2015年高中数学课题：1.2.1函数的概念

课题：1.2.1函数的概念

精讲部分

学习目标展示

1.理解区间的概念及写法；

2.理解并掌握函数的概念；

3.会用函数的符号及理解函数的三要素；

4.理解两个函数相等并会判断两个函数是否同一函数

衔接性知识

1.以前学过哪几种函数，它们的一般表达式是什么？

k

答：学过正比例函数y=kx(k^Q),反比例函数y=-(k^O),一次函数

x

y=kx+b(k^0),二次函数y=办？+"+以。。0)

2.它们的图象及性质，你知道哪些？

基础知识工具箱

要点定义符号

闭区间{x\a<x<b}[a,b]

{x\a<x<b}(a,b)

{x\x<b}(-oo,b)

开区间

{x\x>a](a,+oo)

区间R(^X),+oo)

{x\a<x<b}(a,b]

半开半

闭区间

{x\x<b}(f,b]

{x\a<x<b][a,h)

半闭半

开区间

{x\x>a}[a,+8)

设A、B是非空的数集，如

果按照某种的确定的对应y=/(x),xeA

关系/,使对于集合A中的

其中x叫自变量，/(x)叫函

函数

任意一个实数X,在集合B

数值

中都有唯一确定的数/(X)x的取值范围A叫做函数的

定义域，函数值的集合

和它对应，那么称

-8为从集合A到集{7（x）|xeA}叫做函数的值

合8的一个函数域

定义域、值域与对应法关系/（定义域与对应关系决定值

函数的三要素

域）

如两个函数的定义域相同，

函数相等并且对应关系完全一致，那f(x)=g(x)

么称两个函数相等

几个学过的函数的定义域与值域

名称定义域值域

y=kx(kw0)与

(-CO.+00)(-00,4-00)

y=kx+b(kw0)

(一8,0)(0,+8)(一8,0)(0,+8)

X

Aac-b1、

a>0，+8)

4。

y=ax2+fer+C(Qw0)(-00,+00)

.4ac-b1.

a<0

(f44a1

典例精讲剖析

例1.已知/(x)=2x+3,

⑴求:/⑴，/3+1),f(2x),/[/(%)]；

（2）若/（3加）=8,求实数6的值.

解：(1)/(l)=2xl+3=5,/(a+l)=2(a+l)+3=2zz+5

/(2x)=2(2x)+3=4x+3,/[/(%)]=2/(%)+3=2(2%+3)+3=4x+9

(2)f(3m)—2(3m)+3-6m+3-S,：.m=—

6

例2.求下列函数的定义域(要求用区间表示)

⑴⑵f(x)=^^+2x(3)f(x)=

5—5xyj6-x|%+21-1

解：（1）使/（x）有意义，得5-5x/0,解得

所以/（X）的定义域为（F,l）（1,+8）;

(2)使/(无)有意义，得广%一3—>0，解得34x<6,

6—x>0

所以/(x)的定义域为［3,6)

(3)使/0)有意义，得|x+2|—1。0,解得X/-1且，/一3

所以/5)的定义域为(7,—3)(-3,-1)(―1,+8)；

归纳：求函数定义域的方法，其中已知函数y=/(x)

(1)若/(x)为整式，则定义域为尤

(2)若/(x)为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合；

(3)若/(x)是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于零的实数的集合；

(4)若/(幻是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有

意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；

(5)若/(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际

意义的实数的集合.

例3.求下列函数的值域：

____2

(1)/(X)=V2x+1+4(2)/(x)=----+3(3)f(x)-2x2—4x+l

x+1

解：(1)V2x+l>0.-j2x+l+4>4,即/(x)24,所以/(九)的值域是［4,+oo)

22

(2)——工0——+3*3,即/(x)k3

x+1x+1

所以/(x)的值域是(YO,3)(3,+00)

(3)f(x)-2x2-4x+1=2(x2-2x)+1-2(x-1)2-1,

2(X-1)2>02(X-1)2-1>-1,即/(x)N-l,

所以/(X)的值域是［-1,+8)

例4.已知/(x)为二次函数，且/(())=0,/(x+l)=/U)+x+l,求/(x)的表达式

解：设f(x)—ax2+bx+c(a。0),则

由/(())=(),得c=0

而/(x+1)=a(x+l)2+Z?(x+1)=ax2+(2Q+Z?)X+Q+〃

/(X)4-X+1=OX2+/ZX+X+1=OX2+S+1)X+1

1

a--

2a+b=b+l解得2

/./(x+l)=/(x)4-x+l

a+h=l

h=—

I2

从而/(x)的表达式为/(x)=gf+gx

精练部分

A类试题(普通班用)

1.下列函数中，定义域与值不相同的是()

A./(x)=2x+lB./(x)=-C./(x)=；D./(x)=12+I

Xyjx(X-1)

解：A中，/(x)定义域与值域均为R；B中，/(x)定义域与值域均为(9，0)(0,+8)；

C中，/(x)定义域与值域均为(0,+8)；D中/(x)定义域(一8,1)(1,+00),值域均为

(1,+8)，定义域与值不相同，选D

2.下列各组中的两个函数是同一函数的为()

①/(x)="+5),g(x)=%一5；②f(x)=Jx+1Jx-l,g(x)=J(x+l)(x-l)；

③/(x)=x，g(x)=7?;@/(X)=A/X4-X3-g⑺=x%x—l；

⑤/(x)=(j2x_5)2,g(x)=2x-5.

A.①②B.②③C.④D.③⑤

解：①中/(x)的定义域为｛x|xw-3｝,g(x)的定义域为R,定义域不同，不是同一函

数；②中，由+得/(x)的定义域为｛x|xNl｝,由(x+l)(x—l)N0,得g(x)的

x-l>0

定义域为｛x|xNl或X<—1｝，定义域不同，不是同一函数；③中/(x)=x,g(x)hx|,

对应关系不同，不是同一函数；④中，/(x)=&4_%3=x4X-1=g(x),是同一函数；

⑤/(X)的定义域为｛X|x2^｝，g(x)的定义域为R,定义域不同，不是同一函数。

选C

3.求下列函数的定义域

X—2

(1)V=—X2+1;(2)y(3)y=-------

2x2-41x+|x|

(4)y=x—1+V4—x+2；(5)y——/+q2—xH--------

,4+x\x\-3

解：(1)原函数定义域为R

(2)使原函数有意义，得/一470,解得xw±2,

所以原函数的定义域为(-oo,-2)(2,+oo)

(3)使原函数有意义，得X+|X|HO,即|x快—X,:/〉。，所以原函数的定义域为(0,+oo)

A-1-°,解得14xW4,所以原函数的定义域为[1,4]

(4)使原函数有意义，得4

4-x>0

4+x>0

—4KxK2

(5)使原函数有意义，得《2-x>0o<,解得-4V2且XH-3

1加3

|x|-3^0

所以原函数的定义域为[T,-3)(-3,2]

4.己知/(x)=2x+l,g(x)=3x+2

(1)求/(l)+g(—2)的值；(2)求加(切(3)若/(a)=5,求。的值

解：(1)./•⑴+g(—2)=(2xl+l)+[3x(—2)+2]=1

(2)/[g(x)]=2g(x)+l=2(3x+2)+l=6x+5

(3)/(a)=5,:.2a+l=5,即a=2

5.已知/(x)是一次函数，且满足3/(x+l)—2/(x—l)=2x+17,求〃x)

解：设/(%)=履+/?(/?工0),则

f(x+\)-k(x+l)+b-kx+k+b,/(x—1)-k(x—l)+b-kx—k+b

3f^x+l)—2f(<x—^=3(kx+k+h')—2(kx—k+h')=kx+5k+b

k=2k=2

3/(x+l)-2/(x-l)=2x+17,<解得“

5k+b=llb=l

从而，/(x)=2x+7

B类试题(尖子班用)

1.设集合A={x|0«xW6},5={x|0<y<2},下列对应关系/:AfB是从/到8

函数的是()

A.f:x-^y=gxB./:x—>y=gxC.于:x—y=&D./:x->y=x+l

x

解：A选项中，若()《x«6,则0K—W3,在集合A取x=6,在集合B中找不到元素与

2

Y

它对应，所以-8不是从/到8函数；B选项中，若0«x«6,则04§42,A中

Y

的任何一个元素x在B中都有有唯一的一个数1与它对应，所以/：Af8是从1到6函

数；C选项中，若04x46,则0<X<指，在集合A取x=6在集合B中找不到元素与

它对应，所以/：Af8不是从力到占函数；D选项中，若04x46,则14x+l47,在

集合A取x=0在集合8中找不到元素与它对应，所以/:AfB不是从4到8函数。从而

选B

2.下列函数中，定义域与值不相同的是()

A.f(x)=2x+lB./(x)=-C.f(x)=D./(x)=1,+1

x(xT)

解：A中，/(x)定义域与值域均为R；B中，/(x)定义域与值域均为(—8,0)(0,+oo)；

C中，/(x)定义域与值域均为(0,+8)；D中/(x)定义域(—8,1)(l,+oo),值域均为

(1,+8),定义域与值不相同，选D

3.下列各组中的两个函数是同一函数的为()

①/(x)=("3：；5I,g(x)=x-5；②/(x)=Jx+lJx-l,g(x)=J(x+l)(x-l)；

③/(x)=x，g(x)=y[x^；®/(x)=A/X4-x3>g(x)-xy/x-l；

⑤f(x)=(j2x—5)2,g(x)=2x-5.

A.①②B,②③C.@D.③⑤

解：①中/(X)的定义域为｛x|xw-3｝,g(x)的定义域为R,定义域不同，不是同一函

_fx+l>0

数；②中，由<,得/(X)的定义域为｛X|x21｝,由(x+l)(x—1)20,得g(x)的

x-l>0

定义域为｛x|x21或-1｝，定义域不同，不是同一函数；③中/(x)=x,g(尤)=|x|,

对应关系不同，不是同一函数；④中，/(X)=&4一%3=访7=g(x),是同一函数；

⑤/(X)的定义域为｛xlx^g｝,g(x)的定义域为R,定义域不同，不是同一函数。

选C

2x

4.函数y=——的值域__________________,

x+1

解：y=­=2(x+i)~2=2一一—^2,所以值域为(7,2)(2,+8)

x+1x+lX+1

填(-00,2)(2,+00)

5.函数丁=与誓的定义域是

x+lwOx^-1

解：由已知，得<=><=>龙<0且工工一1

|x|-x>0[x<0

所以，原函数的定义域为(一8,—1)(-1,0),填(F,—1)(—1,0)

6.已知f(2x+1)=x2—2x,则八3)=

解：令2x+l=3,得x=l,所以/(3)=『—2xl=—1,填一1

7.求下列函数的定义域

(4)y=y/x-1+>/4-x+2；(5)y=——+yj2-xd------

,4+x|x|-3

解：(1)原函数定义域为R

(2)使原函数有意义，得/一470,解得x#±2,

所以原函数的定义域为(-oo,-2)(2,+oo)

(3)使原函数有意义，得X+|X|HO,即|x快—x,.•.x>0,所以原函数的定义域为(0,+8)

(4)使原函数有意义，得卜'一1'°,解得1WXW4,所以原函数的定义域为[1,4]

4-x>0

4+x>0,