2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)拓展五：导数中的隐零点问题(精讲)(原卷版+解析)

拓展五：导数中的隐零点问题（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、不含参函数的隐零点问题已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围.2、含参函数的隐零点问题已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.3、函数零点的存在性（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.①若，则的零点不一定只有一个，可以有多个②若，那么在不一定有零点③若在有零点，则不一定必须异号(3)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.第二部分：第二部分：典型例题剖析1．(2023·湖北·高三阶段练习）已知函数，其中实数.(1)当时，求函数的单调性；(2)若函数有唯一零点，求的值.2．(2023·北京朝阳·高三阶段练习）己知函数．(1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；(2)判断函数的零点的个数3．(2023·河南省驻马店高级中学模拟预测（理））已知，R．(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，恒成立，求整数a的最小值．4．(2023·四川·模拟预测（理））已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上恒成立，求证：.（注：）5．(2023·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知函数.(1)若有两个极值点，求实数a的取值范围；(2)当时，证明：.6．(2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知.(1)若在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明.7．(2023·江西师大附中三模（文））已知函数（e是自然对数的底数，）.(1)设的导函数为，试讨论的单调性；(2)当时，若是的极大值点，判断并证明与大小关系.8．(2023·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知函数(1)当时，证明函数有两个极值点；(2)当时，函数在上单调递减，证明9．(2023·河南·模拟预测（理））已知函数，.(1)若，求函数的最大值；(2)若函数的一个极值点为，求证：.10．(2023·陕西·交大附中模拟预测（文））已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若，对任意的恒成立，求m的最大值．11．(2023·海南·嘉积中学模拟预测）已知函数.(1)判断函数的单调性；(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值.12．(2023·北京·北师大实验中学模拟预测）设函数.(1)若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；(2)求的单调区间；(3)若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值.13．(2023·陕西·模拟预测（文））已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，设函数，若对任意的恒成立，求b的最小值.14．(2023·四川省内江市第六中学模拟预测（文））已知函数，其中.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，证明：.拓展五：导数中的隐零点问题（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆1、不含参函数的隐零点问题已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围.2、含参函数的隐零点问题已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.3、函数零点的存在性（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.①若，则的零点不一定只有一个，可以有多个②若，那么在不一定有零点③若在有零点，则不一定必须异号(3)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.第二部分：第二部分：典型例题剖析1．(2023·湖北·高三阶段练习）已知函数，其中实数.(1)当时，求函数的单调性；(2)若函数有唯一零点，求的值.答案：(1)在上单调递增，在上单调递减(2)（1），令在上单调递增，即在上单调递增令，则，令，则在上单调递减，在上单调递增（2）令在上单调递增，即在上单调递增设，则当时，，所以在上单调递增当时，，所以在上单调递减所以所以，即所以又，所以存在唯一的，使得，即（1）当时，，在上单调递减当时，，在上单调递增所以，又因为函数有唯一的零点，所以，即（2）由（1）（2）得即令又因为所以函数在上单调递减，在上单调递增而，则代入（1）得综上：2．(2023·北京朝阳·高三阶段练习）己知函数．(1)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；(2)判断函数的零点的个数答案：(1)；(2)当或时，函数无零点；当时，函数有一个零点．（1）因为，∴，①若，因为，所有，所以，不符合题意；②若，由，令，因为，设方程两根为，则，不妨设，当时，在上，，单调递增，，不合题意；所以，故，即，这时，在上，，单调递减，所以恒成立；综上，a的取值范围是；（2）当时，因为，所有，所以，函数无零点；当时，（i）若，则，即，由（1）知，在上单调递增，上单调递减，，由，可知,又，所以存在使，所以当时，有一个零点；（ii）若，即时，则在上单调递减，，无零点；综上，当或时，函数无零点；当时，函数有一个零点．3．(2023·河南省驻马店高级中学模拟预测（理））已知，R．(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，恒成立，求整数a的最小值．答案：(1)分类讨论见解析(2)2（1）由题意得的定义域为，，①时，，在内单调递减，②时，令得或（舍）当，单调递减当，，单调递增．（2）由题意得，整理得，因为，所以原命题等价于在区间内恒成立，令，则，令，易知在区间内单调递增，又，，故存在唯一的，使得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；故当时，函数有极大值，也即为最大值，，故，又，故，又a为整数，故a的最小整数值为4．(2023·四川·模拟预测（理））已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上恒成立，求证：.（注：）答案：（1）当时，在上单调递；当时，数在上单调递增；在上单调递减；（2）证明见解析.【详解】（1）由题知函数的定义域为，①当时，，此时函数在上单调递；②当时，令，得；令，得，所以函数在上单调递增；在上单调递减；综上，当时，在上单调递；当时，数在上单调递增；在上单调递减；（2）由题意，在上恒成立，可化为在上恒成立，设，则设，则，所以在上单调递增，又，所以方程有且只有一个实根，且，，所以在上，，单调递减，在上，，单调递增，所以函数的最小值为，从而.5．(2023·四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））已知函数.(1)若有两个极值点，求实数a的取值范围；(2)当时，证明：.答案：(1)(2)证明见解析（1）的定义域为，，由题意在上有两解，即，即有两解.令，即的图象与直线有两个交点.，得，当时，，递增；当时，，递减，，，时，；时，，，，a的取值范围是.（2）当时，，即证，即证，令，，令，则，当时，，在递增.，，存在唯一的，使得，当时，，递减；当时，，递增，.又，，，，，.6．(2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知.(1)若在区间上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明.答案：(1)(2)证明见解析(1)解：，因为在区间上有且仅有一个极值点，所以在区间上有且仅有一个零点，设，当单调递减，因为，故只需，所以(2)解：由（1）知，在区间上有且仅有一个极值点，所以，即，所以所以，所以函数在上单调递增，所以，即，证毕.7．(2023·江西师大附中三模（文））已知函数（e是自然对数的底数，）.(1)设的导函数为，试讨论的单调性；(2)当时，若是的极大值点，判断并证明与大小关系.答案：(1)答案见解析(2)，证明见解析（1）∵，∴令，则.①若，则，所以单调递增；②若，则当时，，所以所以单调递减；当时，，所以单调递增；综上，当时，在上单调递增；当时在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增；∵，且故存在两个零点且.的符号及的单调性如下表所示：x+0-0+↗极大↘极小↗由于是的一个零点，故，所以于是，∵，∴所以.8．(2023·辽宁·抚顺市第二中学三模）已知函数(1)当时，证明函数有两个极值点；(2)当时，函数在上单调递减，证明答案：(1)证明见解析(2)证明见解析(1)定义域为当时令∵时，，单调递减，时，，单调递增所以使此时时，，单调递增，时，，单调递减时，，单调递增∴是函数的两个极值点．(2)∵在上单调递减∴恒成立∴恒成立①时，令∵，∴∴在单调递减，∴又∵∴，∴②时，，∵，∴∴，∴又∵，∴令令，∴∴单调递减，∵使，即时，单调递增时，单调递减∴∴∴，∴综上9．(2023·河南·模拟预测（理））已知函数，.(1)若，求函数的最大值；(2)若函数的一个极值点为，求证：.答案：(1)1(2)证明见解析(1)函数的其定义域为，若，，所以，由，得；由，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以.(2)，则由题意知，解得，经检验，符合题意，所以，所以要证，即证.令，则.令.则在上单调递增，因为，，所以，使得，即，所以当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.所以.又因为，即，所以，所以，即，即.10．(2023·陕西·交大附中模拟预测（文））已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若，对任意的恒成立，求m的最大值．答案：(1)递增区间为，递减区间为(2)3(1)函数的定义域为，由，令可得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，∴函数的递增区间为，递减区间为．(2)当时，不等式可化为，设，由已知可得，又，令，则，∴在上为增函数，又，，∴存在，使得，即．当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，∴，∴，∴m的最大值为3．11．(2023·海南·嘉积中学模拟预测）已知函数.(1)判断函数的单调性；(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值.答案：(1)在上单调递增，在上单调递减；(2)3.（1）的定义域为，求导得：，令，则，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减.（2），，令，，则，由（1）知，在上单调递增，且，则在区间内存在唯一的零点，使，即，则当时，，，有在上单调递减，当时，，，在上单调递增，于是得，因此，，所以整数的最大值为3.12．(2023·北京·北师大实验中学模拟预测）设函数.(1)若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；(2)求的单调区间；(3)若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值.答案：(1)(2)答案见解析(3)最大值为2(1)由已知条件得，在点处的切线斜率为，即，(2)的定义域为,，若，则，则在上单调递增；若，由得，由得，则单调递增区间为，单调递减区间为；(3)由得，整理得，当时，，即令，则.令，由（2）知，函数在上单调递增，其中，，∵由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，即，∴在上，在上，∴在上，在上，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在上的最小值为，又∵，∴，即，∴，且为整数，∴的最大值.13．(2023·陕西·模拟预测（文））已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，设函数，若对任意的恒成立，求b的最小值.答案：（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.【详解】（1）因为，所以，当时，；当时，，故的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由，因为对任意的恒成立，对任意的恒成立，构造函数，.∵，∴，且单调递增，∵，，∴一定存在唯一的，使得.即，.∴在上单调