华东师大版初中八年级数学上册14-1-2直角三角形的判定课件

第14章勾股定理14.1勾股定理14.1.2直角三角形的判定知识点3直角三角形的判定——勾股定理的逆定理基础过关全练1.(2024重庆北碚期末)下列长度的三条线段能组成直角三角

形的是

(

)A.1,1,

B.2,3,4C.4,5,6

D.6,8,11A解析∵12+12=(

)2,∴长为1,1,

的三条线段能组成直角三角形,故A选项正确;∵22+32≠42,∴长为2,3,4的三条线段不

能组成直角三角形,故B选项错误;∵42+52≠62,∴长为4,5,6的

三条线段不能组成直角三角形,故C选项错误;∵62+82≠112,

∴长为6,8,11的三条线段不能组成直角三角形,故D选项错

误.故选A.2.(2024山东济南章丘期末)△ABC的三边长分别为a,b,c且(a

+b)(a-b)=c2,则该三角形是

(

)A.以a为斜边长的直角三角形B.以b为斜边长的直角三角形C.以c为斜边长的直角三角形D.锐角三角形A解析∵(a+b)(a-b)=c2,∴a2-b2=c2,∴c2+b2=a2,∴△ABC是以a

为斜边长的直角三角形.故选A.3.(2024北京延庆期末)由小正方形组成的网格如图所示,则

∠DAB+∠DBA=

°.(点D,A,B是网格线交点)45解析如图,延长AD到T,连结BT.则TD2=BT2=12+22=5,DB2=12+32=10,∴TD2+TB2=DB2,TD=BT,∴

∠DTB=90°,∠TDB=∠TBD,∴∠TDB=∠DAB+∠DBA=45°.4.(等积法求面积)(2023河南南阳内乡期末)一个三角形的三

边长分别为5,12,13,则这个三角形最长边上的高为

.解析∵三角形的三边长分别为5,12,13,且52+122=132,∴此

三角形为直角三角形,且13为直角三角形的斜边长,设斜边上

的高为h,则

h·13=

×5×12,解得h=

.5.(分类讨论思想)已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三

条线段的长为

cm时,这三条线段能组成一个直角三

角形.解析当12cm为直角边长时,根据勾股定理得第三条线段

的长为

=13cm;当12cm为斜边长时,第三条线段的长为

=

cm.故答案为13或

.6.(方程思想)(2024湖南长沙期末)如图,在△ABC中,已知AB=

AC,D是AB边上的一点,CD=3,BC=

,BD=1.(1)求证:△BCD是直角三角形;(2)求△ABC的面积.

解析

(1)证明:∵CD=3,BC=

,BD=1,∴CD2+BD2=32+12=10=BC2,∴△BCD是直角三角形.(2)由(1)易知,△BCD是直角三角形,且∠BDC=90°,∴∠ADC=

90°,设AC=x,则AB=AC=x,∴AD=x-1,∵CD2+AD2=AC2,∴32+(x-1)2=x2,解得x=5,∴AB=AC=5,∴△ABC的面积是

=

=

.7.(新独家原创)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边长分别为a、

b、c,且满足a2+|c-10|+

=12a-36,试判断△ABC的形状.解析∵a2+|c-10|+

=12a-36,∴a2-12a+36+|c-10|+

=0,∴(a-6)2+|c-10|+

=0,∴a-6=0,c-10=0,b-8=0,∴a=6,c=10,b=8.∴a2+b2=62+82=100,c2=102=100,∴c2=a2+b2,∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°.知识点4勾股数8.(情境题·数学文化)(2024广东深圳福田红岭中学期末)勾股

定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下

列各组数中,是勾股数的是

(

)A.0.3,0.4,0.5

B.4,5,6C.7,8,9

D.6,8,10D解析

0.3,0.4,0.5不是正整数,故不是勾股数;42+52≠62,故4,5,

6不是勾股数;72+82≠92,故7,8,9不是勾股数;82+62=102,且6,8,10是正整数,故是勾股数.故选D.9.(新考向·规律探究试题)(2024湖南衡阳期末)勾股定理a2+b2

=c2本身就是一个关于a,b,c的方程,满足这个方程的正整数解

(a,b,c)通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造

勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:(3,4,

5),(5,12,13),(7,24,25),……分析上面的勾股数组可以发现,4=

1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),……则第5个勾股数组为

.

(11,60,61)解析由勾股数组(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),……中4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),……可得第4个勾股数组

中间的数为4×(9+1)=40,即第4个勾股数组为(9,40,41);第5个勾股数组中间的数为5×(11+1)=60,即第5个勾股数组为

(11,60,61).能力提升全练10.(2024四川巴中期末,9,★★☆)若△ABC的三边长分别是a,

b,c,则下列条件:①∠A+∠B=∠C;②a∶b∶c=5∶12∶13;③

∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;④b2=(a+c)(a-c).不能判定△ABC

是直角三角形的有

(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个A解析①∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=90°,

故△ABC是直角三角形;②∵a∶b∶c=5∶12∶13,∴可设a=5

k,b=12k,c=13k,∵(5k)2+(12k)2=(13k)2,∴a2+b2=c2,故△ABC是

直角三角形;③∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∴最大角∠C=

×180°=75°,故△ABC不是直角三角形;④∵b2=(a-c)(a+c)=a2-c2,∴b2+c2=a2,故△ABC是直角三角形.综上,不能判定

△ABC是直角三角形的有1个.故选A.11.(新考法)(2023山东济宁中考,9,★★☆)如图,在正方形方

格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E

均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=

α,则∠ABE等于

(

)

A.180°-α

B.180°-2αC.90°+α

D.90°+2αC解析本题将直角三角形的判定与平行线的性质联系在一

起考查,比较新颖.如图,过B点作BG∥CD,连结EG,∵BG∥

CD,∴∠ABG=∠CFB=α.∵BG2=12+42=17,BE2=12+42=17,EG2

=32+52=34,∴BG2+BE2=EG2,∴△BEG是直角三角形,∴∠GBE=90°,∴∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α.故选C.12.(新考向·新定义试题)(2024四川成都圣菲学校月考,23,★★☆)满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.若正整数a,n满足a2+n2=(n+1)2,则称三个正整数a,n,n+1(如:3,4,5或5,12,13)为一组“完美勾股数”,当n<115时,共有

组这样的“完美勾股数”.解析∵a2+n2=(n+1)2,∴a2=(n+1)2-n2=2n+1,∴a2为奇数,且为

完全平方数,∵n<115,∴2n+1<231,∴a2<231,∴a2为231以内的奇数,且为完全平方数,有9,25,49,81,121,16

9,225,一共7个,∴共有7组这样的“完美勾股数”.7素养探究全练13.(推理能力)阅读下列解题过程:已知a、b、c为△ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断

△ABC的形状.解:因为a2c2-b2c2=a4-b4,①所以c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2).②所以c2=a2+b2.③所以△ABC是直角三角形.回答下列问题:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的序号:

.(2)错误的原因为

.(3)请你将正确的解答过程写下来.③忽略了a2-b2=0的可能.解析

(1)③.(2)忽略了a2-b2=0的可能.(3)∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴c2