青岛版初中八年级数学上册专项素养巩固训练卷(七)新定义试题课件

新定义试题专项素养巩固训练卷(七)类型一定义新运算1.(2024山东东营期中,18,★☆☆)对于任意两个非零实数a、b,定义新运算

“*”:a*b=

-

,例如:3*4=

-

=-

.若x*y=2,则

的值为

.1011.5答案

1011.5解析因为x*y=2,所以

-

=2,所以

=2,所以x-y=2xy,所以

=

=1011.5.2.(新考向规律探究试题)(★☆☆)已知a1=x+1(x≠0且x≠-1),a2=

,a3=

,……,an=

,则a2023等于

.x+1答案

x+1解析∵a1=x+1,∴a2=

=-

,∴a3=

=

,∴a4=

=x+1,……,观察规律可知,结果以x+1,-

,

为一组循环出现,因为2023÷3=674……1,所以a2023=x+1.3.(★☆☆)在正数范围内定义一种运算“※”,其运算规则为a※b=

+

,如2※4=

+

=

,根据这个运算规则,求方程3※(x+1)=1的解.解析由题意得3※(x+1)=

+

.∵3※(x+1)=1,∴

+

=1,∴x+1+3=3(x+1),解得x=

.当x=

时,3(x+1)≠0,∴原方程的解为x=

.类型二定义新概念4.(★★☆)定义:若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形

式,则称这个分式为“和谐分式”.如:

=

=

+

=1+

,

=

=

+

=2-

,则

和

都是“和谐分式”.(1)下列分式中,属于“和谐分式”的是

(填序号).①

;②

;③

.(2)将“和谐分式”

化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式:

=

+

.(3)应用:先把

-

÷

化为“和谐分式”,再求x取什么整数时,该式的值为整数.解析

(1)

=1+

,故①是“和谐分式”.

=

=1+

,故②是“和谐分式”.

=1+

,故③是“和谐分式”.故答案为①②③.(2)

=

=

=a-1+

.故答案为a-1;

.(3)原式=

-

·

=

-

=

=

=2+

,所以当x+1=±1或x+1=±2时,原式的值为整数,此时x=0或x=-2或x=1或x=-3,又因为分式有意义时,x≠0,1,-1,-2,所以当x=-3时,原式的值为整数.5.[分类讨论思想](★★☆)如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形,

那么称这条线段为这个三角形的特异线,称这个三角形为特异三角形.(1)如图①,△ABC中,∠B=2∠C,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,求

证:线段AE是△ABC的一条特异线.(2)如图②,已知△ABC是特异三角形,且∠BAC=30°,∠ABC为钝角,求出∠ABC所

有可能的度数.

解析

(1)证明:∵DE垂直平分AC,∴EA=EC,∴△EAC是等腰三角形,∴∠EAC=∠C,∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,∵∠B=2∠C,∴∠AEB=∠B,∴AB=AE,∴△EAB是等腰三角形,∴线段AE是△ABC的一条特异线.(2)当线段BD是特异线时,①如图1,AB=BD=DC,则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°.

②如图2,AD=AB,DB=DC,则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°.

③如图3,AD=DB,DC=DB,则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°(不合题意,舍

去).

当线段AD是特异线时,④如图4,AB=BD,AD=DC,则∠ABC=180°-20°-20°=140°.

当线段CD为特异线时,不合题意.∴符合条件的∠ABC所有可能的度数为135°,112.5°,140°.6.(★★★)阅读材料:新定义:任意两数a,b(b≠0),规定c=

-a+b,称所得新数c为数a,b的“快乐数”.(1)若a=1,b=2,求a,b的“快乐数”c.(2)若a=m2-2m-3,b=m2+m,且m2-3m-1=0,求a,b的“快乐数”c.(3)若a=2n+1,b=n-1,且a,b的“快乐数”c为正整数,求整数n的值.解析

(1)因为a=1,b=2,所以c=

-a+b=

-1+2=

.(2)因为m2-3m-1=0,所以m≠0,两边同时除以m,得m-3-

=0,所以m-

=3,因为a=m2-2m-3,b=m2+m,所以c=

-a+b=

-m2+2m+3+m2+m=

+3m+3=

+3m+3=1-

+3m+3=3

+4=3×3+4=13.(3)因为a=2n+1,b=n-1,所以c=

-a+b=

-(2n+1)+n-1=

-n-2=-n+

,因为c为正整数,n为整数,所以n-1=1或n-1=-3,解得n的值为-2或2.类型三定义新方法7.(2024山东聊城冠县期末,24,★★☆)阅读材料:要将多项式am+an+bm+bn分解

因式,可以先把它的前两项分成一组,再把它的后两项分成一组,从而得到:am+an

+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n),这时a(m+n)+b(m+n)中又有公因式(m

+n),于是可以提出(m+n),从而得到(m+n)(a+b),因此有am+an+bm+bn=(am+an)+

(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b),这种方法称为分组法.请回答下列问题:(1)尝试填空:2x-18+xy-9y=

.(2)解决问题:因式分解ac-bc+a2-b2.(3)拓展应用:已知三角形的三边长分别是a,b,c,且满足a2-2ab+2b2-2bc+c2=0,试判

断这个三角形的形状,并说明理由.解析

(1)(y+2)(x-9).提示:2x-18+xy-9y=(2x-18)+(xy-9y)=2(x-9)+y(x-9)=(y+2)(x-9).(2)ac-bc+a2-b2=(ac-bc)+(a2-b2)=c(a-b)+(a+b)(a-b)=(a-b)(a+b+c).(3)这个三角形是等边三角形.理由如下:因为a2-2ab+2b2-2bc+c2=0,所以