北师大版初中八年级数学上册专题小卷(5)比较含有二次根式的式子大小的8种方法课件

专题小卷（5）比较含有二次根式的式子大小的8种方法类型一平方法1.(★★☆)在二次根式的比较大小中,有时候用“平方法”会取得很好的效果.例如,比较a=2

和b=3

的大小,我们可以把a和b分别平方,因为a2=12,b2=18,所以a2<b2,所以a<b.请利用“平方法”解决下列问题:(1)已知c=4

,d=2

,则c

d(填“>”“<”或“=”).(2)猜想m=2

+

,n=2

+

的大小关系,并证明.(1)∵c=4

,d=2

,∴c2=(4

)2=32,d2=(2

)2=28,∴c2>d2,∴c>d.故答案为>.(2)m<n.证明:∵m=2

+

,n=2

+

,∴m2=(2

+

)2=20+6+4

=26+4

,n2=(2

+

)2=12+14+4

=26+4

,∴m2<n2,∴m<n.2.(★★☆)用平方法比较二次根式的大小:-5

与-3

.(-5

)2=75,(-3

)2=45,∵75>45,∴-5

<-3

.当a>0,b>0时,若a2>b2,则a>b;当a<0,b<0时,若a2>b2,则a<b.方法点拨类型二作商法3.(★★☆)用作商法比较下列根式大小:(1)

与

.(2)8

与14

.(1)

=

=

>1,所以

>

.(2)

=

>1,所以8

>14

.当a>0,b>0时,若

>1,则a>b;若

=1,则a=b;若

<1,则a<b.方法点拨类型三分母有理化法4.(★★☆)阅读材料:在二次根式中有种相辅相成的“对子”,如(

+3)×(

-3)=-4,(

+

)×(

-

)=1,它们的积不含根号,我们说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式除法可以这样解:如

=

=

,

=

=7+4

.像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去,叫分母有理化.解决问题:(1)比较大小:

(填“>”“<”或“=”).(2)计算:

+

+

+…+

.(1)

=

=

,

=

=

,∵

>

,∴

>

.故答案为>.(2)

+

+

+…+

=

+

+

+…+

=

+

+

+…+

=

+

+

+…+

=1-

.5.(★★☆)比较大小:

与

.

-

=

-

=

+2

-(

+

)=

+2

-

-

=2

-

=

-

,∵

-

<0,∴

<

.对于分母形如

+

或

-

的式子,可先分母有理化,再比较大小.方法点拨类型四分子有理化法6.(★★☆)我们在学习二次根式时,熟悉了分母有理化及其应用.其实,有一个类似的方法叫做分

子有理化.例如:

-

=

=

.分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如:比较

-

和

-

的大小.解:

-

=

,

-

=

.因为

+

>

+

,所以

-

<

-

.利用上面的方法,解决下列问题:(1)比较

-

和

-

的大小.(2)求y=

-

+3的最大值.(1)

-

=

=

,

-

=

=

,∵

+

>

+

,∴

-

<

-

.(2)由题意得x+1≥0,x-1≥0,∴x≥1,∴y=

-

+3=

+3=

+3,当x=1时,分母

+

有最小值,是

,∴y=

+3的最大值是3+

,即y=

-

+3的最大值是3+

.7.(★★☆)已知a=

-

,b=

-

,c=

-

,比较a,b,c的大小.a=

=

,b=

=

,c=

=

,∵

+

>

+

>

+

,∴

-

<

-

<

-

,即a<b<c.类型五作差法8.(★★☆)“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法,即

例如:比较

-2与2的大小.因为

-2-2=

-4,又因为

>

,所以

>4,所以

-4>0,所以

-2>2.请根据上述方法解答以下问题:(1)

的整数部分是

,7-

的小数部分是

.(2)比较2-

与-3的大小.(3)比较

+

与2

的大小.(1)∵5<

<6,∴

的整数部分是5,∴-6<-

<-5,∴1<7-

<2,∴7-

的整数部分是1,∴7-

的小数部分是7-

-1=6-

.故答案为5;6-

.(2)∵2-

-(-3)=5-

=

-

>0,∴2-

>-3.(3)

+

-2

=(

-

)-(

-

)=

-

=

-

,∵

+

>

+

,∴

-

<0,∴

+

<2

.9.(★★☆)已知a=2-

,b=

-

,c=

-1,那么a,b,c的大小关系是()A.a<b<c

B.a<c<bC.c<b<a

D.b<c<aA类型六倒数法∵a=2-

,b=

-

,c=

-1,∴

=

=2+

,

=

=

+

,

=

=

+1,∵2+

>

+

>

+1,∴

>

>

,∴a<b<c.当ab>0时,若

>

,则a<b.方法点拨类型七特殊值法10.(★★☆)用“<”连接x,

,x2,

,其中,0<x<1.∵0<x<1,∴取特殊值x