高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)14函数奇偶性的判断、证明与应用(原卷版+解析)

常考题型14函数奇偶性的判断、证明与应用奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称考法一：函数奇偶性的判定与证明1.定义法判断函数的奇偶性时，必须先判断函数定义域是否关于原点对称.若对称，再验证=±或其等价形式±=0是否成立.具体做法如下第一步，确定函数的定义域.第二步，判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数，若对称，进行第三步.第三步，判断与的关系，并确定结论.若=，则该函数是偶函数；若=-，则该函数是奇函数；若≠且≠-，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数；若=且=-，则该函数既是奇函数也是偶函数.2.性质法(1)如果一个函数可以写成两个常见函数的和、差、积、商形式，那么可以根据这两个函数的奇偶性直接判断出这个函数的奇偶性.(2)复合函数的奇偶性原理:有偶则偶，同奇为奇.3.分类讨论法判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点通过分类讨论进行判断.4.配凑法判断或证明抽象函数的奇偶性，需要利用已知条件找准方向，巧妙赋值，配凑出f(-x)与f(x)的关系，再利用奇函数、偶函数的定义加以判断.考法二：函数的奇偶性的应用1.求函数值利用函数的奇偶性求函数值时，要注意:若函数是奇函数，则=-；若函数是偶函数，则==.2.求函数解析式利用函数的奇偶性求函数解析式的步骤(1)将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围.(2)将转化后的自变量代入已知解析式.(3)利用函数的奇偶性求出解析式.3.求参数在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足=-或偶函数满足=列等式，根据等式两侧对应项相等确定参数的值.4.求不等式的解集已知函数的奇偶性以及它的部分图象求解有关不等式的解集时，可以根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，画出函数的图象，结合图象求解相关不等式的解集.5.比较函数值的大小根据函数奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为与的相等或相反关系，体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.探究一：利用函数奇偶性求函数解析式已知是奇函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：利用函数为奇函数求在上的解析式即可。【变式练习】1．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B．C． D．2．定义在上的奇函数，当时，，则在时的(

)A． B． C． D．探究二：利用函数奇偶性求参数若函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．1思路分析：思路分析：根据奇函数的定义可得，整理化简可求得a的值，即得答案。【变式练习】1．已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．2．已知定义在R上的偶函数．若正实数a，b满足，则的最小值为（

）A．9 B．5 C．25 D．探究三：利用函数奇偶性解不等式已知，若，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：由函数为偶函数可得，再由函数单调性建立不等式求解即可。【变式练习】1．已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．2．若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（

）A． B．C． D．探究四：利用函数奇偶性比较大小定义在上的偶函数满足：对任意的有则（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：由题意可知在递减，结合偶函数，即可得到结果。【变式练习】1．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（

）A． B．C． D．2．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（

）A． B．C． D．一、单选题1．下列函数是偶函数的是（

）A． B． C． D．，2．已知对任意都有，且与都是奇函数，则在上有（

）A．最大值 B．最小值C．最大值 D．最小值3．下列函数是奇函数的是（

）A． B． C． D．4．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（

）A． B． C． D．5．某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（

）A．函数是奇函数 B．函数的值域是C．函数在R上是增函数 D．方程有实根6．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（

）A． B． C． D．7．已知定义在R上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知函数是偶函数，且函数的图像关于点对称，当时，，则（

）A． B． C．0 D．2二、填空题9．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则______．10．函数是定义在上的奇函数，，当时，，不等式的解集为__________.11．已知偶函数的定义域为，且图象是连续不断的，若，，当时，有，则满足不等式的实数a的取值范围是________．12．若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个正数，都有，则的解集为__________13．定义在R上的函数是减函数，的图象关于成中心对称，若s，t满足不等式，则当时，的取值范围是______.14．已知函数．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是________．三、解答题15．已知是奇函数，且.(1)求实数的值．(2)判断函数在上的单调性，并加以证明．(3)求的最大值．16．函数，(1)若在上是奇函数，求的值；(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）17．设函数，．(1)某同学认为，无论实数a取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由．(2)若是偶函数，求实数a的值．(3)在（2）的情况下，恒成立，求实数m的取值范围．18．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)求当x＞0时，函数的解析式；(2)解不等式．19．设函数，，令函数．(1)若函数为偶函数，求实数a的值；(2)若，求函数在区间上的最大值；(3)试判断：是否存在实数a，b，使得当时，恒成立，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．20．定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．(1)求证：函数是奇函数；(2)求证：在上是减函数；(3)若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．常考题型14函数奇偶性的判断、证明与应用奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称考法一：函数奇偶性的判定与证明1.定义法判断函数的奇偶性时，必须先判断函数定义域是否关于原点对称.若对称，再验证=±或其等价形式±=0是否成立.具体做法如下第一步，确定函数的定义域.第二步，判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数，若对称，进行第三步.第三步，判断与的关系，并确定结论.若=，则该函数是偶函数；若=-，则该函数是奇函数；若≠且≠-，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数；若=且=-，则该函数既是奇函数也是偶函数.2.性质法(1)如果一个函数可以写成两个常见函数的和、差、积、商形式，那么可以根据这两个函数的奇偶性直接判断出这个函数的奇偶性.(2)复合函数的奇偶性原理:有偶则偶，同奇为奇.3.分类讨论法判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点通过分类讨论进行判断.4.配凑法判断或证明抽象函数的奇偶性，需要利用已知条件找准方向，巧妙赋值，配凑出f(-x)与f(x)的关系，再利用奇函数、偶函数的定义加以判断.考法二：函数的奇偶性的应用1.求函数值利用函数的奇偶性求函数值时，要注意:若函数是奇函数，则=-；若函数是偶函数，则==.2.求函数解析式利用函数的奇偶性求函数解析式的步骤(1)将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围.(2)将转化后的自变量代入已知解析式.(3)利用函数的奇偶性求出解析式.3.求参数在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足=-或偶函数满足=列等式，根据等式两侧对应项相等确定参数的值.4.求不等式的解集已知函数的奇偶性以及它的部分图象求解有关不等式的解集时，可以根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，画出函数的图象，结合图象求解相关不等式的解集.5.比较函数值的大小根据函数奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为与的相等或相反关系，体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.探究一：利用函数奇偶性求函数解析式已知是奇函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：利用函数为奇函数求在上的解析式即可。【解析】在上有，∴，又是奇函数，∴，故.故选：C.答案：C【变式练习】1．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，即，解得，当时，，当时，，则，因为是奇函数，所以．故选：．2．定义在上的奇函数，当时，，则在时的(

)A． B． C． D．答案：C【解析】令，则，又当时，，所以，又为奇函数，则，所以.故选：C．探究二：利用函数奇偶性求参数若函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．1思路分析：思路分析：根据奇函数的定义可得，整理化简可求得a的值，即得答案。【解析】由函数为奇函数，可得，所以，所以，化简得恒成立，所以，即,经验证，定义域关于原点对称，且满足，故；故选:A．答案：A【变式练习】1．已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】解：由题得.因为在上单调递减，并且，所以，所以或.故选：D2．已知定义在R上的偶函数．若正实数a，b满足，则的最小值为（

）A．9 B．5 C．25 D．答案：B【解析】因是R上的偶函数，则，即恒成立，平方整理得：4x(m-1)=0，则有m=1，此时，由正实数a，b满足得，，当且仅当，即时取“=”，所以，当时，的最小值为5.故选：B探究三：利用函数奇偶性解不等式已知，若，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．思路分析：思路分析：由函数为偶函数可得，再由函数单调性建立不等式求解即可。【解析】因为的定义域为,关于原点对称，且，所以是偶函数，故由可得，当时，是增函数，所以，解得，故选：B答案：B【变式练习】1．已知为定义在上的偶函数，，且当时，单调递增，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为定义在上的偶函数，则，即是R上的偶函数，又在上单调递增，则在上单调递减，，即，因此，，平方整理得：，解得，所以原不等式的解集是.故选：B2．若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因为定义在上的偶函数在区间上单调递增，且.当时，由可得，即，所以，，解得，此时；当时，由可得，即，所以，，解得或，此时.综上所述，满足不等式的的取值范围是.故选：D.探究四：利用函数奇偶性比较大小定义在上的偶函数满足：对任意的有则（

）A． B．C． D．思路分析：思路分析：由题意可知在递减，结合偶函数，即可得到结果。【解析】因为满足，对任意的有，所以在上单调递减且为偶函数，则由可得，即故选:A答案：A【变式练习】1．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由题意可知，故函数是周期函数，且周期为，则，，，因为奇函数在区间上是增函数，则该函数在区间上也为增函数，故函数在区间上为增函数，所以，即.故选：D.2．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（

）A． B．C． D．答案：A【解析】为奇函数，∴，又∵∴，，，又∵，且函数在区间上是增函数，∴，∴，，故选：A.一、单选题1．下列函数是偶函数的是（

）A． B． C． D．，答案：B【解析】对于A，的定义域为，所以，所以是奇函数，所以A不正确；对于B，的定义域为，所以，所以是偶函数，所以B正确；对于C，的定义域为，所以，所以不是偶函数，所以C不正确；对于D，的定义域为，定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，所以D不正确；故选：B.2．已知对任意都有，且与都是奇函数，则在上有（

）A．最大值 B．最小值C．最大值 D．最小值答案：D【解析】令，因为，与都是奇函数，所以是奇函数，则的图象关于原点对称．对任意都有，即有最大值，则有最大值，所以时有最小值，而的图象是由的图象向上平移个单位得到，所以在有最小值，故选：D．3．下列函数是奇函数的是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】解：对于A：定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误；对于B：定义域为，则，即为偶函数，故B错误；对于C：定义域为，则，故为奇函数，故C正确；对于D：定义域为，则，所以为偶函数，故D错误；故选：C4．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为函数是奇函数，所以，因为，所以，当时，；因为当时，，所以所以.故选：D.5．某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（

）A．函数是奇函数 B．函数的值域是C．函数在R上是增函数 D．方程有实根答案：D【解析】对于A，，故是偶函数，，不是奇函数，故A错误，对于B，当时，，由对勾函数性质知，而是偶函数，的值域是，故B错误，对于C，当时，，由对勾函数性质知在上单调递增，而是偶函数，故在上单调递减，故C错误，对于D，当时，，即，解得，故D正确，故选：D6．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（

）A． B． C． D．答案：A【解析】图象向右平移2个单位，可得的图象，且是奇函数，的图象关于点成中心对称，，图象向右平移1个单位，可得的图象，且是偶函数，的图象关于直线成轴对称，由对称性，对称轴直线关于成中心对称的直线为，对称中心关于直线成轴对称的点为，即.故选：A.7．已知定义在R上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由题意知，在上单调递减且；由可得或，则或，解得或.故选：C.8．已知函数是偶函数，且函数的图像关于点对称，当时，，则（

）A． B． C．0 D．2答案：A【解析】根据题意，函数是偶函数，则函数的对称轴为，则有，又由函数的图像关于点成中心对称，则，则有，则，则有，则函数是周期为8的周期函数，则故选：A．二、填空题9．已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则______．答案：0【解析】解：因为为偶函数，所以＝，即＝，所以函数关于对称，所以＝，又因为为奇函数，所以＝－，所以函数关于(1,0)对称，＝－＝－，即＝－，所以＝－，＝－＝，即＝，所以的周期为4，在＝－中令

，得，所以，即，又因为，所以，即，所以，所以当时，，所以，所以，，，，所以则0.故答案为：0.10．函数是定义在上的奇函数，，当时，，不等式的解集为__________.答案：【解析】解：因为函数是定义在上的奇函数，所以，因为当时，，所以，解得，所以当时，，当时，所以由二次函数的性质得时，函数单调递减，在上单调递减易知当时，原不等式，解得；当时，无实数解；当，无实数解；当，即时，原不等式，解得；当，即时，，，满足题意；当，即时，，，不满足题意.综上，原不等式的解集为：故答案为：11．已知偶函数的定义域为，且图象是连续不断的，若，，当时，有，则满足不等式的实数a的取值范围是________．答案：【解析】令，又因为为偶函数，所以为偶函数，又，，当时，有，故在上为减函数，所以在上单调递增，不等式等价于，即，所以，解得，即所以实数a的取值范围是故答案为：．12．若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个正数，都有，则的解集为__________答案：【解析】设，∵对任意的两个正数，都有，即，∴在上单调递减，又是定义在上的奇函数，∴是定义在上的偶函数，由得，即，∴，又，故的解集为.故答案为：.13．定义在R上的函数是减函数，的图象关于成中心对称，若s，t满足不等式，则当时，的取值范围是______.答案：【解析】因为的图象关于中心对称，所以的图象关于中心对称，所以为奇函数，所以由得，又因为函数是R上的减函数，所以，化简得.又，所以，所以，而，故.故答案为：.14．已知函数．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围是________．答案：【解析】函数，若存在使得不等式成立，令，，所以，为奇函数．不等式，即，即，所以，因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数，由奇函数的性质可得在上为增函数，所以不等式等价于，分离参数可得，令，，由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，（1），（4），所以，，所以由题意可得，即实数的取值范围是．故答案为：．三、解答题15．已知是奇函数，且.(1)求实数的值．(2)判断函数在上的单调性，并加以证明．(3)求的最大值．答案：(1)，；(2)在上为减函数，证明见解析；(3)．【解析】（1）是奇函数，．，，，又，解得：.所以.（2）在上为减函数，证明如下：由（1）知，令，则的单调性和的单调性相反，设，则，，，，，即，在上为增函数，则在上为减函数；（3）由（1）（2）结合计算可知：在上递减，在上递增，在上递增，在上递减．又当时，，且，．16．函数，(1)若在上是奇函数，求的值；(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）答案：(1)0(2)最大值8，最小值0(3)【解析】（1）因为在上是奇函数，所以恒成立，即恒成立.所以恒成立，所以.（2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以在上的值得范围为，其中时，，函数在上单调递增，所以函数在上的值域为，其中当时，；所以当时，，当时，.（3）因为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增，当时，当时，令，可得因为当，时，函数既有最大值又有最小值，所以.17．设函数，．(1)某同学认为，无论实数a取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由．(2)若是偶函数，求实数a的值．(3)在（2）的情况下，恒成立，求实数m的取值范围．答案：(1)该同学的观点正确，理由见解析(2)0(3)