八年级数学整式的乘法与因式分解专项练习

八年级数学整式的乘法与因式分解专项练习

一、单选题

图①是一个边长为（利+〃）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证

的式子是（）

口

图①图②

A.77)2—(m-riy=4mn

B.(m+n)2-(m2+n2)=2mn

C.(777—枕)2+2mn=m2+n2

D.+n)(m-n)-m2-n2

2.下列因式分解变形正确的是()

A.2a2-4a=2(a2-2a)B.a2-2a+l=(a-i)2

C.-ci"+4=(a+2)(。—2)D.cT—5a—6=(a—2)(。—3)

3.下列运算中正确的是()

A.a1+a=a3B.a5-a2=aU)C.„=/D.=a2bA

4.如果苏+加=5,那么代数式加（m-2）+（〃?+2『的值为（）

A.14B.9C.—1D.—6

二、填空题

5.分解因式：d_4x=.

6.分解因式：3a2+6a+3=.

7.如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式___

8.分解因式：2x}-8x=

9.计算：10“&+（-5加）=

10.如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为

11.若a=2019,6=2020,则[足（4-2b）-a（a-b）2]+炉的值为

12.我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比欧

洲早五百年左右.

杨辉三角两腰上的数都是1,其余每个数为它的上方（左右）两数之和.事实上，这个三角形给出了（“+〃）"

（〃=1,2,3,4,5,6）的展开式（按。的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在三角形中第

三行的三个数1,2,1,恰好对应着3+与2=/++/展开式中各项的系数；第四行的四个数1,3,3,

2

1，恰好对应着（a+=a3+3a%+3a加+〃展开式中各项的系数，等等.

（1）当〃=4时，3+与4的展开式中第3项的系数是；

（2）人们发现，当“是大于6的自然数时，这个规律依然成立，那么（。+6）7的展开式中各项的系数的和

为•

13.如图1,先将边长为a的大正方形纸片ABC。剪去一个边长为b的小正方形E8G产，然后沿直线"将

纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图2所示的方式拼接（无缝隙，无重叠），得到一个大的长方形

AEGC.根据图1和图2的面积关系写出一个等式：.（用含a,b的式子表示）

图2

14.如图，从边长为。+4的正方形纸片中剪去一个边长为。的正方形（«>0）,剩余部分沿虚线剪开，拼

成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为.

三、解答题

15.计算：a3-a+(-a2)34-<72.

16.已知2/-7x=7,求代数式(2尤—3)2—(x-3)(2x+l)的值.

17.计算：(/n+n+2)(m+n-2)-tn(机+4〃).

18.分解因式:

(1)x3-25x；

(2)〃7(。-3)+2(3-。).

19.已知2/+3〃-4=0,求代数式%(2〃+1)-(2〃+1)(2〃-1)的值.

20.阅读下面的材料：

厂常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上I

方法无法分解.如x2-4/_2x+4y,细心观察这个式子，会发现前两项符合平方

差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式,

提取公因式就可以完成整个式子的分解因式.具体过程如下：

x2-4y2-2x+4y

=(x2-4y2)-(2x-4y)

=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)

=(x-2y)Cr+2y-2)

像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法.

利用分组分解法解决下面的问题:

(1)分解因式：炉-2孙+V-4；

(2)已知"BC的三边长叫h,c满足/一曲-"c+历=o,判断"BC的形状并说明理由.

4

参考答案

1.B

【分析】

本题可以根据两个图形变化前后的面积相等，得到本题结论.

【详解】

解：如图①，图中阴影部分的面积可表示为：

S阴=$大正方形-S小小方形

大正方形的面积为：(m+n)2,

小正方形的边长为：4^后，

22

.♦.小形的面积为：m+n,

$阴=(m+n)2-(m2+n2).

如图②，图中面积为4个直角三角形，

S=4x—mn=2mn,

2

(m+n)2-(m2+n2)=2mn,

故选B.

【点睛】

本题是利用几何图形的面积来验证(m+n)2一(m2+n2)=2mn,解题关键是利用图形的面积

之间的相等关系列等式.

2.B

【分析】

根据提公因式分解因式可得出A错误；根据完全平方公式可得B正确；根据平方差公式可

得C错误；根据十字相乘法可判断D错误.

【详解】

A^2a2-4a=2a(a-2),故此选项错误；

B、4-24+1=3-1)2,故此选项正确；

C、—a~+4=(2+a)(2—a),故此选项错误；

D、/-5a-6=(a-6)3+l),故此选项错误.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了因式分解，要灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可

5

以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解.

3.D

【分析】

A.根据同类项的定义解题；B.根据同底数幕相乘，底数不变，指数相加解题；C.根据幕的乘

方法则解题；D.根据积的乘方法则解题.

【详解】

A.片、。不是同类项，不能合并，故A错误；

B.a5-a2=a5+2^a\故B错误；

C.(叫3=产=丸故c错误；

D.(a/f)-="2b4,故D正确，

故选：D.

【点睛】

本题考查合并同类项、同底数基的乘法、塞的乘方、积的乘方等知识，是重要考点，难度较

易，掌握相关知识是解题关键.

4.A

【分析】

用整式的乘法法则将机(〃-2)+(加+2『整理成2(机2+机)+4,再结合已知条件，利用整体代

入法解题即可.

【详解】

m(m—2)+(，"+2)2

-m2-2m+nr+4/n+4

=2m2+2m+4

=2(m2+ni)+4

m2+m=5

原式=2(，"2+%)+4

=2x5+4

=14

故选：A.

【点睛】

本题考查已知式子的值，求代数式的值，涉及整体思想，是重要考点，难度较易，掌握相关

知识是解题关键.

6

5.x(x+2)(x-2).

【详解】

试题分析：X3-4X=X(X2-4)=X(X+2)(x-2).故答案为x(x+2)(x-2).

考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解.

6.3Q+1)2

【分析】

首先提取公因式，然后应用完全平方公式继续分解.

【详解】

3a2+6a+3=3(/+2。+1)=3(4+1)一.

故答案为3(4+1)2.

考点：分解因式.

7.(a+2)(a-2)=a2-4

【分析】

根据图形分别写出图①与图②中阴影部分面积，由阴影部分面积相等得出等式.

【详解】

V图①中阴影部分面积=(“+2)(“-2),图②中阴影部分面积=屏-4,

•••图①和图②的阴影面积相等，

3+2)(。-2)=a2-4,

故答案为：3+2)(“-2)="2-4.

【点睛】

本题考查平方差公式的几何背景，结合图形得到阴影部分的面积是解题的关键.

8.2x(x+2)(x-2)

【分析】

先提取公因式2x,再利用平方差公式分解即可得.

【详解】

解：原式=2x(R-4)

-lx(x+2)(x-2)；

故答案为：2x(x+2)(x-2).

【点睛】

7

本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和平方差公式.

9.—2。.

【分析】

根据单项式除以单项式的法则计算即可.

【详解】

解：104%3+(-5加)=义、幺*%=-2。，

故答案为：—2a.

【点睛】

本题考查了单项式除以单项式，掌握法则并熟练应用是解题关键.

10.(a+b)2-2ab=a2+b2

【分析】

利用各图形的面积求解即可.

【详解】

解：两个阴影图形的面积和可表示为：a?+b2或(a+b)2一2ab,

故可得：(a+b)2-2ab=a2+b2

故答案为：(a+b)2-2ab=a2+b2

【点睛】

本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确四块图形的面积.

11.-2019.

【分析】

原式中括号中利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，合并后利用多项式除以单项

式法则计算得到最简结果，把。与人的值代入计算即可求出值.

【详解】

解：原式=(a3-2a2b-a3+2a2h-ab-)-a,

当a=2019时，原式=-2019.

故答案为：-2019.

【点睛】

本题主要考查了整式乘法的运用，准确的展开并化成最简的式子，再把已知的数值代入求解,

化简是关键一步.

12.6128

8

【分析】

(1)当n=4时，(〃+勿4的展开式的系数恰好对应的是第五行的数，根据第五行的数即刻得

出答案；

(2)(a+6)7的展开式的系数恰好对应第八行的数，据图写出第八行的数求和即可.

【详解】

解：(1)(a+b)4的展开式的系数恰好对应的是第五行的数，为：1,4,641,故(。+与4的展

开式中第3项的系数是6;

(2)据题可知第八行的数为：1,7,21,35,35,21,7,1.故3+6)7的展开式中各项的系数的和为:

1+7+21+35+35+21+7+1=128.

故答案为：(1)6;(2)128.

【点睛】

本题考查完全平方公式，探索与表达规律.(1)能找出(a+力”的展开式的系数与杨辉三角中

行数之间的关系是解题关键；(2)中能依据“杨辉三角两腰上的数都是1,其余每个数为它

的上方(左右)两数之和''写出“杨辉三角”的第八行数是解题关键.

13.a2-b2=(a+b)(a-b).

【分析】

根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，根据图形面积不变可以写出含字母a,b

的等式.

【详解】

解：由图可知，

图1中阴影部分面积为：a2-b2,

图2中阴影部分面积为：(a+b)(a-b),

图1和图2的面积关系是：aM>2=(a+b)(a-b).

故答案为：a2-b2=(a+b)(a-b).

【点睛】

本题主要考查了列代数式，根据题意能正确列出代数式是解题的关键.

14.8a+16

【分析】

利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意完全平方公式的运用.

【详解】

9

解：矩形的面积为:

(o+4)2-a2

=(a2+8a+16)-a2

=a2+8a+16-a2

=8a+16.

答：长方形的面积是(8a+16)cm2.

故答案为：8a+16.

【点睛】

本题考查完全平方公式在几何图形中的应用.熟记完全平方公式是解题关键.

(a±h)2=a2+2ah+b2

15.0.

【分析】

原式先计算积的乘方，再计算同底数塞的乘除法即可.

【详解】

解：/■a+(一矿

-a4-ah^-a2

=a*—aA

=0.

【点睛】

此题主要考查了积的乘方和同底数落的乘除法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键.

16.19

【分析】

先通过整式的运算法则将代数式化简成2Y-7X+12,再整体代入求值.

【详解】

解：原式=(4x?—12x+9)-(2/+x-6x—3)

=4x~—12.x+9—2x"+5x+3

=2X2-7X+12

；2X2-1X=1,

，2x2-lx=l,

原式=7+12=19.

【点睛】

10

本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整体代入的思想求值.

17.n2-2mn-4.

【分析】

根据平方差公式，多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则进行展开运算即可.

【详解】

解：原式=(m+n)2-4-in2-,

=加2+2加-4一加2—4,7777,

=—2nm-4.

【点睛】

本题考查了整式的混合运算，解题关键是掌握平方差公式，多项式乘多项式，单项式乘多项

式的运算法则.

18.(1)Mx+5)(%-5)；(2)(。-3)(6一2).

【分析】

(1)先提公因式x,再利用平方差公式进行分解，即可得出结果；

(2)先将多项式进行变形，再利用提公因式法进行分解，即可得出结果.

【详解】

解：(1)x3-25x

=x(x2-25)

=x(x+5)(x-5);

(2)m(〃-3)+2(3-a)

=m(a-3)-2(a-3)

=伍-3)(加-2).

【点睛】

本题考查了因式分解，掌握因式分解的基本方法并能根据多项式的特点准确选择分解方法是

解题的关键.

19.5.

【分析】

先将2a2+3a-4=0化为2/+34=4,再对代数式进行化简，将2〃+3a=4整体代入即可.

【详解】

解：V2a2+3«-4=0,

/.2a2+3。=4.

11

原式=66+3a-4/