人教A版新教材高中数学第二册学案1：8. 6.3 平面与平面垂直

8.6.3平面与平面垂直

『导学聚焦』

考点学习目标核心素养

理解二面角的有关概念，会求简

二面角直观想象、数学运算

单的二面角的大小

理解两平面垂直的定义，掌握两

平面与平面垂直的判定定理直观想象、逻辑推理

平面垂直的判定定理

理解平面和平面垂直的性质定

理，并能用文字、符号

平面与平面垂直的性质定理和图形语言描述定理，能应用面直观想象、逻辑推理

面垂直的性质定理

解决有关的垂直问题

『问题导学』

预习教材内容，思考以下问题：

1.二面角的定义是什么？

2.如何表示二面角？

3.二面角的平面角的定义是什么？

4.二面角的范围是什么？

5.面面垂直是怎样定义的？

6.面面垂直的判定定理的内容是什么？

7.面面垂直的性质定理的内容是什么？

『新知初探』

1.二面角

(1)定义：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的，这两个半

平面叫做二面角的面.

(2)图形和记法

记作：二面角或二面角或二面角或二面角.

2.二面角的平面角

(1)定义：在二面角a-//的棱/上一点O,以点。为垂足，在半平面a和6内分别作棱/的

射线0A和0B,则射线和0B构成的NAOB叫做二面角的平面角.

(2)图形、符号及范围

图形:

aC\/3=l,00

符号：O4ua,08u£0/AO8是二面角的平面角.

OA±l,OBLI,

范围：<ZAOB<.

(3)规定：二面角的大小可以用它的来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是

多少度.平面角是的二面角叫做直二面角.

■名师点拨

(1)二面角的大小与垂足。在/上的位置无关.一个二面角的平面角有无数个，它们的大小

是相等的.

(2)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱

上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可.这

三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直.

3.平面与平面垂直

(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直，

平面a与夕垂直，记作.

(2)判定定理

文字语言图形语言符号语言

如果一个平面过另一个平面的

}Oa_L夕

7ZcaJ

,那么这两个平面垂直ZrzEzy

■名师点拨

定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线.

4.平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交

文字语言

线，那么这条直线与另一个平面

a.L/3、

aC0=l

符号语言)=

aua

aA_l)

3

图形语言

①面面垂直=线面垂直

作用

②作面的垂线

■名师点拨

对面面垂直的性质定理的理解

(1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.

(2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.

『基础自测』

11判断(正确的打7"，错误的打“x”)

(1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关.()

(2)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的.()

(3)如果平面a内有一条直线垂直于平面/内的一条直线，则a_LA()

(4)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面.()

(5)如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.()

窿在二面角a-1-P的棱I上任选一点O,若是二面角a-1-P的平面角，则必须具有的条

件是()

A.A01B0,AOua,BOu0

B.AOLl,BOLl

CABLI,AOca,BOu0

D.AO±Z,BOLl,且AOua,BOu0

❸已知直线/，平面a,则经过/且和a垂直的平面（）

A.有1个B.有2个

C.有无数个D.不存在

E1若平面a_L平面£,平面£_L平面贝U（）

A.a//yB.a_Ly

C.a与y相交但不垂直D.以上都有可能

（3如图，P是二面角a-//内的一点，PALa,PB邛,垂足分别为A,8.若NAP8=80。，则

二面角a-1-P的大小为W.

『探究互动』

探究点一二面角的概念及其大小的计算

『例1』（1）在正方体ABCD-AiBiCQi中，截面48。与底面ABCD所成锐二面角4-aX4

的正切值为（）

C.A/2D.A/3

（2）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的

大小关系为（）

A.相等B.互补

C.相等或互补D.不确定

【规律方法】

（1）求二面角大小的步骤

简称为“一作二证三求”.

（2）作出二面角的平面角的方法

方法一：（定义法）在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.

如图所示，ZAOB为二面角a-a-p的平面角.

方法二：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连

接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.

如图所示，NAFE为二面角的平面角.

A

方法三：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线,

这两条交线所成的角即为二面角的平面角.

如图所示，ZAOB为二面角a-怵的平面角.

『提醒』二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作

平面角的顶点.

『跟踪训练』若尸是NBC所在平面外一点，而APBC和△ABC都是边长为2的正三角形,

PA=y[6,那么二面角P-BC-A的大小为W.

ROC.

探究点二平面与平面垂直的判定

角度一利用定义证明平面与平面垂直

『例2』如图，在四面体A8CD中，BD=pa,AB=AD=CB=CD=AC=a.

求证：平面AB。_L平面BCD

角度二利用判定定理证明平面与平面垂直

『例3』如图，在四棱锥P-ABC。中，若B4_L平面ABC。且四边形A8C。是菱形.求证：平

面融C_L平面PBD.

【规律方法】

证明平面与平面垂直的两种常用方法

（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是:

①找出两相交平面的平面角；

②证明这个平面角是直角；

③根据定义，这两个相交平面互相垂直.

（2）利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找

一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：

『跟踪训练」如图所示，四边形48CD为正方形，平面A8CQ,PD//QA,QA=AB=^

PD证明：平面PQC_L平面。CQ.

探究点三面面垂直的性质定理的应用

『例4』已知尸是"BC所在平面外的一点，且必_L平面ABC,平面以C_L平面P2C,求

证：BCLAC.

『规律方法』

利用面面垂直的性质定理应注意的问题

若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线

线垂直.应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须

在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线.

『跟踪训练』如图，AABC是正三角形，若AE_L平面ABC,平面BCD_L平面ABC,BD=

CD,求证：AE〃平面BCD

探究点四垂直关系的综合问题

『例5』如图，AABC为正三角形，EC_L平面ABC,BD//CE,且CE=CA=2BD,M是EA

的中点，求证:

(2)平面8£>M_L平面ECA；

(3)平面。EA_L平面EC4.

【规律方法】

垂直关系的转化

在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的

判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：

面面垂直的判定

I_一线面垂直的判定面面垂直的判定*

线线垂直-2线面垂直^=====^面面垂直

线面垂直的面面垂直的

性质是线线性质是线面

垂直的判定垂直的判定

『跟踪训练』如图，在四棱锥尸48a）中，AB//CD,AB1AD,CD^2AB,平面出。_1底

ffiABCD,PALAD,E和尸分别是CD和PC的中点.求证：

(1).底面A8CD；

(2)BE〃平面PAD-,

(3)平面BE/LL平面尸CD

『达标反馈』

1.给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）

①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交

线平行；

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面;

③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.

A.4B.3

C.2D.1

2.在下列关于直线相，/和平面a,夕的说法中，正确的是（）

A.若仁£,且a_L£,则Z±a

B.若且a〃£,贝iJ/_La

C.若I邛,且a邛,则l//a

D.若aC0=m,且I//m,则I//a

3.在三棱锥P-A8C中，PA=PB=AC=BC=2,PC=1,AB=2y[3,则二面角尸-AB-C的大小

为W.

4.已知平面a,/和直线机，I,则下列说法：

①若0,10,aC\B=m,lA_m,则/_1_夕；

②若ang=m,lua,U.m,则/_!_/；

③若aj,lua,则L£；

④若a_L£,aC\B=m,lua,lA_m,则l邛.

其中正确的说法序号为W.

5.如图，四边形ABC。，BD=2事,AB=2,AD=4,将ACBD沿3。折起到AEB。的位置,

使平面EDB_L平面求证：ABLDE.

参*考*答*案★

『新知初探』

1.(1)两个半平面棱

(2)a-l-/3P-AB-QP-l-Q

2.(1)任取垂直于

(2)0°180°

(3)平面角直角

3.(1)直二面角

(2)垂线

4.垂直a邛

『基础自测』

n『答案』：(1)X(2)7(3)X(4)X(5)X

a『答案』：D

❸『答案』：C

G『解析」：选D.由题意知，a与y可能平行，也可能相交.如图，a与5平行，a与y相交.

『探究互动』

探究点一二面角的概念及其大小的计算

『例U

『『解析』』(1)如图所示，连接AC交3。于点。，连接4。，。为的中点,

因为Ai£>=4B所以在△48。中，AiOLBD.

又因为在正方形48CD中，AC±BD,

所以N4OA为二面角At-BD-A的平面角.

、历1

设AAi=l,则A0=2，所以tanNAiOA=^^=<5.

2

(2)反例：如图，在正方体ABCZXAiSGA中，E,尸分别是。，GA的中点，二面角

O-AAi-E与二面角81-A8-C的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等,

『『答案』』(1)C(2)D

『跟踪训练』

『解析」：如图，取BC的中点0,连接。4,0P,则NP0A为二面角P3C-A的平面角,

0P=0A=y[3,PA=y[6,所以△P0A为直角三角形，ZPOA=9Q°.

『答案」:90°

探究点二平面与平面垂直的判定

角度一利用定义证明平面与平面垂直

r例2』

『证明』因为AAB。与△28是全等的等腰三角形，

所以取BO的中点E,连接AE,CE,贝l|AE_LB。，BDLCE.

1/2

在△A3。中，AB=a,BE—^BD=2a,

所以AE=、AB2—BE2=^a,同理”=与,

在△AEC中，AE=CE=2。，AC=a.

由于所以AE_LCE,

NAEC是二面角A-BD-C的平面角，

又因为/AEC=90。，所以二面角A-BD-C为直二面角，

所以平面A8Z)J_平面BCD.

角度二利用判定定理证明平面与平面垂直

『例3』

『证明』因为B4_L平面ABC。，BOu平面ABC。，所以8Z)_L外.

因为四边形ABC。是菱形，所以

又必ClAC=A,所以B£)_L平面E4C.

又因为3Du平面PBD,所以平面B4C_L平面PBD.

『跟踪训练』

证明：由四边形ABCD为正方形，可得CD_LA。，

又P£)_L平面ABC。，所以PZ)_LC。，PDLAD,

故CD_L平面AQPD,从而CE»_LPQ.

如图所示，取尸。的中点E,连接。E

因为尸QA=^PD,贝！］OE〃A。，MDE=AQ,

从而四边形AQED是平行四边形，

贝ijQE〃AD,所以QE_LP。，所以Z)Q=QP.

设。4=1,则AB=1,尸£)=2.

在尸中，有DQ=QP=®尸£)=2.

所以。。2+。尸=尸。2,故/「。。=90。，gpDQLPQ.

XCDHDQ^D,所以PQ_L平面。C0.

又PQu平面PQC,所以平面尸0C,平面DCQ.

探究点三面面垂直的性质定理的应用

『例4』

『证明』如图，在平面B4C内作AD_LPC于点D,

因为平面B4C_L平面PBC,平面B4CC平面PBC=PC,AOu平面PAC,

5.AD±PC,所以A£)_L平面PBC,

又BCu平面P8C,所以AO_LBC.

因为以，平面ABC,BCu平面ABC,所以R1_L8C,

因为A£»nB4=A,所以2C_L平面B4C,

又ACu平面B4C,所以8cHe

『跟踪训练』

证明：如图，取BC的中点M,连接。M,AM,

因为BD=C£>,所以。M_LBC

又因为平面BCD_L平面ABC,DWu平面BCD,

两平面交线为3C,所以。ML平面ABC,

又A从L平面ABC,所以AE〃。心

又因为AEC平面8c。，OMu平面BCD,

所以AE〃平面BCD.

探究点四垂直关系的综合问题

r例5』

『证明』(1)如图，取EC的中点孔连接。咒

因为EC_L平面ABC,8Cu平面48C,

所以EC_LBC,同理可得BZ)_LAB,

易知£>尸〃BC,所以。尸_LEC.

在RtAEFD和RtADBA中，

因为所=*C,EC=2BD,所以

又FD=BC=AB,所以RtAEFD之RtADBA,故。E=D4.

(2)取CA的中点N,连接MN,BN,

则A/N〃EC,且A/N=3EC.

因为EC〃B。，BD=；EC,

所以所以N点在平面BOM内.

因为EC_L平面ABC,所以EC_LBN.

XCA±BN,ECPiCA=C,所以BALL平面EGA.

因为BN在平面MNBD内，所以平面MNBZ5_L平面ECA,

即平面平面ECA.

(3)由(2)易却DM〃BN,BNJ_平面ECA,

所以£)M_L平面ECA.

又OWu平面DEA,所以平面Z)EA_L平面ECA.

『跟踪训练』

证明：(1)因为平面州J9_L底面ABCZ),且垂直于这两个平面的交线AD,

所以B41.