北师大版初中八年级数学上册专题小卷(3)勾股定理与折叠问题课件

专题小卷（3）勾股定理与折叠问题类型一折叠后一边落在另一边上1.(2024山东泰安新泰期末,12,★☆☆)如图①,在Rt△ABC纸片中,AB=4,AC=3,BC=5,将Rt△ABC

纸片按图②方式折叠,使点A恰好落在斜边BC上的点E处,BD为折痕,则下列四个结论:①BD平分

∠ABC;②AD=DE;③DE=EC;④△DEC的周长为4.其中正确的个数为

()

A.1

B.2

C.3

D.4C由折叠的性质得∠ABD=∠CBD,∠BED=∠A=90°,AD=DE,∴BD平分∠ABC,故①②正确;假设DE=EC,∵∠CED=90°,∴∠CDE=∠C=45°,∵∠A=90°,∴∠ABC=∠C=45°,∴AB=AC,与AC=3,AB=4矛盾,∴DE≠EC,故③错误;由折叠的性质得BE=AB=4,∴CE=BC-BE=5-4=1,∴△DEC的周长=DE+DC+CE=AD+DC+CE=AC+CE=3+1=4,故④正确.故正确的是①②④,共3个.2.(2023广东东莞石碣中学月考,21,★★☆)如图,长方形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB

边落在对角线AC上,点B落在点F处,折痕为AE,且BE=3.(1)求CF的长.(2)求AB的长.

(1)∵四边形ABCD为长方形,AD=8,∴∠B=90°,AD=BC=8,∵BE=3,∴CE=BC-BE=8-3=5,根据折叠的性质可得,∠B=∠AFE=90°,BE=EF=3,AB=AF,∴∠CFE=90°,在Rt△CEF中,CF=

=

=4.(2)设AB=AF=x,则AC=AF+CF=x+4,在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,∴x2+82=(x+4)2,解得x=6,∴AB=6.利用勾股定理解决折叠问题的步骤:(1)利用折叠的性质找到相等的角和边;(2)选择或构造直角

三角形;(3)利用勾股定理列方程求解.方法解读3.分类讨论思想

(2024河南洛阳偃师期末改编,15,★★★)如图,在长方形ABCD中,AB=5,BC=12,

E是边AD上的一个动点,把△BAE沿BE折叠,点A落在A'处,当△A'DE是直角三角形时,求DE的长.

类型二折叠后顶点落在长方形内部①当∠EA'D=90°时,如图,

易知点B,A',D共线,∵四边形ABCD为长方形,∴∠A=90°,BC=AD=12,∴BD=

=13,根据折叠的性质可得,AE=A'E,AB=A'B=5,∴A'D=BD-A'B=8,设AE=A'E=x,则DE=12-x,在Rt△A'DE中,根据勾股定理得A'E2+A'D2=DE2,∴x2+82=(12-x)2,解得x=

,∴AE=

,∴DE=

.②当∠A'ED=90°时,如图,

∴∠AEA'=90°,根据折叠的性质可得,∠AEB=∠A'EB,∵∠AEB+∠A'EB=90°,∴∠AEB=∠A'EB=45°,∴△ABE为等腰直角三角形,AB=AE=5,∴DE=AD-AE=12-5=7.综上,DE=

或7.4.(2024广东深圳盐田期末,15,★★★)如图,在长方形ABCD中,AB=6,BC=8,点E为AB上一点,将△

BCE沿CE翻折至△FCE,延长CF交AB于点O,交DA的延长线于点G,且EF=AG,求BE的长.

∵四边形ABCD为长方形,AB=6,BC=8,∴AB=CD=6,BC=AD=8,∠B=∠D=∠BAD=90°,由折叠可知,∠B=∠CFE=90°,BE=EF,BC=CF=8,∴∠EFO=90°=∠GAO,在△EFO和△GAO中,

∴△EFO≌△GAO(AAS),∴OF=OA,OE=OG,∴OF+OG=OA+OE,即AE=FG,设BE=x,则EF=AG=x,AE=FG=AB-BE=6-x,∴DG=AD+AG=8+x,CG=CF+FG=8+6-x=14-x,在Rt△CDG中,CD2+DG2=CG2,∴62+(8+x)2=(14-x)2,解得x=

,∴BE=

.类型三折叠后点与点重合5.(2024河南郑州一中期中,2,★★☆)如图所示,长方形纸片ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,现将其沿

EF对折,使得点C与点A重合,点D落在点D'处,则AF的长为

()

A.3cm

B.

cmC.5cm

D.2

cmC∵四边形ABCD是长方形,AB=4cm,BC=8cm,∴CD=AB=4cm,AD=BC=8cm,∠D=90°.设AF=xcm,则DF=(8-x)cm,根据折叠的性质得DF=D'F=(8-x)cm,∠D'=∠D=90°,AD'=CD=4cm,在Rt△AD'F中,∵AF2=AD'2+D'F2,∴x2=42+(8-x)2,解得x=5,∴AF=5cm.6.(2024内蒙古包头九原期中,22,★★☆)如图所示,在长方形ABCD中,AB=CD=5,BC=AD=3.(1)如图①,将长方形ABCD沿EF翻折,使点A与点C重合,点D落在点D'处,求BF的长.(2)如图②,将△ABD沿BD翻折,若A'B交CD于点E,求CE的长.(3)如图③,P为AD边上的一点,将△ABP沿BP翻折得到△A'BP,A'B、A'P分别交CD边于点E、F,且

DF=A'F,求CE的长.

(1)根据折叠的性质得AF=CF,∵四边形ABCD是长方形,∴∠B=90°,设BF=x,则AF=CF=AB-BF=5-x,在Rt△BFC中,∵BF2+BC2=FC2,∴x2+32=(5-x)2,解得x=

,∴BF=

.(2)∵四边形ABCD是长方形,∴∠A=∠C=90°,根据折叠的性质得∠A=∠A'=90°,AD=A'D,又BC=AD,∴A'D=CB,∠A'=∠C,∵A'B交CD于点E,∴∠A'ED=∠CEB,∴△A'ED≌△CEB(AAS),∴ED=EB,设CE=y,则ED=EB=DC-CE=5-y,在Rt△BCE中,∵CE2+BC2=BE2,∴y2+32=(5-y)2,解得y=

,∴CE=

.(3)∵四边形ABCD是长方形,∴∠A=∠D=90°,根据折叠的性质得∠A'=∠A=90°,AP=A'P,AB=A'B=5,∴∠D=∠A'=90°,又∵DF=A'F,∠DFP=∠A'FE,∴△DFP≌△A'FE(ASA),∴DP=A'E