在直线上，故A不正确；

对于B,截距不是距离，是B点的纵坐标，其值可正可负.故B不正确；

对于C,经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0,不能表示为2+土=1，故C不正确；

对于。，此方程即直线的两点式方程变形，即号=息，故。正确.

故选：D.

3.【答案】C

【解析】解：•••空间向量京31是一组单位正交向量，m=-a+6b-5c,n=3a+8b，

••a-b=a-c=cb=0>

Tn,n=—3方之一8a・b+181+48b-15u,c—40c,6=—3—0+0+48—0—0=45'

故选：C.

直接代入求解即可.

本题主要考查空间向量的数量积，考查计算能力，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：直线转换为

+By+C=0y=D—D

由于4・8>0且B・CV0,

所以一：<0,一5>0,

DD

故该直线经过第一，二，四象限；

故该直线不经过第三象限.

故选：C.

首先把直线的一般式转换为斜截式，进一步求出该直线经过的象限，最后确定结果.

本题考查的知识要点：直线的形式的转换，直线的位置与象限的关系，主要考查学生的运算能力

和数学思维能力，属于中档题.

5.【答案】D

【解析】解：如图所示，

■.■OG=OM+MG=^OA+lMN=^OA+^ON-1OM=yOA+

Z32336

^OB+^OC,

又有南=xO^A+y08+zOC，

111

•1-x=6'y=z=§,

故选：D.

利用向量的三角形法则和共线定理、平行四边形法则即可得出.

本题考查了向量的三角形法则和共线定理、平行四边形法则，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.

由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围.

【解答】

解：直线%s讥a+y+2=0的斜率为k=—sina,

v—1<sina<1,A—1<fc<1»

••・倾斜角的取值范围是[0币U声,兀),

故选：B.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查异面直线所成角的求法，考查空间向量的应用，是基础题.

以力为坐标原点，分别以4B,AD,4P所在直线为％,y,z轴建立空间直角坐标系，设PA=BC=2,

求出而与丽所成角的余弦值，再由同角三角函数基本关系式求解异面直线BF与PE所成角的正弦

值即可.

【解答】

解：如图，

•••P4J•底面4BCD,底面4BCD为正方形，

:.AB、AD,力P所在直线两两垂直，

.••以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

设fM=BC=2,则B(2,0,0),P(0,0,2),E[1,2,0),

.-.BF=(-1,1,1),PE=(1,2,-2))

••・co,s<”BF,P行E、>=B^FP^F=^-1+2--2=一V丁3

.•・异面直线BF与PE所成角的正弦值为/_(_各2=等

故选A.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积运算，向量的模，考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.

作4c垂直于x轴,垂足为C,B。垂直于x轴，垂足为。,利用向量的线性运算得而=AC+CD+DB，

利用向量的数量积的运算求出结果.

【解答】

解：如图所示：

作ZC垂直于x轴，垂足为C,8。垂直于x轴，垂足为D,

则4c=6,BD=6,CD=3,

前和前的夹角为60。，

故而=AC+CD+DB，

2

所以证产=\AC+CD+OB|

=\AC\2+\CD\2+\DB\2+2AC-CD+2ACDB+2CDOB，

=36+9+36+2X6X6X（一3=45.

故|南|=3V5.

故选：D.

9.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查

运算求解能力，属于中档题.

以4为原点，4B为x轴，AC为y轴，过4作平面4BC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量

法能求出点C到平面P4B的距离.

【解答】

解：•••在三棱锥P-4BC中，PC1底面4BC,Z.BAC=

90°,AB=AC=4,4PBC=60°,

.,•以4为原点，48为x轴，AC为y轴，

过4作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

则C(0,4,0),P(0,4,4后)，4(0,0,。)，B(4,0,0),

AC=(0,4,0)，AB=(4,0,0).

AP=(0,4,476)，

设平面P4B的法向量元=(x,y,z),

则(元-AP=4y+4V6z=0

In-AB=4x=0

取z=1,得五=(0,—V6,1),

•・•点C到平面/MB的距离d=警=警=警.

|n|V77

故选:B.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查向量加法法则的应用，考查数形结合思想，考查空间想象能力，属于基础题.

利用向量加法法则直接求解.

【解答】

解：•••三棱锥P-ABC中，M是棱BC的中点,

__,_(__(_(_(__,]__(

•••PM=R4+AB+BM=-AP+AB+《前

,_1_(_(

=-AP+AB+^(AC-AB)

=-AP+^AB+^AC,

,■PM=xAP+yAB+z~AC(x,y,zG/?)>

1i

•,■%+y+z=—1+-+-=0.

故选:B.

11.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查直线与圆的位置关系，分类讨论的数学思想等知识，属于中档题.

首先确定点的位置，然后整理所给的代数式，将其转化为斜率相关的问题，最后数形结合确定其

取值范围即可.

【解答】

解：实数％,y满足/-4x+3+*=o,gp(%-2)2+y2=1,表示以C(2,0)为圆心，半径等于1

的圆，

而x+y+2_x-l+y+31+雪，表示圆上的点M(x,y)与定点4(1,一3)连线的斜率k加上1,如图,

x-1x-1

当切线位于4B位置时，k最小，k+1最小，

当切线位于4E位置时，k不存在，k+1不存在，

设4B的方程为y+3=fc(x—1))即kx—y—fc—3=0,

由CB=1,可得'―M+]一1,求得k=p

而4E的方程为x=l,故k+1的范围为《,+8).

故选：A.

12.【答案】D

【解析】解：如图，以经过A、B的直线为x轴，线段4B的垂直平分线为y轴建系，如图:

则4(-1,0)、8(1,0),设P(x,y),

,,他

两边平方并整理得：/+y2_6%+1=0=(%—3)2+y2=8,所以圆的半径为2加,

P4B面积的最大值是:X2x2V2=2V2.

故选：D.

以经过4、B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建系，利用崔｛=近求出圆的方程，可得

圆的半径，进而可求出三角形面积的最大值.

本题考查了轨迹方程的计算，属于中档题.

13.【答案】言

【解析】

【分析】

本题主要考查了直线的方向向量，考查了直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题.

由题意可知k=驾，再利用诱导公式化简可得k=tan"，结合倾斜角和斜率的关系即可求出直

siny14

线/的倾斜角.

【解答】

解：・直线］的一个方向向量W=(sincosy),

.cosysin(2—y)sin招5H

k.rr~nzr、Sntan打，

sin7COSr(2-y)COS瑞14

•••直线，的倾斜角”能

故答案为:答

14

14.【答案】一£或

【解析】

【分析】

本题考查了点到直线的距离公式的应用，属于基础题.

利用点到直线的距离公式即可得出.

【解答】

解：••・两点4(-3,-4),B(6,3)到直线八ax+y+1=0的距离相等,

.|-3a-4+l|_|6a+3+l|

化为|3Q+3|=|6a+4|.

J.2+1Va2+1

：•6Q+4=±(3a+3),

解得Q=_黑

故答案为：Q=—1或—

15.【答案】［—1,V2］

【解析】解：画出y=一吸与直线y=x+b的图象,

如图所示：

故―1<b<>/2,

故答案为：[―1,e].

画出图象，结合图象求出b的值即可.

本题考查了数形结合思想，考查转化思想，是一道基础题.

16.【答案】V2

【解析】

【分析】

本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，属于中档题.

由题意建立空间直角坐标系，利用空间向量求解点尸到直线QC的距离.

【解答】

解：建立空间直角坐标系如图，则C(0,2,0),(2(1,0,2),F(2,l,l).

衣=(1,-2,2)，而=(2「U)，8s〈衣，方"黯=需=彳

sin<CQ,CF>=学二点尸到直线QC的距离是|函•<页次>=乃xF=夜.

故答案为：V2.

17.【答案】解:(1)v+2y+6=0和%：》+(Q—l)y4-a2—1

0(a。1),

x

G//^2,

2

:.—1—-a-1-。--a----l，

a26

解得Q=-1.

(2)，・•，i：QX+2y+6=0和％：x+(a—l)y+a2—1=0(aH1),

k_L%，

・•・a+2(a—1)=0,

解得a=1.

【解析】(1)由k〃0，得工=噂力Q匚，由此能求出a=—l.

(2)由"J.%,得a+2(a-l)=0,由此能求出a

本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用.

18.【答案】解：⑴设B(m,n),

由题意可知,在的平分线吐—2y+5=0上,

・•・m-2n+5=0①，

从而AB的中点(14-m,~Y~)»

因为AB边上的中线所在直线的方程为2%+3y-1=0,

所以2+m+-1=0②，

①②联立可得，n=|,m=-y

(2)设A关于％-2y+5=0对称的点0(%,y),

3=-2

则《x—2

竽-2x号+5=0

\ZZ

解可得，%=0,y=5,

由题意可得0(0,5)在BC上，

・・・8C边所在的直线斜率k=号=|，

~7

故BC所在的直线方程为y=(x+5即6x-5y+25=0.

【解析】本题考查了直线方程的求解，直线对称性的应用，属于中档试题.

(1)设由题意可知，8(孙72)在48的平分线％-2)/+5=0上，AB的中点(1+^科亨)在

AB边上的中线上，从而可求.

(2)设4关于x-2y+5=0对称的点D(x,y),由题意可得。在BC上，根据对称性可求D,进而可求.

19.【答案】(1)证明：如下图所示:

由正方体的特征可得AB〃力［Bi且=4为，必当〃。1%且必%=CR,

则AB〃Ci£)i且AB=CiA，据此可得四边形ABGDi为平行四边形，则BCV/A。1,

vBCi<t平面皿E,mu平面gE,

由线面平行的判断定理可得BG〃平面力DiE；

(2)解：延长CCi到F,使得C】F=BE,连接EF,交位前于G,

•；CiF〃BE,.•.四边形BEFC］为平行四边形，BCJ/EF,

•:BCJIAD1，：.AD、〃EF,所以平面力QE即平面AD/E,

连接D】G,作GH1D1G于点H,连接FH,

「FC]_L平面AiBiGD],£\Gu平面AiBiGDi，二FC[1D1G,

•••FGnC1H=Ci，由线面垂直的判断定理可得直线Z)1G1平面GF",

•.•直线D1GU平面D1GF,由面面垂直的判断定理可得平面D1GFJL平面C/H,

二G在平面DiGF中的射影在直线FH上，

••・直线FH为直线FG在平面/GF中的射影，

4C1FH为直线FC】与平面。母尸所成的角，

根据直线FG〃直线441，可知NGFH为直线44］与平面4D1G所成的角，

设正方体的棱长为2,则CiG=C1F=l,。母=隗，；""=等=奈

•••吁小+布=a

•••sinzCxFH=需=：'

由同角三角函数基本关系可得cos"/"=小飞双=亭

即直线与平面力所成角的余弦值为争

【解析】(1)由题意可得四边形4BGD1为平行四边形，则BCJ/4D1，然后利用线面平行的判定定

理可证得结论；

(2)将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算直线与平面4D1E所成角

的余弦值即可.

本题主要考查线面平行的证明，线面角的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题.

20.【答案】解：由已知可得：过点儿B且周长最小的圆即为以4B为直径的圆,

又线段4B的中点坐标为(0,1),\AB\=,(1+1)2+(-2-4尸=2710，

即所求圆的圆心坐标为(0,1)，半径为旧，

则所求圆的方程为炉+(y-I)2=10；

(2)设所求直线/的斜率存在且为％时，

则直线方程为y+1=k(x—2),

则点(0,1)到直线y+1=fc(x-2)的距离为2,

|2k+2|

则L7，

Jl+/

则k=0,

即直线方程为y=-1；

当所求直线/的斜率不存在时，

直线x=2显然满足题意，

故直线I的方程为x=2或y=-1.

【解析】(1)由过点4,B且周长最小的圆即为以4B为直径的圆，然后结合4、B的坐标求解即可;

(2)讨论所求直线斜率存在与不存在两种情况，结合点到直线的距离求解即可.

本题考查了圆的方程的求法，重点考查了点到直线的距离，属基础题.

21.【答案】解：(1)直线I经过原点时，可得方程为：y=2x；

直线I不经过原点时，可设方程为：x+y=a,

把点P(l,2)代入可得：a=1+2=3,

此时直线I的方程为：x+y-3=0.

综上可得直线I的方程为：y=2