(教师版较详细)椭圆的讲义与练习

．(2)在中，由余弦定理得：∵，∴，即．∴．即的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点与两个焦点，构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关，的关系式，使问题找到解决思路．例8、设F1、F2为椭圆＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点.P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|,求的值.解:由题意，假设为直角，那么，即得，，故假设为直角，，即得，，故注：该题易忽略为直角，想当然的认为只是为直角题型三：椭圆的离心率问题例9、一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：∴，∴．说明：变式训练：设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．求椭圆的离心率．解：易得，从而有例10、椭圆与轴正向交于点，假设这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点)，求其离心率的取值范围．分析：∵解：设椭圆的参数方程是，那么椭圆上的点，，∵，∴，即，解得或，∵∴〔舍去〕，，又∴，∴，又，∴．变式训练：假设椭圆离心率范围，求证在椭圆上总存在点使．如何证明？选作思考：椭圆，、是其长轴的两个端点．〔1〕过一个焦点作垂直于长轴的弦，求证：不管、如何变化，．〔2〕如果椭圆上存在一个点，使，求的离心率的取值范围．分析：此题从条件出发，两问都应从和的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．此题的第〔2〕问中，其关键是根据什么去列出离心率满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：，，根据得到，将代入，消去，用、、表示，以便利用列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：〔1〕设，，．于是，．∵是到的角．∴∵∴，故∴．〔2〕设，那么，．由于对称性，不妨设，于是是到的角．∴∵，∴整理得∵∴.∵，∴∵，∴.，∴，∴或〔舍〕，∴．总结区：离心率的值或范围的求法〔本质和通法〕：题型四：弦中点问题例11、中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为，由，得，∴，，，∴，∴为所求．说明：〔1〕此题求椭圆方程采用的是待定系数法；〔2〕直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．变式训练：椭圆上不同三点，，与焦点的距离成等差数列．〔1〕求证；〔2〕假设线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率．证明：〔1〕由椭圆方程知，，．由圆锥曲线的统一定义知：，∴．同理．∵，且，∴，即．〔2〕因为线段的中点为，所以它的垂直平分线方程为：．又∵点在轴上，设其坐标为，代入上式，得：又∵点，都在椭圆上，∴，∴．将此式代入①，并利用的结论得：∴．例12、椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．分析一：一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求．解法一：设所求直线的斜率为，那么直线方程为．代入椭圆方程，并整理得:．由韦达定理得．∵是弦中点，∴．故得．所以所求直线方程为．分析二：解法二：设过的直线与椭圆交于、，那么由题意得①－②得．⑤将③、④代入⑤得，即直线的斜率为．所求直线方程为．变式训练：求过点〔0，2〕的直线被椭圆x2＋2y2＝2所截弦的中点的轨迹方程.解：设直线方程为y=kx+2，把它代入x2＋2y2＝2，整理得〔2k2＋1〕x2+8kx+6=0.要使直线和椭圆有两个不同交点，那么Δ＞0，即k＜－或k＞.设直线与椭圆两个交点为A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕，中点坐标为C〔x，y〕，那么x＝＝，y=+2＝.〔k＜－或k＞〕，从参数方程〔k＜－或k＞〕，从参数方程y=消去k得x2＋2〔y－1〕2＝2，且｜x｜＜＝，0＜y＜．说明：〔1〕有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．〔2〕解法二是“点差法〞，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．〔3“韦达定理应用〞及“点差法〞．有关二次曲线问题也适用．总结区：点差法：题型五：参数方程问题〔常用于最值〕例13、设椭圆(为参数)上一点与轴正向所成角，求点的坐标．分析：利用参数与之间的关系求解．解：设，由与轴正向所成角为，∴，即．而，，由此得到，，∴点坐标为．变式训练：(1)写出椭圆的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：此题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1)．(2)设椭圆内接矩形面积为，由对称性知，矩形的邻边分别平行于轴和轴，设为矩形在第一象限的顶点，，那么故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：题型六：定值、最值问题例14、求椭圆上的点到直线的距离的最小值．分析：解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，那么点到直线的距离为．当时，．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．变式训练：设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标．分析：此题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求的最大值时，要注意讨论的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是，其中待定．由可得：，即．设椭圆上的点到点的距离是，那么，其中．如果，那么当时，〔从而〕有最大值．由题设得，由此得，与矛盾．因此必有成立，于是当时，〔从而〕有最大值．由题设得，可得，．∴所求椭圆方程是．由及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点，点到点的距离是．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中，待定，，为参数．由可得，即．设椭圆上的点到点的距离为，那么，如果，即，那么当时，〔从而〕有最大值．由题设得，由此得，与矛盾，因此必有成立．于是当时〔从而〕有最大值．由题设知，∴，．∴所求椭圆的参数方程是．由，，可得椭圆上的是，．例15、设，，，求的最大值和最小值．分析：此题的关键是利用形数结合，观察方程与椭圆方程的结构一致．设，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由，得可见它表示一个椭圆，其中心在点，焦点在轴上，且过〔0，0〕点和〔3，0〕点．设，那么它表示一个圆，其圆心为〔－1，0〕半径为．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如下列图．观察图形可知，当圆过〔0，0〕点时，半径最小，即，此时；当圆过〔3，0〕点时，半径最大，即，∴．∴的最小值为0，最大值为15．变式训练：.解：利用数形结合。例16、以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，此题实际上就是要在直线上找一点，使该点到直线同侧的两点〔即两焦点〕的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如下列图，椭圆的焦点为，．解方程组得交点的坐标为〔－5，4〕．此时最小．所求椭圆的长轴：，∴，又，∴．因此，所求椭圆的方程为．例17、椭圆上有两点P、Q，是原点，假设OP、OQ斜率之积为。〔1〕求证：|OP|2+|OQ|2为定值。〔2〕求PQ的中点M的轨迹方程。解：〔1〕设P、Q的两点坐标分别为、Q,P、Q分别在椭圆上，且，得〔3〕代入