苏科版初中八年级数学上册3-1勾股定理第二课时勾股定理的验证课件

第3章勾股定理3.1勾股定理第二课时勾股定理的验证基础过关全练知识点2勾股定理的验证1.(2024江苏泰州姜堰期中)下列图形中,能用来验证勾股定

理的有

()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个D解析第一幅图(图略):大正方形的面积为c2,四个直角三角形的面积和为4×

ab=2ab,中间小正方形的边长为b-a,则中间小正方形的面积为(b-a)2=

a2+b2-2ab,则大正方形的面积还可以表示为(b-a)2+4×

ab=a2+b2,∴c2=a2+b2,∴第一幅图能利用面积验证勾股定理;第二幅图:如图,四边形ACDE的面积等于直角梯形ABDE的面积减去直角三角形ABC的面积,

即

-

ab=

a2+

b2+

ab,四边形ACDE的面积还等于等腰直角三角形ACE的面积加上

直角三角形CDE的面积,即

c2+

ab,∴a2+b2=c2,∴第二幅图能利用面积验证勾股定理;第三幅图(图略):大正方形的面积可以表示为(a+b)2=a2+b2+2ab,还可以表示为4×

ab+c2=2ab+c2,∴a2+b2=c2,∴第三幅图能利用面积验证勾股定理;第四幅图(图略):五边形的面积等于大正方形的面积加上两

个直角三角形的面积,即c2+2×

ab=c2+ab,五边形的面积还等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积,即a2+b2

+2×

ab=a2+b2+ab,∴a2+b2=c2,∴第四幅图能利用面积验证勾股定理.综上,四幅图均可以利用面积验证勾股定理.故选D.2.(2024江苏无锡惠山期中)关于勾股定理的证明有一种简洁

方法叫做“常春证法”,将两个全等的直角△ABC和△DEF

按如图所示的方式摆放,且BC=a,AC=b,AB=c.点F落在AC上,

点C与点E重合,斜边AB与斜边DE交于点M,连接AD,BD.(1)∠AMC=

°,四边形ACBD的面积=

(请用

含a,b的代数式表示).(2)请利用“常春图”证明勾股定理.解析(1)∵△ABC≌△DEF,∴∠BAC=∠FDE.∵∠FDE+∠

DEF=90°,∴∠BAC+∠DEF=90°,∴∠AMC=90°.四边形

ACBD的面积=△BCD的面积+△ACD的面积=

BC·EF+

AC·DF=

a2+

b2,故答案为90;

a2+

b2.(2)∵AB⊥CD,∴四边形ACBD的面积=

AB·CD=

c2,由(1)知,四边形ACBD的面积=

a2+

b2,∴

a2+

b2=

c2,即a2+b2=c2.3.(2024江苏南京溧水期末,22,★☆☆)如图,在△ABD中,AC

⊥BD于C,点E为AC上一点,连接BE、DE,DE的延长线交AB

于F,已知DE=AB,∠CAD=45°.(1)求证:DF⊥AB.(2)利用图中阴影部分的面积完成勾股定理的证明.如图,在

△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,求证:a2+b2=c2.能力提升全练证明(1)∵AC⊥BD,∠CAD=45°,∴AC=DC,∠ACB=∠DCE=90°.在Rt△ABC与Rt△DEC中,

∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL),∴∠BAC=∠EDC,∵∠EDC+∠CED=90°,∠CED=∠AEF,∴∠AEF+∠BAC=90°,∴∠AFE=90°,∴DF⊥AB.(2)∵S△BCE+S△ACD=S△ABD-S△ABE,∴

a2+

b2=

c·DF-

c·EF=

c·(DF-EF)=

c·DE=

c2,∴a2+b2=c2.4.(推理能力)(2024江苏淮安清江浦期中)【问题呈现】通过

整式乘法的学习,我们进一步了解了利用图形面积来说明法

则、公式等的正确性的方法,例如利用图甲可以给予解释的

一个公式为

.【问题解决】图乙中的△ABC是一个直角三角形,∠C=90°,

人们很早就发现可以用图乙的直角三角形拼成图丙的正方素养探究全练形,并找到③a、b、c的一个确定的数量关系,请你找到这个

关系,并说明理由.【拓展应用】下列几何图形中,可以正确解释【问题解决】中直角三角形ABC三边a、b、c关系的图有

.(先将

序号填在横线上,然后选一个序号说明理由)

解析【问题呈现】根据长方形的面积公式,题图甲中长方

形ABCD的面积可以表示为(a+b)(a-b),长方形ABCD的面积可以用大正方形的面积减去小正方形的

面积,即a2-b2,∴(a+b)(a-b)=a2-b2,∴利用题图甲可以解释的一个公式为(a+b)(a-b)=a2-b2.【问题解决】a、b、c的数量关系为c2=a2+b2.理由:题图丙中

大正方形的边长为c,则面积可以表示为c2,另外大正方形的面积等于中间小正方形的面积加四周的四

个直角三角形的面积,表示为(b-a)2+4×

ab=a2-2ab+b2+2ab=a2+b2,∴c2=a2+b2.【拓展应用】可以正确解释【问题解决】中直角三角形

ABC三边a、b、c关系的图有①④⑤.选①:过点C作CD⊥AB于点D,如图,

∵S△ACE=

AE·AD=

c·AD,S△CBG=

BG·BD=

c·BD,∴S△ACE+S△CBG=

c·AD+

c·BD=

c(AD+BD)=

c2.∵∠CAF=∠BAE=90°,∴∠CAF+∠BAC=∠BAE+∠BAC,∴∠BAF=∠CAE.∵AC=

AF,AB=AE,∴△CAE≌△FAB(SAS).同理可得△CBG≌△HBA,∴S△CAE=S△FAB=

b2,S△CBG=S△HBA=

a2,∴S△CAE+S△CBG=

a2+

b2,∴

c2=

a2+

b2,即c2=a2+b2.选④:中间小正方形的边长为c,面积为c2,大正方形的边长为a+b,面积为(a+b)2,四个直角三角

形的面积均为

ab,则中间小正方形的面积可以表示为(a+b)2-4×

ab=a2+2ab+b2-2ab=a2+b2,∴c2=a2+b2.选⑤:如图,直角三角形ACE