苏科版初中八年级数学上册2-5等腰三角形的轴对称性第四课时直角三角形的性质课件

第2章轴对称图形2.5等腰三角形的轴对称性第四课时直角三角形的性质基础过关全练知识点6直角三角形斜边上的中线的性质1.(2023湖南株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某

三角形部件的尺寸.如图,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中

点,点A、B对应的刻度为1、7,则CD=

()A.3.5cm

B.3cm

C.4.5cm

D.6cmB解析由题图可得,AB=7-1=6(cm),∵∠ACB=90°,点D为线段

AB的中点,∴CD=

AB=3cm.故选B.2.(2023江苏泰州兴化月考)如图,木杆AB斜靠在竖直墙壁上,

P是AB的中点,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的

底端B也随之沿着射线OM方向滑动,则下滑过程中OP长度

的变化情况是

()

A.逐渐变大

B.逐渐变小C.不变

D.先变大再变小C解析∵P是AB的中点,∠AOB=90°,∴OP=

AB.∵木杆AB的长是定值,∴OP的长度不变.故选C.3.已知直角三角形斜边上的中线是2.5cm,斜边上的高是2

cm,则这个直角三角形的面积是

cm2.5解析根据题意得直角三角形的斜边长为2.5×2=5(cm),则其

面积为

×5×2=5(cm2).故答案为5.4.(2024江苏扬州宝应期中改编)如图,BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=6,BC=10,则△EFM的周长是

.16解析∵BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,BC=10,

∴在Rt△BCE中,EM=

BC=5,在Rt△BCF中,FM=

BC=5,又∵EF=6,∴△EFM的周长=EM+FM+EF=5+5+6=16.故答案为16.5.(教材变式·P68T12)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D

是AB的中点,点E在AC上,点F在BC上,且AE=CF.(1)求证:DE=DF,DE⊥DF.(2)若AC=2,求四边形CEDF的面积.

解析(1)证明:如图,连接CD.

∵BC=AC,∠BCA=90°,∴△ABC是等腰直角三角形,∠A=∠B

=45°.∵D为AB中点,∴BD=CD,CD平分∠BCA,CD⊥AB,∴∠

DCF=45°.在△ADE和△CDF中,

∴△ADE≌△CDF(SAS),∴DE=DF,∠ADE=∠CDF.∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°,即DE⊥DF.(2)∵△ADE≌△CDF,∴S△AED=S△CFD,∴S四边形CEDF=S△ADC.∵D是

AB的中点,∴S四边形CEDF=S△ACD=

S△ACB=

×

×2×2=1.知识点7含30°角的直角三角形的性质6.(2024江苏常州武进期中)如图,∠ABC=60°,AB=6,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线BC方向运动,设点P的运动时间为t(t>0)秒,当△ABP为锐角三角形时,t的取值范围是()A.t>3

B.t>6

C.6<t<12

D.3<t<12D解析当∠APB=90°时,如图1,在Rt△ABP中,∠ABC=60°,∴

∠BAP=30°,∵AB=6,∴BP=

AB=

×6=3.当∠BAP=90°时,如图2,在Rt△ABP中,∠ABC=60°,∴∠APB=

30°,∵AB=6,∴BP=2AB=2×6=12,∴当3<BP<12时,△ABP为锐角三角形,∴3<t<12.故选D.7.(2024江苏泰州兴化期中)如图,△ABC是等边三角形,点D是

边BC上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若BC=6,则

AE+AF=

.9解析∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC=6,∠B=∠C=60°.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°,∴∠EDB=90°-∠B=30°,∠FDC=90°-∠C=30°,∴BE=

BD,CF=

CD,∴BE+CF=

BD+

CD=

BC=3,∴AE+AF=AB+AC-(BE+CF)=9.故答案为9.8.(2024江苏苏州高新区月考)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4cm,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在边AB、BC上匀速移动,它们的速度分别为2cm/s、1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为ts.(1)当t为何值时,△PBQ为等边三角形?(2)当t为何值时,△PBQ为直角三角形?解析在△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°.∵AB=4cm,4÷2=2(s),∴0≤t≤2,BP=(4-2t)cm,BQ

=tcm.(1)当BP=BQ时,△PBQ为等边三角形,即4-2t=t,解得t=

.故当t=

时,△PBQ为等边三角形.(2)若△PBQ为直角三角形,①当∠BQP=90°时,∠BPQ=30°,∴BP=2BQ,即4-2t=2t,解得t=1.②当∠BPQ=90°时,∠BQP=30°,∴BQ=2BP,即t=2(4-2t),解得t

=

.故当t=

或t=1时,△PBQ为直角三角形.9.(2024江苏泰州靖江期中,6,★☆☆)如图,在Rt△ABC中,BD

为△ABC中线,E为AB上一点,且BE=BD,∠ADE=45°,则∠

BDC的度数为

()

A.50°

B.55°

C.60°

D.65°C能力提升全练解析在Rt△ABC中,∵BD为△ABC中线,∴AD=BD=CD=

AC,∴∠ABD=∠A.设∠ABD=∠A=α,∵BE=BD,∴∠BDE=

(180°-α)=90°-

α.∵∠ADE+∠BDE+∠ABD+∠A=180°,∴45°+90°-

α+α+α=180°,∴α=30°,∴∠BDC=∠ABD+∠A=60°.故选C.10.(2024江苏无锡新吴期中,14,★☆☆)如图,四边形ABCD中,

∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=45°,连接AC、BD,M是AC的中

点,连接BM、DM.若AC=10,则△BMD的面积为

.12.5解析∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点,AC=10,∴BM=

DM=AM=

AC=5,∴∠BAM=∠ABM,∠DAM=∠ADM.∵∠BMC=∠BAM+∠ABM,∠DMC=∠DAM+∠ADM,∠BAD=45°,

∴∠BMD=2∠BAD=90°,∴S△BMD=

BM·DM=

×5×5=12.5.故答案为12.5.11.(2024江苏徐州丰县期中,25,★★☆)如图,∠ABC=∠ADC

=90°,E、F分别是AC、BD的中点.(1)求证:EF⊥BD.(2)若∠BAD=30°,AC=10,求BD的长.解析(1)证明:如图,连接BE,DE.

∵∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点,∴BE=

AC,DE=

AC,∴BE=DE.∵F是BD中点,∴EF⊥BD.(2)由(1)可知,AE=BE=DE,∴∠BAE=∠ABE,∠EAD=∠EDA.∵∠BEC=∠BAE+∠ABE,∠CED=∠EAD+∠EDA,∴∠BEC+∠CED=∠BAE+∠ABE+∠EAD+∠EDA=2(∠BAE

+∠EAD)=2∠BAD=2×30°=60°.∵BE=ED,∴△EBD是等边三

角形,∴BD=BE=

AC=

×10=5.12.(推理能力)已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在

CB的延长线上,且ED=EC.(1)【特殊情况,探索结论】如图1,当点E为AB的中点时,确定

线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE

DB(填“>”“<”或“=”).素养探究全练(2)【特例启发,解答题目】如图2,当点E为AB边上任意一点

时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE

DB(填“>”“<”或“=”).理由:过点E作EF∥BC,交

AC于点F(请你完成后续解答过程).(3)【拓展结论,设计新题】在等边三角形ABC中,点E在直线

AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长

为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果).图1图2解析(1)当E为AB的中点时,AE=DB.(2)AE=DB.理由:如图,∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB

=AC,∵EF∥BC,∴∠AEF=∠ABC=60°