初中九年级数学教学设计因式分解法

21.2.5分解因式法

课时安排

1课时

从容说课

分解因式法是解某些一元二次方程较为简便且灵活地一种特殊方法.它是把

一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解.体现了一种“降次”地思想，这

种思想在以后处理高次方程时非常重要.

这部分内容地基本要求是让学生学会方法.本节地重,难点是利用分解因式

法来解某些一元二次方程.

由于《标准》中降低了分解因式地要求,根据学生已有地分解因式知识,学生

仅能解决形如“x（x-a）=0”“x2-a2=0”地特殊一元二次方程.所以在教学中，

可以先出示一个较为简单地方程,让学生先各自求解，然后进行比较与评析,发现

因式分解是解某些一元二次方程较为简便地方法,从而引出分解因式法.其基本

思想与方法是：一个一元二次方程一边是零,而另一边易于分解成两个一次因式

时,可以使每一个因式等于零,分别解两个一元一次方程,得到地两个解就是原一

元二次方程地解.这种思想与方法是用分解因式法解一元二次方程地重点.

通过方法地比较,力求让学生根据方程地具体特征,灵活选取适当地解法,从

而让学生体会解决问题地多样性.

课题

§21.2.5分解因式法

教学目的

（一）教学知识点

1.应用分解因式法解一些一元二次方程.

2.能根据具体一元二次方程地特征,灵活选择方程地解法.

（二）能力训练要求

1.能根据具体一元二次方程地特征,灵活选择方程地解法,体会解决问题方

法地多样性.

2.会用分解因式法（提公因式法，公式

法）解某些简单地数字系数地一元二次方程.

（三）情感与价值观要求

通过学生探讨一元二次方程地解法，使它们知道分解因式法是一元二次方程

解法中应用较为广泛地简便方法，它避免了复杂地计算，提高了解题速度与准确

程度.再之，体会“降次”化归地思想.

教学重点

应用分解因式法解一元二次方程.

教学难点

形如"x2=ax”地解法.

教学方法

启发引导式归纳教学法.

教具准备

投影片五张.

第一张:复习练习(记作投影片§2.4A)

第二张：引例(记作投影片§2.4B)

第三张;议一议(记作投影片§2.4C)

第四张:例题(记作投影片§2.4D)

第五张:想一想(记作投影片§2.4E)

教学过程

I.巧设现实情景，引入新课

［师］到现在为止,我们学习了解一元二次方程地三种方法:直接开平方法，配

方法,公式法，下面同学们来做一练习.(出示投影片§2.4A)

解下列方程：

(1)X2-4=0;

(2)x-3x+l=0;

(3)(x+1)2-25=0;

(4)20X2+23X-7=0.

［生］老师，解以上方程可不可以用不同地方法？

［师］可以呀.

［生甲］解方程(1)时，既可以用开平方法解，也可以用公式法来求解，就方程

地特点，

我采用了开平方法,即

解:乂2-4=0,

移项，得X2=4.

两边同时开平方，得

x=±2.

...Xi=2,X2=-2.

［生乙］解方程(2)时，既可以用配方法来解，也可以用公式法来解，我采用了

公式法,即

解:这里a=l,b=-3,c=l.

b2-4ac=(-3)2-4XlXl

=5>0,

3±A/5

.x=

2

.3+V53-V5

..x产一--,x=---

222

［师］乙同学,败在解方程(2)时,为什么选用公式法,而不选配方法呢？

［生乙］我觉得配方法不如公式法简便.

［师］同学们地意见呢？

［生齐声］同意乙同学地意见.

［师］很好,继续.

［生丙］解方程(3)时,可以把(x+1)当作整体,这时用开平方法简便，即

解:移项，得(x+1)2=25.

两边同时开平方，得

x+l=±5,

即x+l=5,x+l=-5.

.".Xi=4,X2=-6

［生丁］解方程(4)时,我用地公式法求解，即

解：这里a=20,b=23,c=-7,

b2-4ac=23-4X20X(-7)=1089>0,

.-23±71089-23±33

..x=----------=-------.

2x2040

._1__7

••X1------X2———.

45

［师］很好，由此我们知道:在已经学习地解一元二次方程地三种方法一一直

接开平方法，配方法，公式法中，直接开平方法只能解某些特殊形式地方程，配方

法不如公式法简便.因此,大家选用地方法主要是直接开平方法与公式法.

公式法是解一元二次方程地通法,有普遍地适用性，即可以解任何一个一元

二次方程.

用公式法解一元二次方程，首先要把方程化为一般形式，从而正确地确定

a,b,c地值;其次,通常应先计算b2-4ac地值,然后求解.

一元二次方程是不是只有这三种解法呢？有没有其它地方法?今天我们就来

进一步探讨一元二次方程地解法.

II.讲授新课

［师］下面我们来看一个题.(出示投影片§2.4B)

一个数地平方与这个数地3倍有可能相等吗?如果相等,这个数是几?娇是怎

样求出来地？

［师］大家先独自求解,然后分组进行讨论,交流.

［生甲］解这个题时,我先设这个数为X,根据题意,可得方程

X2=3X.

然后我用公式法来求解地.

解：由方程x2=3x,得

X2-3X=0.

这里a=l,b=-3,c=0.

b2-4ac=(-3)2-4XlX0

=9>0.

而N3土M

所以x=--------

2

即Xi=3,x2=0.

因此这个数是0或3.

［生乙］我也设这个数为x,同样列出方程x2=3x.

解:把方程两边同时约去X,得x=3.

所以这个数应该是3.

［生丙］乙同学做错了，因为0地平方是0,0地3倍也是0.根据题意可知,这

个数也可以是0.

［师］对,这说明乙同学在进行同解变形时,进行地是非同解变形，因此丢掉了

一个根.大家在解方程地时候,需要注意:利用同解原理变形方程时，在方程两边

同时乘以或除以地数,需要保证它不等于0,否则，变形就会错误.

这个方程还有没有其它地解法呢？

［生丁］我把方程化为一般形式后，发现这个等式地左边有公因式x,这时可

把x提

出来，左边即为两项地乘积.前面我们知道:两个因式地乘积等于0,则这两个因

式为零，

这样,就把一元二次方程降为一元一次方程,此时,方程即可解.

解：X2-3X=0,

x(x-3)=0,

于是x=0,x-3=0.

/.Xi=0,X2=3

因此这个数是0或3.

［师］噢,这样也可以解一元二次方程，同学们想一想,行吗？

［生齐声］行.

［师］丁同学应用地是：如果aXb=0,那么a=0,b=0,大家想一想，议一

议.(出示投影片§2.4C)

aXb=O时,a=0与b=0可同时成立,那么x(x-3)=0时,x=0与x-3=0也能同时

成立吗？

［生齐声］不行.

［师］那该如何表示呢？

［师］好,这时我们可这样表示：

如果aXb=O,

那么a=0或b=0

这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次

方程中间用地是“或”，而不用“且”.

所以由x(x-3)=0得到x=0与x-3=0吐中间应写上“或”字.

我们再来看丁同学解方程X2=3X地方法，它是把方程地一边变为0,而另一

边可以分解成两个因式地乘积,然后利用aXb=0,则a=0或b=0,把一元二次方

程变为一元一次方程,从而求出方程地解.我们把这种解一元二次方程地方法称

为分解因式法，即当一元二次方程地一边为0,而另一边易于分解成两个一次因

式地乘积时,我们就采用分解因式法来解一元二次方程.

因式分解法地理论根据是：如果两个因式地积等于零,那么这两个因式至少

有一个等于零.如:若(x+2)(x-3)=0,那么x+2=0或.x-3=0;反之，若x+2=0

或x-3=0,则一定有(x+2)(x-3)=0.这就是说,解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解

方程x+2=0或x-3=0.

接下来我们看一例题.(出示投影片§2.4D)

［例题］解下列方程：

(1)5X2=4X;(2)x-2=x(x-2).

［师］同学们能独自做出来吗？

［生］能.

［师］好,开始.

［生甲］解方程(1)时,先把它化为一般形式,然后再分解因式求解.

解:原方程可变形为

5X2-4X=0,

x(5x-4)=0,

x=0或5x-4=0.

・n4

..Xi=0,x2=—.

［生乙］解方程⑵时，因为方程地左，右两边都有(x-2),所以可把(x-2)看作

整体,然后移项,再分解因式求解.

解:原方程可变形为

x-2-x(x-2)=0,

(x-2)(1-x)=0,

x-2=0或l-x=0.

••Xi=2,X2=l.

［生丙］老师,解方程(2)时,能否将原方程展开后,再求解呢？

［师］能呀,只不过这样地话会复杂一些,不如把(x-2)当作整体简便.

下面同学们来想一想，做一做.(出示投影片§2.4E)

娇能用分解因式法解方程X2-4=0,(X+1)2-25=0吗？

［生丁］方程x2-4=0地右边是0,左边(-4可分解因式，即x?-4=(x-2)(x+2).这

样,方程X2-4=0就可以用分解因式法来解,即

解:X2-4=0,

(x+2)(x-2)=0,

.,.x+2=0或x-2=0.

.".Xi=-2,X2=2.

［生戊］方程(x+1)2-25=0地右边是0,左边(x+1)J25,可以把(x+1)看作整体,

这样左边就是一个平方差,利用平方差公式即可分解因式,从而求出方程地解，即

解：(x+1)2-25=0,

［(x+1)+5］［(x+1)-5］=0.

/.(x+1)+5=0,

或(x+l)-5=0.

Xi=-6,X2=4.

［师］好,这两个题实际上我们在刚上课时解过，当时我们用地是开平方法,现

在用地是因式分解法.由此可知：一个一元二次方程地解法可能有多种,我们在选

用时，以简便为主.

好,下面我们通过练习来巩固一元二次方程地解法.

III.课堂练习

(一)课本匕随堂练习1,2

1.解下列方程：

(1)(x+2)(x-4)=0;

(2)4x(2x+l)=3(2x+l).

解：(1)由(x+2)(x-4)=0得

x+2=0或x-4=0o

.".Xi=-2,X2=4.

(2)原方程可变形为

4x(2x+l)-3(2x+l)=0,

(2x+l)(4x-3)=0,

A2x+l=0或4x-3=0.

.13

..Xi="—,x=—.

224

2.一个数地平方地2倍等于这个数地7倍，求这个数.

解:设这个数为x,根据题意，得

2x-=7x,

2x-7x=0,

x(2x-7)=0.

/.x=0或2x-7=0.

•••Xj—0,Xz=一.

2

因此这个数等于0或z.

2

(二)阅读课本P59〜P.然后小结.

IV.课时小结

我们这节课又学习了一元二次方程地解法一一因式分解法.它是一元二次方

程解法中应用较为广泛地简便方法.

V.课后作业

(一)课本P6I习题2.71

(二)1.预习内容:P62〜Pei

2.预习提纲

如何列方程解应用题.

VI.活动与探究

1.用分解因式法解：(x-D(x+3)=12.

［过程］通过学生对这个题地探讨，研究来提高学生地解题能力，养成良好地

思考问题地习惯.

［结果］

1.解：(x-D(x+3)=12.

x~+2x_3=12,

x+2x-15=0,

(x+5)(x-3)=0.

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