2023年南京邮电大学电磁场与电磁波考试必背公式

电磁场与电磁波复习

第一部分知识点归纳

第一章矢量分析

1、三种常用的坐标系

(1)直角坐标系

->r->r_\dSx=dydz

微分线元：dR=axdx+aydy+a.dz面积元：=公心'体积元：dr=dxdydz

dS.=dxdy

(2)柱坐标系

=drdS,=力必=rdcpdz

长度元：，(,面积元<产，体积元：(

*;-rdpdSdlrdl_=drdzdr=rdrdpdz

dlz=dzdS『dl*L-rdrdz

(3)球坐标系

,

2

dlr-drdSr-dl^dlg-rsinOd0d(p

长度元：<面积元：,

dl0=rdO,dSe=dl,.(11fp=rsin0drd(p,体积元

中

dlp=ysMOd(pdS-dlrdlg-rdrdO

dr-r~sin6drd0d(p

2、三种坐标系的坐标变量之间的关系

(1)直角坐标系与柱坐标系的关系

x=rcoscp1=4x+」

<y=rsi.n^J(p=arctan—y

x

z=ZZ—Z

(2)直角坐标系与球坐标系的关系

222

x-rsin^cos^r=y]x+y+z

y=rsin^sin^,*0=arccos.

7x2+/+z2

z=rcos^

y

cp-arctan—

z

(3)柱坐标系与球坐标系的关系

r-rsin^

<(P=(PAo

z=rcosO

3、梯度

(1)直角坐标系中:

,—f勿-3〃T加

==

gradjLiyuci..-------F6?----------F—

产产xdx3dy2dz

(2)柱坐标系中：

,口■*du-19〃du

ograd从*=\•u=ar——/->+a,(。p---、--+。—Z—c

orro(pdz

(3)球坐标系中：

T3〃T1A4Tl切

srad/Li=Vzz=a——+------+a-------------

6产产rdrerde(nrsin0d(p

4.散度

(1)直角坐标系中:

dA

divA=x+2+处

dxdydz

(2)柱坐标系中:

I。/，、1a4SA,

divA=—(a)+--+--

rdrrd(pdz

(3)球坐标系中：

4.71。/24、151SA

divA-——(厂A,)+------------(sin%)+-------------

r~drrsin^d0rsin3d(p

5、高斯散度定理：£j^5=£v-AJr=^->

divAdz,意义为：任意矢量场A的散度在场中任

意体积内的体积分等于矢量场A在限定该体积的闭合面上的通量。

6,旋度

(1)直角坐标系中：

T-

4a

fIAz

VXA-A

l次

al4xA

-

(2)柱坐标系中:

—>—>—>

%之a

1z

T。A

VXA--

一

r|黑

alr4aAz

z

(3)球坐标系中：

—>—>—>

grsin0a

1dd6

VxA

,sin®dr80d(p

44rsin胡伊

两个重要性质：①矢量场旋度的散度恒为零，▽•▽xA=0②标量场梯度的旋度恒为零，VXV/z=0

7、斯托克斯公式：

£A-^7=J'VXAJS

第二章静电场和恒定电场

1、静电场是由空间静止电荷产生的一种发散场。描述静电场的基本变量是电场强度放、电

->->

位移矢量。和电位夕。电场强度与电位的关系为：E=«8.854xFIm

2、电场分布有点电荷分布、体电荷分布、面电荷分布和线电荷分布。其电场强度和电位的

计算公式如下：

（1）点电荷分布

―>

w=1十可4二-1N11N〃

E邛瓦）所京自忒+c

4您o£用4宓

（2）体电荷分布

6=1「夕（厂）（厂一厂）小/Irp（r）dvc

4加o人TT3，4处JvT?

r-rr-r

（3）面电荷分布

,T?,,

最_1rps（r）（r-r）dS'_1rps（r）dS'

4宓o卜一734痛o打i

r-rr~r

（4）线电荷分布

捻1『P/（r）（一〃）/1s0（r）d1

上=---------------;----,（P=------------+C

4至0'Tf'4宏0"TT,

r-r—r

3、介质中和真空中静电场的基本方程分别为

-=%（积分形式）表示噫义,介质中的高斯定理（”为s面内的总源电荷和s面内的总极化电荷之和）

▽.。=p（r）（微分形式）

£——=0,（积分形式）」安培环路定理，说明静电场是一种发散场，也是保守场。

VxE=0（微分形式）

^eTEdST-—1£"名.（积分形式）

<TS%T表示意义>真空中的高斯定理

v#=2■（微分形式，0为体电荷密度）

%

—>—>—>—>—>

在线性、各向同性介质中，本构方程为：D=%E+P=£E=%£,E

4、电介质的极化

（1）极化介质体积内的极化体电荷密度为：2/,=-▽•3（方极化强度矢量）。

（2）介质表面的极化面电荷密度为：4s=•；日为表面的单位法向量矢量）

5、在均匀介质中，电位满足的微分方程为泊松方程和拉普拉斯方程，即

f*=一2（有源区域），V28=o（无源区域）

£

6、介质分界面上的边界条件

（1）分界面上。，的边界条件

4-2,=/或〃•山一a）=Ps

（0s为分界面上的自由电荷面密度），当分界面上没有

自由电荷时，则有：

分界面上O.的边界条件

Dtn=4,即它给出了D的法向分量在

介质分界面两侧的关系:

->

(I)假如介质分界面上无自由电荷，则分界面两侧。的法向分量连续;

(II)假如介质分界面上分布电荷密度「，，3的法向分量从介质1跨过度界面进入介质2

时将有一增量，这个增量等于分界面上的面电荷密度0。

曲8①)力颉Ia①，(八、

用电位表达：-0+£2=二必和?

dnonF=£2K5=°)

(2)分界面上纥的边界条件(切向分量)

—>—>—>—>—>

“X£1="XE或E”=石工，电场骁次的切向令圈

我不同的今界面上总是连接的。

由于电场的切向分量在分界面上总连续，法向分量

有限，故在分界面上的电位函数连续，即

91=92。

tan08

电力依折射定律；------XL=—

tan02s2

7、静电场能量

(1)静电荷系统的总能量

①体电荷:

«2

②面电荷:

③线电荷:叱①/。

(2)导体系统的总能量为：％=，£以外

2k

(3)能量密度

静电能是以电场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的。场中任意

一点的能量密度为：砥=—]ZT>—E=—1£621/m3

22

在任何情况下，总静电能可由叱,=g1环24T来计算。

8、恒定电场存在于导电媒质中由外加电源维持。描述恒定电场特性的基本变量为电场强度

E和电流密度/,且J=bE。er为媒质的电导率。

（1）恒定电场的基本方程

女注心入方积分形式,）以《=_半

电流接役槌方在：JJsdt

微分形式：▽.，=&或V。+阻=。

I%dt

恒定电流场中的电荷分布和电流分布是恒定的。场中任一点和任一闭合面内都不能有电荷的

增减，即鲁=。和詈=0。因此，电流连续性方程变为：｛，.4《=0和\7）=0,再加上

£fi.dl=0和Vx£=0;这变分别是恒定电场基本方程的积分形式和微分形式。

（2）恒定电场的边界条件

⑴，〃二或九.（，一/2）=。，（2）&=Elt或=。

->T

应用欧姆定律可得：24“=b2E2„和九=巴。

（7]0B2

2

此外，恒定电场的焦耳损耗功率密度为p=aE,储能密度为a）e=如2。

第四章恒定磁场

1、磁场的特性由磁感应强度力和磁场强度方来描述，真空中磁感应强度的计算公式为:

（真空磁导率：4=4万Xi。""/”?，）

（1）线电流：（==g/〃x（~j

4万“R?

r-r

2、恒定磁场的基本方程

（1）真空中恒定磁场的基本方程为:

r->—

A、磁通连续性方程：积分形式吆=°,B、真空中安培环路定理：

、微分形式：V.B=O

积分形式=〃（）/

微分形式：VXB=/z（）J

（2）磁介质中恒定磁场的基本方程为：

卜,fT

A、磁通连续性方程仍然满足：积分形式k45=0,

微分形式：VB=0

«—>—>

B、磁介质中安培环路定理：积分形式：£“•"/=/

.微分形式：VxW=J

->

C、磁性媒质的本构方程：必=为人力=〃春力=巨-淳其中需为磁化强度矢量）。

Ao

恒灵磁场是一种酸洞场，因此一般蒸犍用一个根量备熬的绥衣来拙注。

3、磁介质的磁化

磁介质在磁场中被磁化，其结果是磁介质内部出现净磁矩或宏观磁化电流。磁介质的磁化

限度用磁化强度需表达。

—>—>

（1）磁介质中的束缚体电流密度为：J„,=VxM；

—>—>—>—>

（2）磁介质表面上的束缚面电流密度为：=Mx”（其中，〃为表面的单位法向量矢量）

—>—>—>

4、恒定磁场的矢量磁位为：B^VxA,矢量A为矢量磁位。

—>

在库仑规范条件（▽•4=0）下，场与源的关系方程为：▽21=-〃7（有源区）\727=（）（无源区）

对于分布型的矢量磁位计算公式：

—>—>—>

（1）线电流：4=^（—（2）面电流：1=上_19（3）体电流：2=^-（—

R44人R44bR

5、恒定磁场的边界条件

（1）分界面上乩的边界条件

位的种磁介质的今界面上，取一个跨过点界面

检侧的小扁状闭合杈面（龙/，­（）%无穷H•量上

由右囹所市，定用磁遹隹僮糙方程可得，

分界面上B〃的边界条件

r->—>—>—>—>—>

dS=B\,ndS—B2nds=b

于是有.人（月—6）=0或缘=%

（2）分界面上“，（切向分量）的边界条件：

装酒「或）=/，假如分界面上无源表面电流

—>

（即）S=0），则1x（6-R）=0即瓦=R，或H|Sinq

磁力微折射定样：四色=及

tan2出

用矢量磁位表达的边界条件为：A-A,,—（VxA,）,L（VxA）=4

一M%

6、电感的计算

—>—>

⑴外自感：品=》=/我吗亘，⑵互感：根2=心产必产H气”

（3）内自感：单位长度的圆截面导线的内自感为：,A（长度为/的一段圆截面导线的内

J藐

自感为厂包）。

84

7、磁场的能量和能量密度

（1）磁场的总能量

磁介质中，载流回路系统的总磁场能量为：W,“=L££MJ3

2j=\k=i

（3）磁场能量密度

A、任意磁介质中：G）m=~^B,此时磁场总能量可以由叱“dr计算出；B、

在各向同性，线性磁介质中：3=-HB=-uH-此时磁场总能量可以由

m22

］「一>->1

w.n=-J产HdT=a^riH-dr

第五章时变电磁场

1、法拉第电磁感应定律

d①

（1）感应电动势为：£=——;

dt

SB,二

积分形式jadi=£-----aS

（2）法拉第电磁感应定律Jdt

—>

tAR

微分形式：\7xE=-—

dt

它说明时变的磁场将激励电场，并且这种感应电场是一种旋涡场，即感应电场不再是保

守场，感应电场后在时变磁场中的闭合曲线上的线积分等于闭合曲线围成的面上磁通

的负变化率。

2、麦克斯韦位移电流假说

按照麦克斯韦提出的位移电流假说，电位移矢量对时间的变化率可视为一种广义的电流

-dD

密度，称为位移电流密度,即J=匕/。位移电流同样可以激励磁场，从而可以得出

dt

积分形式C"dI={(/+22)•dS

时变场中的安培环路定

—>

TTA

微分形式：VxH=J+—

dt

3、麦克斯韦方程组

—>—>

TTGDf-*rd[)-

(I)Vx/7=J+—⑴招,心

dt

—>—>

（1）微分形式（2）积分形式

(2)Vx£=--•⑵伍二r翁疝

dt

⑶jjd1=0

(3)VB=0

(4)VD=p(4^D-dS=q

（3）非限定形式的麦克斯韦方程组

在线性和各向同性的介质中，有媒质的本构关系：

―>——>——>

D=£E=£（）£「E,B=/AH=〃（）〃,.H=0石，由此可得非限定形式的麦克斯韦方程组:

-QE

(l)Vx//=—

dt

-1

<(2)VxE=-n—

dt

⑶=0

(4)V-^E=p

（4）麦克斯韦方程组的实质

A、第一方程:时变电磁场中的安培环路定律。物理意义:磁场是由电流和时变的电场

激励的。

B、第二方程：法拉第电磁感应定律。物理意义:说明了时变的磁场激励电场的这一事

实d

C第三方程:时变电场的磁通连续性方程。物理意义:说明了磁场是一个旋涡场葭

D、第四方程匚高斯定建一物理意义j览变曳磁场史的发散电场分量是由电荷激励期.

思考题：麦克斯韦方程中为什么没有写进电流连续性方程？

答：由于它可以由微分形式的方程组中①、④式两式导出。把①式两边同时取散度得

—>—>

tfa力->c)D

V(VxH)=V(J+—)▽•("——)=0

%由于矢量的旋度的散度恒等于零，故得沅,再把④式代入上式,

即得V•)+%=(),这便是电流连续性方程。

dt

4、分界面上的边界条件

(1)法向分量的边界条件

—>—>―>—>—>—>

A、6的边界条件〃X(。]一。2)=PS，若分界面上Ps=0，则〃X(2-£)2)=0

B,3的边界条件：x(后一发)=0

(2)切向分量的边界条件

A、K的边界条件〃X(£—£：2)=0

B、&的边界条件几H?)=,若分界面上人=0,则以(H]-//?)=0

(3)抱负导体(b=oo)表面的边界条件

—>—>—>—>—>

(1)nxH=J§oHI=J§

—>—>T

(2)nxE=0oEt=0,

'⑶；5=00纥=0

(4)H=a=E〃=2

£。/

式中〃是导体表面法线方向的单位矢量。上述边界条件说明：在抱负导体与空气的分界面上，假如导

体表面上分布有电荷，则在导体表面上有电场的法向分量，则由上式中的④式决定，导体表面上电场

的切向分量总为零；导体表面上磁场的法向分量总为零，假如导体表面上分布有电流，则在导体表面

上有磁场的切向分量，则由上式中的①决定。

5、波动方程

无源区域内，'方的波动方程分别为：V*-侔票=0、V2A〃£票=0；

此两式为三维空间中的矢量齐次波动方程。由此可以看出：时变电磁场在无源空间中是以波动的方式

1

在运动，故称时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为。P=。=。

6、坡印廷定理和坡印廷矢量

数学表达式：-病=阴2+；组2）力■+1严2”

由于M=［g或为体积7内的总电场储能，死,=［；第2位为体积t内的总磁场

储能，尸=［成2介为体积T内的总焦耳损耗功率。于是上式可以改写成：

-,X方.dW=:（+叱“）+P,式中的S为限定体积7•的闭合面。

物理意义：对空间中任意闭合面S限定的体积?，小矢量流入该体积边界面的流量等于该体积内电

磁能量的增长率和焦耳损耗功率，它给出了电磁波在空间中的能量守恒和能量转换关系。

坡印廷矢量(能流矢量)3=晟日表达沿能量流动方向单位面积上传过的功率。

->

7、动态矢量磁位A和动态标量为①与电磁场的关系为：

—>

TfTC)A

B=Vx4,£=-V(D----

dt

-»

达朗贝尔方程(或称A与中的非齐次波动方程)为

—>->

K-偌黑=-力，磬=_4

drdt£

第六章正弦平面电磁波

欧拉公式：eJX=cosx+/sin%

1、正弦电磁场

(1)正弦电场、磁场强度的复数表达方法(以电场强度为例)

在直角坐标系中，正弦电磁场的电场分量可以写成：

E(x,y,zj)=axExm(x,y,z)•cos[m+(p、(x,y,z)]+

ayEym(x,y,z)•cos+(py(x,y,z)]+a:E:m(x,y,z)cos[初+(pz(x,y,z)]

运用欧拉公式将其表达成复数矢量形式：

纥=Exmcos[如+%(%,y,z)]=Re叵/小心)\=Re(&,“*)

J((0，+v>>jM

Ey=Eymco^cot+(py(x,y,z)]=ReEyme\=Re(Eyme)

Ez=Jcos[创+化(%,Xz)]=Re瓦/(皿叫=Re⑸"e加)

JV>J(PyJV>:

其中，Exm=Exme',Eym=Eyme,Ezm=Ezme分别称为各分量振幅的相量，

它的模和相位角都是空间坐标的函数，因此

E(x,y,z,t)=Re[(avExm+ayEym+a:EQ*]=Re(E^)

-―->—>

其中，E=axExm+ClxEyni+ClzEzm,称为里场强度复煲量,它具有各分量的振幅和初相两大要

素。电场强度复矢量是一个为简化正弦场计算的表达符号，一般不能用三维空间中一个矢量来表达，

也不能写成指数形式。

例题1将下列场矢量的瞬时值改写为复数；将场得复矢量写为瞬时值

fTzjTTYfTTY

(1)H=a"(#(一)sin(一)sin(kz-a,Hcos(—)cos(/:z-M)

x7taa()

(2)Exm=2jE。sin0cos(kxcos0)e~jkzii]nO

解：(1)由于cos«z一g0是偶函数，

则cos(kz—cot)—cos(M—Zz)而sin(Zz-")=cos(lcz-cot-=cos(tyZ-^z+—)，故

22

JfTT],a、./玄、-jkz+以f/X、一族”Tf

H=a"()Z(—)sin(—)ez-+a_Hrr。cos(—>J~=aHrr+a.HTr

mxnaaxxm:m

J2S,n

(2)由于Exm=2jE。sin0cos(kxcos0)e~=2E0sin0cos(kxcos0)e

+

故Ex=2E()sin0cos(kxcos0)cos(fi)t-kzsin

(2)麦克斯韦方程组的复数形式

▽X”=J+jo)D

->->

“xE=TsB,此方程组没有时间因子，注意：式中的场量仍代表复矢量，标量仍代表复数。

->

▽・8=0

V-£>=p

对于正粮电磁场的求解，爽但可根辗备痛的痛与生具象泰♦和象裁，餐后运用衣克新卒方也做的象裁

形蚊求出场得象关为由电球场的复兵♦与生史嫌场的正程索虫式。

—>—>

例题2在真空中，已知正弦电磁波的电场分量为E(z,r)=av103sin(tyf-£z),求波的磁场分量

H(z.r)

解：先将波的电场分量写出复矢量，即Ev=-川O3e%"一㈤，将其代入矢量的麦克斯韦方程组：

Vx旌-何可得：H-1Vx£-a£-将纥=一〃()3/3-肉代入上式可得

j绯"①

白=-幻，将上式展开取实部得：方(z,f)=-[〃-1。3