同济第六版《高等数学》导数和微分教学案

...wd......wd......wd...导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。会求分段函数的导数。会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。§2.1导数概念一、引例1．直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻t质点的坐标为ss是t的函数sf(t)求动点在时刻t0的速度考虑比值这个比值可认为是动点在时间间隔tt0内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度但这样做是不准确的更确地应当这样令tt00取比值的极限如果这个极限存在设为v即这时就把这个极限值v称为动点在时刻t0的速度2．切线问题设有曲线C及C上的一点M在点M外另取C上一点N作割线MN当点N沿曲线C趋于点M时如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线设曲线C就是函数yf(x)的图形现在要确定曲线在点M(x0,y0)(y0f(x0))处的切线只要定出切线的斜率就行了为此在点M外另取C上一点N(x,y)于是割线MN的斜率为其中为割线MN的倾角当点N沿曲线C趋于点M时xx0如果当x0时上式的极限存在设为k即存在则此极限k是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里ktan其中是切线MT的倾角于是通过点M(x0,f(x0))且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限令xxx0则yf(x0x)f(x0)f(x)f(x0)xx0相当于x0于是成为或定义设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义当自变量x在x0处取得增量x(点x0x仍在该邻域内)时相应地函数y取得增量yf(x0x)f(x0)如果y与x之比当x0时的极限存在则称函数yf(x)在点x0处可导并称这个极限为函数yf(x)在点x0处的导数记为即也可记为或函数f(x)在点x0处可导有时也说成f(x)在点x0具有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式常见的有在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢〞问题在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的准确描述如果极限不存在就说函数yf(x)在点x0处不可导如果不可导的原因是由于也往往说函数yf(x)在点x0处的导数为无穷大如果函数yf(x)在开区间I内的每点处都可导就称函数f(x)在开区间I内可导这时对于任一xI都对应着f(x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数yf(x)的导函数记作或导函数的定义式f(x0)与f(x)之间的关系函数f(x)在点x0处的导数f(x)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值即导函数f(x)简称导数而f(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f(x)在x0处的值左右导数所列极限存在则定义f(x)在的左导数f(x)在的右导数如果极限存在则称此极限值为函数在x0的左导数如果极限存在则称此极限值为函数在x0的右导数导数与左右导数的关系2．求导数举例例1．求函数f(x)C〔C为常数〕的导数解即(C)0例2求的导数解例3求的导数解例2．求函数f(x)xn(n为正整数)在xa处的导数解f(a)(xn1axn2an1)nan1把以上结果中的a换成x得f(x)nxn1即(xn)nxn1(C)0更一般地有(x)x1其中为常数例3．求函数f(x)sinx的导数解f(x)即(sinx)cosx用类似的方法可求得(cosx)sinx例4．求函数f(x)ax(a>0a1)的导数解f(x)特别地有(ex)ex例5．求函数f(x)logax(a>0a1)的导数解解即特殊地3．单侧导数极限存在的充分必要条件是及都存在且相等f(x)在处的左导数f(x)在处的右导数导数与左右导数的关系函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f(x0)和右导数f(x0)都存在且相等如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导且右导数f(a)和左导数f(b)都存在就说f(x)有闭区间[a,b]上可导例6．求函数f(x)x|在x0处的导数解因为f(0)f(0)所以函数f(x)|x|在x0处不可导四、导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)在几何上表示曲线yf(x)在点M(x0,f(x0))处的切线的斜率即f(x0)tan其中是切线的倾角如果yf(x)在点x0处的导数为无穷大这时曲线yf(x)的割线以垂直于x轴的直线xx0为极限位置即曲线yf(x)在点M(x0,f(x0))处具有垂直于x轴的切线xx0由直线的点斜式方程可知曲线yf(x)在点M(x0,y0)处的切线方程为yy0f(x0)(xx0)过切点M(x0,y0)且与切线垂直的直线叫做曲线yf(x)在点M处的法线如果f(x0)0法线的斜率为从而法线方程为例8求等边双曲线在点处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程解所求切线及法线的斜率分别为所求切线方程为即4xy40所求法线方程为即2x8y150例9求曲线的通过点(04)的切线方程解设切点的横坐标为x0则切线的斜率为于是所求切线的方程可设为根据题目要求点(04)在切线上因此解之得x04于是所求切线的方程为即3xy40四、函数的可导性与连续性的关系设函数yf(x)在点x0处可导即存在则这就是说函数yf(x)在点x0处是连续的所以如果函数yf(x)在点x处可导则函数在该点必连续另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导x例7．函数在区间(,)内连续但在点x0处不可导这是因为函数在点x0处导数为无穷大x§22函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1如果函数uu(x)及vv(x)在点x具有导数那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数并且[u(x)v(x)]u(x)v(x)[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)证明(1)u(x)v(x)法则(1)可简单地表示为(uv)uv(2)u(x)v(x)u(x)v(x)其中v(xh)v(x)是由于v(x)存在故v(x)在点x连续法则(2)可简单地表示为(uv)uvuv(3)法则(3)可简单地表示为(uv)uv(uv)uvuv定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形例如设uu(x)、vv(x)、ww(x)均可导则有(uvw)uvw(uvw)[(uv)w](uv)w(uv)w(uvuv)wuvwuvwuvwuvw即(uvw)uvwuvwuvw在法则(2)中如果vC(C为常数)则有(Cu)Cu例1．y2x35x23x7求y解y(2x35x23x7)(2x3)5x2)3x)7)2(x3)5x2)3x)23x252x36x210x3例2求f(x)及解例3．yex(sinxcosx)求y解yex)(sinxcosx)ex(sinxcosx)ex(sinxcosx)ex(cosxsinx)2excosx例4．ytanx求y解即(tanx)sec2x例5．ysecx求y解secxtanx即(secx)secxtanx用类似方法还可求得余切函数及余割函数的导数公式(cotx)csc2x(cscx)cscxcotx二、反函数的求导法则定理2如果函数xf(y)在某区间Iy内单调、可导且f(y)0那么它的反函数yf1(x)在对应区间Ix{x|xf(y)yIy}内也可导并且或简要证明由于xf(y)在Iy内单调、可导(从而连续)所以xf(y)的反函数yf1(x)存在且f1(x)在Ix内也单调、连续任取xIx给x以增量x(x0xxIx)由yf1(x)的单调性可知yf1(xx)f1(x)0于是因为yf1(x)连续故从而上述结论可简单地说成反函数的导数等于直接函数导数的倒数例6．设xsiny为直接函数则yarcsinx是它的反函数函数xsiny在开区间内单调、可导且(siny)cosy0因此由反函数的求导法则在对应区间Ix(11)内有类似地有例7．设xtany为直接函数则yarctanx是它的反函数函数xtany在区间内单调、可导且(tany)sec2y0因此由反函数的求导法则在对应区间Ix()内有类似地有例8设xay(a0a1)为直接函数则ylogax是它的反函数函数xay在区间Iy()内单调、可导且(ay)aylna0因此由反函数的求导法则在对应区间Ix(0)内有到目前为止所基本初等函数的导数我们都求出来了那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢如函数lntanx、、的导数若何求三、复合函数的求导法则定理3如果ug(x)在点x可导函数yf(u)在点ug(x)可导则复合函数yf[g(x)]在点x可导且其导数为或证明当ug(x)在x的某邻域内为常数时y=f[(x)]也是常数此时导数为零结论自然成立当ug(x)在x的某邻域内不等于常数时u0此时有=f(u)g(x)简要证明例9求解函数可看作是由yeuux3复合而成的因此例10求解函数是由ysinu复合而成的因此对复合函数的导数对比熟练后就不必再写出中间变量例11．lnsinx求解例12．求解复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如设yf(u)u(v)v(x)则例13．ylncos(ex)求解例14．求解例15设x0证明幂函数的导数公式(x)x1解因为x(elnx)elnx所以(x)(elnx)elnx(lnx)elnxx1x1四、基本求导法则与导数公式1．基本初等函数的导数(1)(C)0(2)(x)x1(3)(sinx)cosx(4)(cosx)sinx(5)(tanx)sec2x(6)(cotx)csc2x(7)(secx)secxtanx(8)(cscx)cscxcotx(9)(ax)axlna(10)(ex)ex(11)(12)(13)(14)(15)(16)2．函数的和、差、积、商的求导法则设uu(x)vv(x)都可导则(1)(uv)uv(2)(Cu)Cu(3)(uv)uvuv(4)3．反函数的求导法则设xf(y)在区间Iy内单调、可导且f(y)0则它的反函数yf1(x)在Ixf(Iy)内也可导并且或4．复合函数的求导法则设yf(x)而ug(x)且f(u)及g(x)都可导则复合函数yf[g(x)]的导数为或y(x)f(u)g(x)例16求双曲正弦shx的导数.解因为所以即(shx)chx类似地有(chx)shx例17求双曲正切thx的导数解因为所以例18求反双曲正弦arshx的导数解因为所以由可得由可得类似地可得例19．ysinnxsinnx(n为常数)求y解y(sinnx)sinnx+sinnx(sinnx)ncosnxsinnx+sinnxnsinn1x(sinx)ncosnxsinnx+nsinn1xcosxnsinn1xsin(n+1)x§2.3高阶导数一般地函数yf(x)的导数yf(x)仍然是x的函数我们把yf(x)的导数叫做函数yf(x)的二阶导数记作y、f(x)或即y(y)f(x)[f(x)]相应地把yf(x)的导数f(x)叫做函数yf(x)的一阶导数类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数一般地(n1)阶导数的导数叫做n阶导数分别记作yy(4)y(n)或函数f(x)具有n阶导数也常说成函数f(x)为n阶可导如果函数f(x)在点x处具有n阶导数那么函数f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数y称为一阶导数yyy(4)y(n)都称为高阶导数例1．yaxb求y解yay0例2．ssint求s解scosts2sint例3．证明函数满足关系式y3y10证明因为所以y3y10例4．求函数yex的n阶导数解yexyexyexy(4)ex一般地可得y(n)ex即(ex)(n)ex例5．求正弦函数与余弦函数的n阶导数解ysinx一般地可得即用类似方法可得例6．求对函数ln(1x)的n阶导数解yln(1x)y(1x)1y(1x)2y(1)(2)(1x)3y(4)(1)(2)(3)(1x)4一般地可得y(n)(1)(2)(n1)(1x)n即例6．求幂函数yx(是任意常数)的n阶导数公式解yx1y(1)x2y(1)(2)x3y(4)(1)(2)(3)x4一般地可得y(n)(1)(2)(n1)xn即(x)(n)(1)(2)(n1)xn当n时得到(xn)(n)(1)(2)321n!而(xn)(n1)0如果函数uu(x)及vv(x)都在点x处具有n阶导数那么显然函数u(x)v(x)也在点x处具有n阶导数且(uv)(n)u(n)v(n)(uv)uvuv(uv)uv2uvuv(uv)uv3uv3uvuv用数学归纳法可以证明这一公式称为莱布尼茨公式例8．yx2e2x求y(20)解设ue2xvx2则(u)(k)2ke2x(k1,2,,20)v2xv2(v)(k)0(k3,4,,20)代入莱布尼茨公式得y(20)(uv)(20)u(20)vC201u(19)vC202u(18)v220e2xx220219e2x2x218e2x2220e2x(x220x95)§2.4隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一、隐函数的导数显函数形如yf(x)的函数称为显函数例如ysinxylnx+ex隐函数由方程F(xy)0所确定的函数称为隐函数例如方程xy310确定的隐函数为y如果在方程F(xy)0中当x取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的唯一的y值存在那么就说方程F(xy)0在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的甚至是不可能的但在实际问题中有时需要计算隐函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来例1．求由方程eyxye0

所确定的隐函数y的导数解把方程两边的每一项对x求导数得(ey)(xy)(e)(0)即eyyyxy0从而(xey0)例2．求由方程y52yx3x70

所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y|x0解把方程两边分别对x求导数得5yy2y121x60由此得因为当x0时从原方程得y0所以例3求椭圆在处的切线方程解把椭圆方程的两边分别对x求导得从而当x2时代入上式得所求切线的斜率所求的切线方程为即解把椭圆方程的两边分别对x求导得将x2代入上式得于是ky|x2所求的切线方程为即例4．求由方程所确定的隐函数y的二阶导数解方程两边对x求导得于是上式两边再对x求导得对数求导法这种方法是先在yf(x)的两边取对数然后再求出y的导数设yf(x)两边取对数得lnylnf(x)两边对x求导得yf(x)[lnf(x)]对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数例5．求yxsinx(x>0)的导数解法一两边取对数得lnysinxlnx上式两边对x求导得于是解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求yxsinxesinx·lnx例6求函数的导数解先在两边取对数(假定x>4)得lny[ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)]上式两边对x求导得于是当x<1时当2<x<3时用同样方法可得与上面一样的结果注严格来说此题应分x4x12x3三种情况讨论但结果都是一样的二、由参数方程所确定的函数的导数设y与x的函数关系是由参数方程确定的则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数在实际问题中需要计算由参数方程所确定的函数的导数但从参数方程中消去参数t有时会有困难因此我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数设x(t)具有单调连续反函数t(x)且此反函数能与函数y(t)构成复合函数y[(x)]假设x(t)和y(t)都可导则即或假设x(t)和y(t)都可导则例7求椭圆在相应于点处的切线方程解所求切线的斜率为切点的坐标为切线方程为即bxayab0例8．抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向yv2tgt2解先求速度的大小速度的水平分量与铅直分量分别为x(t)v1y(t)v2gt所以抛射体在时刻t的运动速度的大小为再求速度的方向设是切线的倾角则轨道的切线方向为x(t),y(t)若何求二阶导数y?由x(t)例9．计算由摆线的参数方程所确定的函数yf(x)的二阶导数解(t2nn为整数)(t2nn为整数)三、相关变化率设xx(t)及yy(t)都是可导函数而变量x与y间存在某种关系从而变化率与间也存在一定关系这两个相互依赖的变化率称为相关变化率相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系以便从其中一个变化率求出另一个变化率例10一气球从离开观察员500f处离地面铅直上升其速度为140m/min(分)当气球高度为500m时观察员视线的仰角增加率是多少解设气球上升t(秒)后其高度为h观察员视线的仰角为则其中及h都是时间t的函数上式两边对t求导得(米/秒)又当h500(米)时tan1sec22代入上式得所以(弧度/秒)即观察员视线的仰角增加率是每秒014弧度§2.5函数的微分一、微分的定义引例函数增量的计算及增量的构成一块正方形金属薄片受温度变化的影响其边长由x0变到x0x问此薄片的面积改变了多少设此正方形的边长为x面积为A则A是x的函数Ax2金属薄片的面积改变量为A(x0x)2(x0)22x0x(x)2几何意义2x0x表示两个长为x0宽为x的长方形面积(x)2表示边长为x的正方形的面积数学意义当x0时(x)2是比x高阶的无穷小即(x)2o(x)2x0x是x的线性函数是A的主要局部可以近似地代替A定义设函数yf(x)在某区间内有定义x0及x0x在这区间内如果函数的增量yf(x0x)f(x0)可表示为yAxo(x)其中A是不依赖于x的常数那么称函数yf(x)在点x0是可微的而Ax叫做函数yf(x)在点x0相应于自变量增量x的微分记作dy即dyAx函数可微的条件函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点x0可导且当函数f(x)在点x0可微时其微分一定是dyf(x0)x证明设函数f(x)在点x0可微则按定义有yAxo(x)上式两边除以x得于是当x0时由上式就得到因此如果函数f(x)在点x0可微则f(x)在点x0也一定可导且Af(x0)反之如果f(x)在点x0可导即存在根据极限与无穷小的关系上式可写成其中0(当x0)且Af(x0)是常数xo(x)由此又有yf(x0)xx因且f(x0)不依赖于x故上式相当于yAxo(x)所以f(x)在点x0也是可导的简要证明一方面别一方面以微分dy近似代替函数增量y的合理性当f(x0)0时有ydyo(dy)结论在f(x0)0的条件下以微分dyf(x0)x近似代替增量yf(x0x)f(x0)时其误差为o(dy)因此在|x|很小时有近似等式ydy函数yf(x)在任意点x的微分称为函数的微分记作dy或df(x)即dyf(x)x例如dcosx(cosx)xsinxxdex(ex)xexx例1求函数yx2在x1和x3处的微分解函数yx2在x1处的微分为dy(x2)|x1x2x函数yx2在x3处的微分为dy(x2)|x3x6x例2．求函数yx3当x2x0.02时的微分解先求函数在任意点x的微分dy(x3)x3x2x再求函数当x2x0.02时的微分dy|x2x0.023x2|x2,x0.023220.020.24自变量的微分因为当yx时dydx(x)xx所以通常把自变量x的增量x称为自变量的微分记作dx即dxx于是函数yf(x)的微分又可记作dyf(x)dx从而有这就是说函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数的导数因此导数也叫做“微商〞二、微分的几何意义当y是曲线yf(x)上的点的纵坐标的增量时dy就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量当|x|很小时|ydy|比|x|小得多因此在点M的邻近我们可以用切线段来近似代替曲线段三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式dyf(x)dx可以看出要计算函数的微分只要计算函数的导数再乘以自变量的微分因此可得如果下的微分公式和微分运算法则1基本初等函数的微分公式导数公式微分公式(x)x1d(x)x1dx(sinx)cosxd(sinx)cosxdx(cosx)sinxd(cosx)sinxdx(tanx)sec2xd(tanx)sec2xdx(cotx)csc2xd(cotx)csc2xdx(secx)secxtanxd(secx)secxtanxdx(cscx)cscxcotxd(cscx)cscxcotxdx(ax)axlnad(ax)axlnadx(ex)exd(ex)exdx2函数和、差、积、商的微分法则求导法则微分法则(uv)uvd(uv)dudv(Cu)Cud(Cu)Cdu(uv)uvuvd(uv)vduudv证明乘积的微分法则根据函数微分的表达式有d(uv)(uv)dx再根据乘积的求导法则有(uv)uvuv于是d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx由于udxduvdxdv所以d(uv)vduudv3复合函数的微分法则设yf(u)及u(x)都可导则复合函数yf[(x)]的微分为dyyxdxf(u)(x)dx于由(x)dxdu所以复合函数yf[(x)]的微分公式也可以写成dyf(u)du或dyyudu由此可见无论u是自变量还是另一个变量的可微函数微分形式dyf(u)du保持不变这一性质称为微分形式不变性这性质表示当变换自变量时微分形式dyf(u)du并不改变例3．ysin(2x1)求dy解把2x1看成中间变量u则dyd(sinu)cosuducos(2x1)d(2x1)cos(2x1)2dx2cos(2x1)dx在求复合函数的导数时可以不写出中间变量例4求dy解例5．ye13xcosx求dy解应用积的微分法则得dyd(e13xcosx)cosxd(e13x)e13xd(cosx)(cosx)e13x(3dx)e13x(sinxdx)e13x(3cosxsinx)dx例6．在括号中填入适当的函数使等式成立(1)d()xdx(2)d()costdt解(1)因为d(x2)2xdx所以即一般地有(C为任意常数)(2)因为d(sint)costdt所以因此(C为任意常数)四、微分在近似计算中的应用1．函数的近似计算在工程问题中经常会遇到一些复杂的计算公式如果直接用这些公式进展计算那是很费力的利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近