华东师大版初中八年级数学上册专项素养综合练(六)分类讨论思想在等腰三角形中的应用课件

专项素养综合全练(六)分类讨论思想在等腰三角形中的应用题型一当顶角或底角不确定时分类讨论1.已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为1∶4,则这个

等腰三角形顶角的度数为

(

)A.20°

B.120°C.20°或120°

D.36°C解析设两内角的度数为x、4x.当等腰三角形的顶角为x时,

x+4x+4x=180°,解得x=20°;当等腰三角形的顶角为4x时,4x+x+

x=180°,解得x=30°,∴4x=120°.因此等腰三角形顶角的度数为20°或120°.故选C.2.(2023河南南阳宛城期末)已知△ABC是等腰三角形,若∠A

=50°,则△ABC的顶角度数是

.

50°或80°解析当∠A是顶角时,△ABC的顶角度数是50°;当∠A是底

角时,△ABC的顶角度数为180°-2×50°=80°.综上,△ABC的顶

角度数是50°或80°.题型二当底和腰不确定时分类讨论3.(2023福建福州鼓楼屏东中学期中)若等腰三角形的两边的

长分别为20cm和9cm,则这个三角形的周长是

cm.49解析①当20cm为底边长时,三角形的三边长为9cm,9cm,

20cm,因为9+9<20,故不能构成三角形;②当20cm为腰长时,三角形的三边长为9cm,20cm,20cm,因

为20-9<20<20+9,故能构成三角形.综上,三角形的周长为20+

20+9=49cm.题型三当高的位置不确定时分类讨论4.(2024河南许昌魏都期中)过等腰三角形的一个底角顶点向

对边作垂线段,若垂线段与一腰的夹角是32°,则这个等腰三

角形的顶角度数是

.58°或122°解析当等腰三角形为锐角三角形时,如图1,由已知可知,∠

ABD=32°,又∵BD⊥AC,∴∠ADB=90°,∴∠A=58°;当等腰三角形为钝角三角形时,如图2,由已知可知,∠ABD=3

2°,又∵BD⊥CD,∴∠BDA=90°,∴∠DAB=58°,∴∠CAB=122

°.故答案为58°或122°.图1图2题型四当腰上的垂直平分线不确定时分类讨论5.已知△ABC中,AB=AC,AB边的垂直平分线与AC所在的直

线相交成58°的角,求底角的度数.解析如图,∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交成58°

的角,∴∠DAE=90°-58°=32°,如图1,AB的垂直平分线与AC相交时,

∠BAC=∠DAE=32°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=

×(180°-32°)=74°;如图2,AB的垂直平分线与CA的延长线相交时,∠BAC=180°-

∠DAE=180°-32°=148°,∵AB=AC,∴∠B=∠C=

×(180°-148°)=16°.综上所述,等腰三角形底角的度数为74°或16°.图1图2题型五当腰上的中线不确定时分类讨论6.在△ABC中,AB=AC,边AC上的中线BD把三角形的周长分

成12cm和15cm两部分,求三角形各边的长.解析如图,由题意得|(AB+AD)-(BC+CD)|=|AB-BC|=15-12=3

cm,AB+BC+AC=2AB+BC=12+15=27cm,若AB>BC,则AB-BC=3cm,又∵2AB+BC=27cm,∴联立并求解得AB=10cm,BC=7cm,10cm、10cm、7cm能

够组成三角形;若AB<BC,则BC-AB=3cm,又∵2AB+BC=27

cm,∴联立并求解得AB=8cm,BC=11cm,8cm、8cm、11cm能

够组成三角形,∴三角形各边的长为10cm、10cm、7cm或

8cm、8cm、11cm.题型六当等腰三角形存在问题中点的位置不确定时分类

讨论7.(2024云南昆明五华期末)如图,l是一段平直的铁轨,某天小

明站在距离铁轨100米的A处,他发现一列火车从左向右驶

来,已知火车长200米,设火车的车头为B点,车尾为C点.小明

站着不动,从他发现火车到火车远离他而去的过程中,以A、

B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有

个.

5解析如图,

当车长为底边长时,AB2=AC2,得到的等腰三角形是△AB2C2;当车长为腰长时,BC=BA,C1A=C1B1,B3C3=B3A,B4C4=C4A,得到

的等腰三角形是△ABC,△AB1C1,△AB3C3,△AB4C4.综上,以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻

共有5个.8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点D在边BC上运动(D不

与B、C重合),连结AD,作∠ADE=30°,DE交边AB于点E.在点

D运动的过程中,当△ADE是等腰三角形时,求∠CAD的度数.

解析∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=

180°-30°-30°=120°.①如图,当DA=DE时,∵∠ADE=30°,∴∠DAE=∠DEA=

(180°-∠ADE)=

×(180°-30°)=75°,∴∠CAD=∠BAC-∠DAE=120°-75