延边市重点中学2025届数学九上期末联考模拟试题含解析

延边市重点中学2025届数学九上期末联考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．要得到函数y＝2(x－1)2＋3的图像，可以将函数y＝2x2的图像（）A．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度B．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度C．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度D．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度2．如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若点是的中点，的面积是6，则的面积为（）A．9 B．12 C．18 D．243．二次根式有意义的条件是（）A．x>－1 B．x≥－1 C．x≥1 D．x＝－14．若关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋x＋a2－1＝0的一个解是x＝0，则a的值为()A．1 B．－1 C．±1 D．05．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（）A．5 B． C．2 D．6．关于x的一元二次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根C．有两个相等的实数根 D．不确定7．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：3 B．1：4 C．2：3 D．1：28．小明同学以正六边形三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径，向外作三段圆弧，设计了如图所示的图案，已知正六边形的边长为1，则该图案外围轮廓的周长为（）A． B． C． D．9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，AD=5，BD=2，则DE的长为（）A． B． C． D．10．小明随机地在如图正方形及其内部区域投针，则针扎到阴影区域的概率是（）A． B． C． D．11．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，则ax2＋bx＋c＝0的解是()A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1 C．x＝－3 D．x＝－212．将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A． B．C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线是______．14．如图，在反比例函数位于第一象限内的图象上取一点P1，连结OP1，作P1A1⊥x轴，垂足为A1，在OA1的延长线上截取A1B1=OA1，过B1作OP1的平行线，交反比例函数的图象于P2，过P2作P2A2⊥x轴，垂足为A2，在OA2的延长线上截取A2B2=B1A2，连结P1B1，P2B2，则的值是．15．如图，过轴上的一点作轴的平行线，与反比例函数的图象交于点，与反比例函数，的图象交于点，若的面积为3，则的值为__________．16．已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣3，当x＜2时，y随x的增大而_____（填“增大”或“减小”）．17．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是__________．18．已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为____________．三、解答题（共78分）19．（8分）已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴.直线的图象与二次函数的图象交于点和点（点在点的左侧）（1）求的值及直线解析式；（2）若过点的直线平行于直线且直线与二次函数图象只有一个交点，求交点的坐标.20．（8分）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B,（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若BC=8，tanB=，求⊙O的半径．21．（8分）（1）已知关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝1．求证：无论a取何值，原方程总有两个不相等的实数根：（2）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠1）中的x和y满足下表：x…﹣11123…y…31﹣11m…①观察上表可求得m的值为；②试求出这个二次函数的解析式．22．（10分）如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且，DG∥AB，求证：DF＝BG．23．（10分）阅读下面内容，并按要求解决问题：问题：“在平面内，已知分别有2个点，3个点，4个点，5个点，…，个点，其中任意三个点都不在同一条直线上经过每两点画一条直线，它们可以分别画多少条直线？”探究：为了解决这个问题，希望小组的同学们，设计了如下表格进行探究：（为了方便研究问题，图中每条线段表示过线段两端点的一条直线）点数2345…示意图…直线条数1…请解答下列问题：（1）请帮助希望小组归纳，并直接写出结论：当平面内有个点时，直线条数为______；（2）若某同学按照本题中的方法，共画了28条直线，求该平面内有多少个已知点？24．（10分）甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲乙（1）写出表格中的值：（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？25．（12分）已知：内接于⊙，连接并延长交于点，交⊙于点，满足．（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接，点为弧上一点，连接，=，过点作，垂足为点，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，点为上一点，分别连接，，过点作，交⊙于点，，，连接，求的长．26．计算：（1）；（2）．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】解：∵y＝2(x－1)2＋3的顶点坐标为（1，3），y=2x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到抛物线y＝2(x－1)2＋3故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．2、D【分析】根据位似图形的性质，再结合点A与点的坐标关系可得出两个三角形的相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可得出答案.【详解】解：∵△ABC与△是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且A为的中心，∴△ABC与△的相似比为：1：2；∵位似图形的面积比等于相似比的平方，∴△的面积等于4倍的△ABC的面积，即.故答案为：D.【点睛】本题考查的知识点是位似图形的性质，位似是特殊的相似，熟记位似图形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.3、C【解析】根据二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求出x的取值范围即可.【详解】∵二次根式有意义，∴x-1≥0，∴x≥1，故选：C.【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，被开方数为非负数；熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键.4、A【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值,且（a＋1)x2＋x＋a2－1＝0为一元二次方程，即．【详解】把x=0代入方程得到：a2－1＝0解得：a=±1．（a＋1)x2＋x＋a2－1＝0为一元二次方程即．综上所述a=1.故选A．【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握一元二次方程的求解方法.5、C【解析】先根据垂径定理得出M、N分别是AB与AC的中点，故MN是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论．【详解】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，∴M、N分别是AB与AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴BC＝2MN＝2，故选：C．【点睛】本题考查垂径定理、三角形中位线定理；熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．6、A【分析】将方程化简，再根据判断方程的根的情况.【详解】解：原方程可化为，所以原方程有两个不相等的实数根.故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，灵活利用的正负进行判断是解题的关键.当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根.7、D【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴DF：AB=DE：EB．∵O为对角线的交点，∴DO=BO．又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：1，∴DF：AB=1：1．∵DC=AB，∴DF：DC=1：1，∴DF：FC=1：2．故选D．8、C【分析】根据正六边形的边长相等，每个内角为120度，可知图案外围轮廓的周长为三个半径为1、圆心角为240度的弧长之和．【详解】由题意可知：

∵正六边形的内角，∴扇形的圆心角，

∵正六边形的边长为1，

∴该图案外围轮廓的周长，

故选：C．【点睛】本题考查了弧长的计算公式，正多边形和圆，正六边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．9、D【分析】根据AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠DAC，再利用同弧所对的圆周角相等，求证△ABD△BED，利用其对应边成比例可得，然后将已知数值代入即可求出DE的长．【详解】解:∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∵∠DBC=∠DAC(同弧所对的圆周角相等）,∴∠DBC=∠BAD，∴△ABD△BED，∴,∴DE=故选D.【点睛】本题考查圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，根据其定理进行分析.10、D【分析】根据几何概型的意义，求出圆的面积，再求出正方形的面积，算出其比值即可．【详解】解：设正方形的边长为2a，则圆的半径为a，则圆的面积为：，正方形的面积为：，∴针扎到阴影区域的概率是，故选：D．【点睛】本题考查几何概型的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积和总面积的比，这个比即事件（A）发生的概率．11、A【解析】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，由此可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3,0），所以方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝－3，x2＝1，故选A.12、A【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位后的顶点坐标为（﹣2，0），∴所得抛物线的解析式为．故选A．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，利用数形结合思想解题是关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】先得到抛物线的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，则利用顶点式可得到平移后的抛物线的解析式为．【详解】抛物线的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到的点的坐标为（，1），

所以平移后的抛物线的解析式为．

故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，再考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14、【详解】解：设P1点的坐标为（），P2点的坐标为（b，）∵△OP1B1，△B1P2B2均为等腰三角形，

∴A1B1=OA1，A2B2=B1A2，

∴OA1=a，OB1=2a，B1A2=b-2a，B1B2=2（b-2a），

∵OP1∥B1P2，

∴∠P1OA1=∠A2B1P2，

∴Rt△P1OA1∽Rt△P2B1A2，

∴OA1：B1A2=P1A1：P2A2，a：（b-2a）=整理得a2+2ab-b2=0，解得：a=（）b或a=（）b（舍去）∴B1B2=2（b-2a）=（6-4）b，∴故答案为：【点睛】该题较为复杂，主要考查学生对相似三角形的性质和反比例函数上的点的坐标与几何图形之间的关系．15、-6.【分析】由AB∥x轴，得到S△AOP=，S△BOP=，根据的面积为3得到，即可求得答案.【详解】∵AB∥x轴，∴S△AOP=，S△BOP=，∵S△AOB=S△AOP+S△BOP=3，∴，∴-m+n=6，∴m-n=-6，故答案为：-6.【点睛】此题考查反比例函数中k的几何意义，由反比例函数图象上的一点作x轴（或y轴）的垂线，再连接此点与原点，所得三角形的面积为，解题中注意k的符号.16、减小【分析】根据题目的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当x＜2时，y随x的增大如何变化，本题得以解决．【详解】∵二次函数y＝（x﹣2）2﹣3，∴抛物线开口向上，对称轴为：x=2，∴当x＞2时，y随x的增大而增大，x＜2时，y随x的增大而减小，故答案为：减小．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．17、1【分析】因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故，代入求解即可.【详解】根据题意可得：解得：m=1故答案为：1【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握根的判别式与方程的根的关系是关键.18、8或1．【解析】试题分析：如图1所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•AD=×6×8=1；综上，△ABC面积的所有可能值为8或1，故答案为8或1．考点：解直角三角形；分类讨论．三、解答题（共78分）19、（1）m=，；（2）【分析】（1）由于抛物线的顶点为原点，因此可设其解析式为y=ax2，直接将A点，B点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式以及m的值，进而可知出点B的坐标，再将A，B点的坐标代入一次函数中，即可求出一次函数的解析式．（2）根据题意可知直线l2的解析式，由抛物线与l2只有一个交点，联立直线与二次函数的解析式，消去y，得出一个含x一元二次方程，根据方程的判别式为0可求得n的值，进而得出结果．【详解】（1）解：假设二次函数的解析式为，将分别代入二次函数的解析式，得：，解得．解得：．将代入中，得，,解得：．的解析式为．（2）由题意可知：l2∥l1，可设直线的解析式为：过点，则有：．．由题意，联立直线与二次函数的解析式，可得以下方程组：，消元，得：，整理，得：，①由题意，得与只有一个交点，可得：，解得：．将代回方程①中，得．将代入中，得．可得交点坐标为．【点睛】此题主要考查了求二次函数解析式，求一次函数解析式，以及两函数的交点问题，解决问题的关键是联立方程组求解．20、（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；

（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】（1）证明：连接，，，，，在中，，，，则为圆的切线；（2）设圆的半径为，在中，，根据勾股定理得：，，在中，，，根据勾股定理得：，在中，，即，解得：．【点睛】此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．21、（2）证明见解析；（2）①3；②y＝（x﹣2）2﹣2．【分析】（2）△＝（a+3）2﹣4（a+2）＝a2+2a+5＝（a+2）2+4＞2，即可求解；（2）①函数的对称轴为：x＝2，根据函数的对称轴知，m＝3，即可求解；②函数的顶点坐标为（2，﹣2），故抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣2，将（2，2）代入上式并解得：a＝2，即可求解．【详解】（2）△＝（a+3）2﹣4（a+2）＝a2+2a+5＝（a+2）2+4＞2，故无论a取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）①函数的对称轴为：x＝2，根据函数的对称性可得，m＝3，故答案为：3；②函数的顶点坐标为（2，﹣2），故抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣2，将（2，2）代入上式得：2＝a（2﹣2）2﹣2，解得：a＝2，故抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2．【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，此题中能读懂表格中的数值变化是解题的关键.22、详见解析【分析】证明△DFH∽△EBH，证出DF‖BC，可证出四边形BGDF平行四边形，则DF=BG．【详解】证明：∵DG∥AB，∴，∵，∴，∵∠EHB＝∠DHF，∴△DFH∽△EBH，∴∠E＝∠FDH，∴DF//BC，∴四边形BGDF平行四边形，∴DF＝BG．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．23、（1）；（2）该平面内有8个已知点．【分析】（1）根据图表中数据过两点的直线有1条，过不在同一直线上的三点的直线有3条，过任何三点都不在一条直线上的四点的直线有6条，可总结归纳出平面内点与直线的关系为；（2）设设该平面内有个已知点．利用得出的关系式列方程求解即可．【详解】解：（1）当平面内有2个点时：可以画条直线；当平面内有3个点时：可以画条直线；当平面内有4个点时：可以画条直线；…当平面内有个点时：可以画条直线；（2）设该平面内有个已知点．由题意，得．解得，（舍）．答：该平面内有8个已知点．【点睛】此题是探求规律题并考查解一元二次方程，读懂题意，找出规律是解题的关键，解题时能够进行知识的迁移是一种重要的解题能力．24、（1），，，；（2）选择乙，理由见解析【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可；（2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析．【详解】解：（1）甲的平均成绩（环），∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，∴乙射击成绩的中位数（环），又∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，∴乙射击成绩的众数：c=8（环）其方差为：=×（16+9+1+0+3+4+9）==；（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定，综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．【点睛】本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用．熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析．25、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）如图1中，连接AD．设∠BEC=3α，∠ACD=α，再根据圆周角定理以及三角形内角和与外角的性质证明∠ACB=∠ABC即可解决问题；

（2）如图2中，连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ=BD．证明△ADB≌△AZC（SAS），推出AD=AZ即可解决问题；

（3）连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长线于T．假设OH=a，PC=2a，求出sin∠OHK=，从而得出∠OHK=45°，再根据角度的转化得出∠DAG=∠ACO=∠OAK，从而有tan∠ACD=tan∠DAG=tan∠OAK=，进而可求出DG，AG的长，再通过勾股定理以及解直角三角形函数可求出FT，PT的长即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，连接AD．设∠BEC=3α，∠ACD=α．

∵∠BEC=∠BAC+∠ACD，∴∠BAC=2α，

∵CD是直径，∴∠DAC=90°，

∴∠D=90°-α，∴∠B=∠D=90°-α，

∵∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-2α-（90°-α）=90°-α．

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC．（2）证明：如图2中，连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ=BD．