苏科版初中八年级数学上册2-5等腰三角形的轴对称性第三课时等边三角形的概念、性质和判定课件

第2章轴对称图形2.5等腰三角形的轴对称性第三课时等边三角形的概念、性质和判定基础过关全练知识点4等边三角形的概念1.(新独家原创)如图,两个全等的等边三角形的边长为1cm,

一个微型机器人由A点开始按A→B→C→D→B→E→A的顺

序沿等边三角形的边循环运动,运动2024cm后停止,则这个

微型机器人停在

()A.A处B.B处C.C处

D.E处C解析∵两个全等的等边三角形的边长为1cm,∴微型机器

人由A点开始按A→B→C→D→B→E→A的顺序沿等边三角

形的边循环运动一圈为6cm.∵2024÷6=337……2,∴这个微型机器人停在C处.故选C.知识点5等边三角形的性质和判定2.(2023甘肃金昌中考)如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,

以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠

DEC=

()CA.20°

B.25°

C.30°

D.35°解析在等边△ABC中,∠ABC=60°,∵BD是AC边上的高,∴

BD平分∠ABC,∴∠CBD=

∠ABC=30°.∵BD=ED,∴∠DEC=∠CBD=30°.故选C.3.(教材变式·P63T1)如图,在一张长方形纸片上画一条线段

AB,将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折,重叠部分为

△ABE,若△ABE为等边三角形,则∠1=

°.60解析∵△ABE为等边三角形,∴∠BAE=60°,∴∠BAD=120°.由翻折可得∠BAD'=∠BAD=120°,∴∠1=∠BAD'-∠BAE=120°-60°=60°.故答案为60.4.(2022吉林长春期末)如图,在等边△ABC中,点D在边BC上,

过点D作DE∥AB交AC于点E,过点E作EF⊥DE,交BC的延长

线于点F.(1)求∠F的度数.(2)求证:DC=CF.(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∴∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°.(2)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠EDC=∠

ECD,∴△DEC是等边三角形,∴CE=CD.∵∠ECD=∠F+∠CEF,∠F=30°,∴∠CEF=∠ECD-∠F=30°=∠F,∴EC=CF,∴DC=CF.5.(2024江苏常州新北期中,8,★★☆)如图,△ABC是等边三角

形,D是线段BC上一点(不与点B,C重合),连接AD,点E,F分别

在线段AB,AC的延长线上,且DE=DF=AD,点D从B运动到C的

过程中,△CDF周长的变化规律是

()A.不变

B.一直变小C.先变大,后变小

D.先变小,后变大D能力提升全练解析∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,∴∠EBD=∠DCF=120°.∵DF=AD,∴∠CAD=∠F.∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°,∠CDF+∠F=∠ACB=60°,∴∠BAD=∠CDF.∵DE=AD,∴∠BAD=∠E,∴∠E=∠CDF.在△BDE和△CFD中,

∴△BDE≌△CFD(AAS),∴BD=CF,∴△CFD的周长=CD+CF+DF=CD+BD+AD=BC+

AD.∵在点D从B运动到C的过程中,BC的长不变,AD的长先变小,

后变大,∴在点D从B运动到C的过程中,△CFD的周长先变

小,后变大.故选D.6.(手拉手模型)(2024上海杨浦期末,16,★★☆)如图,已知O是

等边三角形ABC内一点,D是线段BO延长线上一点,且OD=

OA,∠AOB=120°,那么∠BDC=

度.60解析∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.∵∠

AOB=120°,∴∠AOD=180°-∠AOB=60°.又∵OD=OA,∴△

AOD为等边三角形,∴AO=AD,∠OAD=60°,∠ADO=60°.∴∠

BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°,∴∠BAO=∠CAD.在△

BAO和△CAD中,

∴△BAO≌△CAD(SAS),∴∠ADC=∠AOB=120°,∴∠BDC=∠ADC-∠ADO=60°.故答案

为60.7.(2024江苏南京建邺月考,21,★☆☆)如图,在△ABC中,AB=

AC,∠BAC=120°,边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、

D,连接AE、AD.求证:△AED是等边三角形.证明∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=

×(180°-120°)=30°.∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、D,∴AE=BE,AD=CD,∴∠BAE=∠B=30°,∠CAD=∠C=30°,∴∠AED=

∠B+∠BAE=60°,∠ADE=∠C+∠CAD=60°,∴∠DAE=180°-

∠AED-∠ADE=60°,∴△ADE是等边三角形.8.(情境题·现实生活)(2024江苏连云港灌南期中,25,★★☆)如图①,遮阳伞伞柄垂直于地面,其示意图如图②所示.当伞收紧时,点P与点A重合;当伞慢慢撑开时,点P由A向B移动;当点P到达点B时,伞张开的角度最大.已知伞在撑开的过程中,总有PM=PN,CM=CN.(1)求证:PC垂直平分MN.(2)若CN=PN=60cm,当∠CPN=60°时,求AP的长.解析(1)证明:在△CMP和△CNP中,

∴△CMP≌△CNP(SSS),∴∠MPB=∠NPB.∵PM=PN,∴△PMN是等腰

三角形,∴PB⊥MN,BM=BN,∴PC垂直平分MN.(2)∵CN=PN=60cm,当伞收紧时,点P与点A重合,∴AC=CN+

PN=120cm.当∠CPN=60°时,∵CN=PN,∴△CPN是等边三角

形,∴PC=PN=60cm,∴AP=AC-PC=60cm.9.(推理能力)(2024北京西城期中)如图①,等边△ABC中,D是

边AB上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC,连接AE.(1)△DBC和△EAC全等吗?请说说你的理由.(2)证明:AE∥BC.(3)如图②,当动点D运动到边BA的延长线上时,仍以CD为边

向右作等边△EDC,则是否仍有AE∥BC?证明你的猜想.素养探究全练解析(1)△DBC和△EAC全等.理由:∵△ABC与△EDC为均

等边三角形,∴∠ACB=60°,∠DCE=60°,BC=AC,DC=EC,∴∠

BCD=60°-∠ACD,∠ACE=60°-∠ACD,∴∠BCD=∠ACE.在

△DBC和△EAC中,

,∴△DBC≌△EAC(SAS).(2)证明:∵△DBC≌△EAC,∴∠EAC=∠B=60°.又∵∠ACB=

60°,∴∠EAC=∠ACB,∴AE∥BC.(3)AE∥BC.证明:∵△ABC、△EDC均为等边三角形,∴BC=AC,DC=CE,∠BCA=∠DCE=60°,∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+

∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在△DBC和△EAC中,

∴△DBC≌△EAC(SAS),∴∠EAC=∠B=60°.又∵∠ACB=60°,∴∠EAC=∠ACB,∴AE∥BC.微专题

共顶点的等腰三角形例如图,AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF,BE,CF交于M,连接AM.(1)求证:BE=CF.(2)若∠BAC=90°,求证:BE⊥CF.证明(1)∵∠BAC=∠EAF,∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠

CAE,∴∠BAE=∠CAF.在△CAF和△BAE中,

,∴△CAF≌△BAE(SAS),∴BE=CF.(2)设AC与BE交于O.由(1)知△CAF≌△BAE,∴∠ABE=∠ACF.∵∠BAC=90°,∴∠ABO+∠BOA=90°.∵∠

BOA=∠COM,∴∠COM+∠ACF=90°,∴∠CMO=180°-90°=90°,∴BE⊥CF.1.(等腰三角形→等边三角形)如图,在△ABC中,分别以AC、

BC为边向外作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接

AE、BD交于点O,则∠AOB的度数为

.120°变式解析设AC与BD交于点H.∵△ACD,△BCE都是等边三角

形,∴CD=CA,CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°,∴∠ACD+∠ACB

=∠BCE+∠ACB,即∠DCB=∠ACE.在△DCB和△ACE中,

∴△DCB≌△ACE(SAS),∴∠CAE=∠CDB.∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°,∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°,∠DHC=∠OHA,∴∠AOH=∠DCH=60°,∴∠AOB=180°-∠AOH=120°.故答案为120°2.(等腰三角形→等腰直角三角形)(2023江苏南京鼓楼期末)

如图,在△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB,在△EOF中,∠EOF=9

0°,OE=OF,连接AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系?请

说明理由.解析