2024年高考数学微专题练习专练67高考大题专练七坐标系与参数方程含解析理

PAGEPAGE7专练67高考大题专练(七)坐标系与参数方程1．[2024·贵阳市五校联考]以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3t，,y＝2t2＋1))(t为参数)，直线l的极坐标方程为ρsin(θ－eq\f(π,6))＝－eq\r(3).(1)已知点M(6，a)在曲线C上，求a的值；(2)设点P为曲线C上一点，求点P到直线l距离的最小值．2．[2024·全国甲卷(理)，22]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2＋t,6),y＝\r(t)))(t为参数)，曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2＋s,6),y＝－\r(s)))(s为参数).(1)写出C1的一般方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ－sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．3．[2024·安阳模拟]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，直线l过点M(1，0)且倾斜角为α.(1)求出直线l的参数方程和曲线C的一般方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且eq\f(|MA|·|MB|,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|MA|－|MB|)))＝eq\f(\r(3),3)，求cosα的值．4.[2024·全国甲卷]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2eq\r(2)cosθ.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1，0)，M为C上的动点，点P满意eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(AM,\s\up6(→))，写出P的轨迹C1的参数方程，并推断C与C1是否有公共点．5．[2024·石嘴山模拟]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosα，,y＝sinα))(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上且满意|OA|·|OB|＝8，点B的轨迹为C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)设点M的极坐标为(2，eq\f(3π,2))，求△ABM面积的最小值．6．[2024·全国乙卷(理)，22]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cos2t，,y＝2sint)))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ＋eq\f(π,3))＋m＝0.(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．专练67高考大题专练(七)坐标系与参数方程1．解析：(1)∵点M在曲线C上，∴6＝3t，∴t＝2，∴a＝y＝2×22＋1＝9.(2)∵直线l的极坐标方程为ρsin(θ－eq\f(π,6))＝－eq\r(3)，∴直线l的直角坐标方程为x－eq\r(3)y－2eq\r(3)＝0.∵点P在曲线C上，∴设P(3t，2t2＋1)，则点P到直线l的距离为d＝eq\f(|3t－2\r(3)t2－3\r(3)|,2)，当t＝eq\f(\r(3),4)时，dmin＝eq\f(21\r(3),16).2．解析：(1)C1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2＋t,6)，,y＝\r(t)．))消去参数t，得C1的一般方程为y2＝6x－2(y≥0).(2)曲线C3的极坐标方程为2cosθ－sinθ＝0，两边同乘ρ，得2ρcosθ－ρsinθ＝0，则C3的直角坐标方程为y＝2x.联立得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝6x－2（y≥0），,y＝2x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))将曲线C2的参数方程中的参数s消去，得y2＝－6x－2(y≤0).联立得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝－6x－2（y≤0），,y＝2x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2.))所以C3与C1交点的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，C3与C2交点的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))和(－1，－2).3．解析：(1)曲线C的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，转换为一般方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1；直线l过点M(1，0)且倾斜角为α，则参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝tsinα))(t为参数).(2)把直线l的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝tsinα))(t为参数)代入eq\f(x2,2)＋y2＝1.得到(1＋sin2α)t2＋2tcosα－1＝0，所以t1＋t2＝－eq\f(2cosα,1＋sin2α)，t1t2＝－eq\f(1,1＋sin2α)(t1和t2分别为A和B对应的参数)，t1t2<0，则t1，t2异号，||MA|－|MB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|，由eq\f(|MA|·|MB|,||MA|－|MB||)＝eq\f(\r(3),3)，整理得|t1＋t2|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2cosα,1＋sin2α)))＝eq\r(3)|t1t2|＝eq\f(\r(3),1＋sin2α)，解得cosα＝±eq\f(\r(3),2).4．解析：(1)依据ρ＝2eq\r(2)cosθ，得ρ2＝2eq\r(2)ρcosθ，因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，所以x2＋y2＝2eq\r(2)x，所以C的直角坐标方程为(x－eq\r(2))2＋y2＝2.(2)设P(x，y)，M(x′，y′)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－1，y)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x′－1，y′).因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(AM,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝\r(2)（x′－1）,y＝\r(2)y′))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(x－1,\r(2))＋1,y′＝\f(y,\r(2))))，因为M为C上的动点，所以(eq\f(x－1,\r(2))＋1－eq\r(2))2＋(eq\f(y,\r(2)))2＝2，即(x－3＋eq\r(2))2＋y2＝4.所以P的轨迹C1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3－\r(2)＋2cosα，,y＝2sinα))(其中α为参数，α∈[0，2π)).所以|CC1|＝3－2eq\r(2)，⊙C1的半径r1＝2，又⊙C的半径r＝eq\r(2)，所以|CC1|<r1－r，所以C与C1没有公共点．5．解析：(1)由曲线C1的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosα，,y＝sinα))(α为参数)，消去参数，可得一般方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，又由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，设点B的极坐标为(ρ，θ)，A点的极坐标为(ρ0，θ0)，则|OB|＝ρ，|OA|＝ρ0，ρ0＝2cosθ0，θ＝θ0，因为|OA|·|OB|＝8，所以ρ·ρ0＝8，即eq\f(8,ρ)＝2cosθ，即ρcosθ＝4，所以曲线C2的极坐标方程为ρcosθ＝4.(2)由题意，可得|OM|＝2，则S△ABM＝S△OBM－S△OAM＝eq\f(1,2)|OM|·|xB－xA|＝eq\f(1,2)×2×|4－2cos2θ|＝|4－2cos2θ|，即S△ABM＝4－2cos2θ，当cos2θ＝1时，可得S△ABM的最小值为2.6．解析：(1)由ρsin(θ＋eq\f(π,3))＋m＝0，得eq\f(1,2)ρsinθ＋eq\f(\r(3),2)ρcosθ＋m＝0.∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴l的直角坐标方程为eq\f(\r(3),2)x＋eq\f(1,2)y＋m＝0.(2)(方法一)把x＝eq\r(3)cos2t，y＝2sint代入eq\f(\r(3),2)x＋eq\f(1,2)y＋m＝0，得m＝－eq\f(3,2)cos2t－sint＝－eq\f(3,2)＋3sin2t－sint＝3(sint－eq\f(1,6))2－eq\f(19,12).∵sint∈[－1，1]，∴当sint＝eq\f(1,6)时，m取得最小值－eq\f(19,12)；当sint＝－1时，m取得最大值eq\f(5,2).∴m的取值范围是[－eq\f(19,12)，eq\f(5,2)].(方法二)x＝eq\r(3)cos2t＝eq\r(3)(1－2sin2t)＝eq\r(3)[1－2(eq\f(y,2))2]＝eq\r(3)－eq\f(\r(3),2)y2.∵y＝2sint，sint∈[－1，1]，∴y∈[－2，2].