专题04 三角形的性质与判定 （讲练）（解析版）-2024年中考数学复习

专题04三角形的性质与判定目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知识建构考点一三角形的基础【真题研析·规律探寻】题型01三角形的三边关系题型02与三角形有关线段的综合问题题型03三角形内角和定理与外角和定理综合问题题型04三角形内角和与外角和定理的实际应用【核心提炼·查漏补缺】【好题必刷·强化落实】考点二特殊三角形的性质与判定【真题研析·规律探寻】题型01线段垂直平分线的性质与判定题型02角平分线的性质与判定题型03等腰三角形的性质与判定题型04等边三角形的性质与判定题型05直角三角形的性质与判定题型06勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题题型07与三角形有关的折叠问题题型08赵爽弦图题型09利用勾股定理解决实际问题【核心提炼·查漏补缺】【好题必刷·强化落实】

考点要求命题预测三角形的基础三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，所以在中考中考察的几率比较大.在考察题型上，三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等.特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大.直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸.特殊三角形的性质与判定考点一三角形的基础题型01三角形的三边关系三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．推论：三角形的两边之差小于第三边．【解题技巧】1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．1．（2021·湖南娄底·统考中考真题）2,5,m是某三角形三边的长，则(m-A．2m-10 B．10-2m C．【答案】D【分析】先根据三角形三边的关系求出m的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：∵2,5,m∴5-2<m解得：3<m∴(故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m的范围，再对二次根式化简．2．（2020·甘肃天水·统考中考真题）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求．【详解】解：∵x2-8x+12=0，∴x-∴x1=2，x2=6，∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2-8x+12=0的根，当x=2时，2+2＜5，不符合题意，∴三角形的第三边长是6，∴该三角形的周长为：2+5+6=13．故答案为：13．【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．3．（2022·河北·统考中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【答案】C【分析】如图（见解析），设这个凸五边形为ABCDE，连接AC,CE，并设AC=a,CE=b，先在△ABC和△CDE中，根据三角形的三边关系定理可得4<a<6，【详解】解：如图，设这个凸五边形为ABCDE，连接AC,CE，并设在△ABC中，5-1<a<1+5在△CDE中，1-1<b<1+1所以4<a+b在△ACE中，a所以2<d观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．4．（2023·河北·中考真题）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用三角形三边关系求得0<AC【详解】解：在△ACD中，AD∴2-2<AC<2+2，即当AC=BC=4若AC=AB=3故选：B．【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．题型02与三角形有关线段的综合问题三角形有关的线段的性质：高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）∠ADB=∠ADC=90°BD=CDS△ABD=S△ADCC∠BAD=∠DAC=12∠AD=DBAE=ECDE=12B1.三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．2.常见三角形的高：3.当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的数量关系与位置关系.1．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD=12BC+AB

【答案】1【分析】根据公式求得BD，根据CD=【详解】解：∵AB=7,BC=6∴BD=1∴CD=故答案为：1．【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键．2．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF=3FE，则【答案】3【分析】连接ED，由BE是△ABC的中线，得到S△ABE=S△BCE，S△AED=S【详解】解：连接ED∵BE是△∴S△∵∴设S△∴∴∴∵∴∴∵△ABD与△∴S故答案为：32【点睛】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．3．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得ABAC=BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在△ABC中，BD=2,【答案】1【分析】根据题意得到ABAC=23，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线AE至F，使得【详解】如图，反向延长中线AE至F，使得AE=EF，连接∵BD=2,CD∴可设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，BC＝5，∴5k＞5，k＜5，∴1＜k＜5，∵∴△∴由三角形三边关系可知，AC∴∴∴1故答案为：12【点睛】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．4．（2022·上海·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，ADAB=DEBC【答案】12或【分析】由题意可求出DE=12BC，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足DE1=12BC，进而可求此时AE1AC=12，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则D【详解】解：∵D为AB中点，∴ADAB=DE取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，DE∴AE在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则DE∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠C=60°，BC＝12∵DE1∥BC，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等边三角形，∴DE1＝DE2＝E1E2＝12∴E1E2＝14∵AE∴AE2=综上，AEAC的值为：12或故答案为：12或1【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据DE=5．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l1∥l2，解：相等．理由如下：设l1与l2之间的距离为h，则S△∴S△【探究】(1)如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为h，h证明：∵S△(2)如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为∴AE∥∴△AEM∽∴AEDF由【探究】（1）可知S△ABC∴S△(3)如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，S△【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)7【分析】（1）根据三角形的面积公式可得S△（2）过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，先根据平行线的判定可得AE∥DF，再根据相似三角形的判定可证（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，先根据相似三角形的判定证出△AME∼△DNE【详解】（1）证明：∵S△ABC∴S（2）证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为∴AE∴△AEM∴AE由【探究】（1）可知S△∴S（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点∴AM∴△AME∴AM∵点A,E,D所对应的刻度值分别为5，∴AE=5-1.5=3.5，∴AM又∵S△ABC∴S故答案为：73【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．题型03三角形内角和定理与外角和定理综合问题三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和定理的应用：1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．三角形中角度计算的6种常考模型：A字模型8字模型飞镖模型老鹰抓小鸡模型（一）∠1+∠2=∠A+180°∠A+∠B=∠C+∠D∠C=∠A+∠B+∠D∠A+∠O=∠1+∠2老鹰抓小鸡模型（二）双角平分线模型（一）双角平分线模型（二）双角平分线模型（三）∠A+∠O=∠2-∠1∠D=90°+12∠∠D=90°-12∠∠E=12∠三角形折叠模型（一）三角形折叠模型（二）三角形折叠模型（三）∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠22∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠2-∠11．（2019·辽宁铁岭·统考中考真题）如图，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB∥CF，ADA．45° B．50° C．55° D．80°【答案】B【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得∠3=∠1，∠2=∠4，再由等量代换得∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，先求出∠【详解】解：连接AC并延长交EF于点M．∵AB∴∠3=∠1，∵AD∴∠2=∠4，∴∠BAD∵∠FCE∴∠BAD故选B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．2．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°),得到△ADE，DE交AC于F．当α=40°

A．80° B．85° C．90° D．95°【答案】B【分析】根据旋转可得∠B=∠ADB【详解】解：由旋转性质可得：∠BAC=∠DAE∵α=40°∴∠DAF=15°，∴∠AFE故选：B．【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键．3．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=A．90°+12α B．90°-12α【答案】C【分析】根据旋转的性质可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，则∠B=∠BDC，利用三角形内角和可求得∠B，进而可求得∠E，则可求得答案．【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，∴∠B=∠BDC，∴∠B∴∠A∴∠A∴∠EFC故选：C．【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．4．（2023·四川达州·中考真题）如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2=35°,∠D=60°

A．52° B．50° C．45° D．25°【答案】B【分析】根据平行线的性质得出∠1=∠2=35°，再由角平分线确定∠BCD【详解】解：∵AE∥∴∠1=∠2=35°，∵AC平分∠BCD∴∠BCD∵∠D∴∠B故选：B．【点睛】题目主要考查平行线的性质及角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．55．（2021·辽宁本溪·中考真题）一副三角板如图所示摆放，若∠1=80°，则∠2的度数是（）A．80° B．95° C．100° D．110°【答案】B【分析】由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可．【详解】解：如图，∠A=90°-30°=60°，∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°，∴∠3=∠4=35°，∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．6．（2020·浙江绍兴·中考真题）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（）A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小【答案】C【分析】由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．【详解】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠PAH的度数是定值，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．7．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角0°<α<75°，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线C

【答案】22.5°或45°或67.5°【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知∠A=∠A【详解】解：由折叠的性质知∠A=∠A当A'D=

由三角形的外角性质得∠DEA'此情况不存在；当A'

∠A'=30°由三角形的外角性质得75°=30°+2α解得α=22.5°当EA'=

∴∠DE由三角形的外角性质得120°=30°+2α解得α=45°当A'D=

∴∠ADC∴α=∠综上，∠α的度数为22.5°或45°或67.5°故答案为：22.5°或45°或67.5°．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．8．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．(1)如图，当P与E重合时，求α的度数．(2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．【答案】(1)25°(2)①当点P在线段BE上时，2α－β＝50°；②当点P在线段CE上时，2α＋β＝50°【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根据AE平分∠BAC，P与E重合，可得∠ACD，从而α＝∠ACB−∠ACD；（2）分两种情况：①当点P在线段BE上时，可得∠ADC＝∠ACD＝90°−α，根据∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，即可得2α−β＝50°；②当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，由∠ADC＝∠ACD＝90°−α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α可得90°−α＝40°＋α＋β，即2α＋β＝50°．【详解】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵P与E重合，AE平分∠BAC，∴D在AB边上，AE⊥CD，∴∠ACD＝65°，∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°；（2）①如图1，当点P在线段BE上时，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，∴90°－α＋β＝40°＋α，∴2α－β＝50°；②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，∴90°－α＝40°＋α＋β，∴2α＋β＝50°．【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及轴对称变换，三角形外角等于不相邻的两个内角的和的应用，解题的关键是掌握轴对称的性质，能熟练运用三角形外角的性质．题型04三角形内角和与外角和定理的实际应用1．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工．取∠ABC=150°，BC=1600m，∠BCD=105°，则C【答案】800【分析】如图所示：过点C作CE⊥BD于点E，先求出CE=800【详解】如图所示：过点C作CE⊥BD于点E，则∠BEC=∠DEC∵∠ABC∴∠CBD∴∠BCE=90°-30°=60°，又∵∠BCD∴∠CDB∴∠ECD=45°=∠D，∴CE=∵BC∴CE∴CD2故答案为：8002【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关内容并能灵活运用．2．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB=120°，∠CDB=20°【答案】40°/40度【分析】根据入射角等于反射角，可得∠CDB=∠EDO【详解】解：依题意，∠CDB∵∠AOB=120°，∴∠CDB∴∠OED∴∠AEF故答案为：40°．【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．3．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应（填“增加”【答案】减少10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．4．（2023·四川自贡·中考真题）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，算出这个正多边形的边数是（

A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出∠B=150°，然后可得每一个外角为【详解】解：依题意，AB=BC，∴∠∴∠∴这个正多边形的一个外角为180°-150°=30°，所以这个多边形的边数为36030故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于360°是解题的关键．5．（2023·广东深圳·中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF=120°，DE与地面平行，∠ABD=50°，则

A．70° B．65° C．60° D．50°【答案】A【分析】根据平行得到∠ABD【详解】解：由题意，得：DE∥∴∠ABD∵∠DEF∴∠DCE∴∠ACB故选A．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形.三角形的表示：用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.三角形的分类：1）三角形按边分类：三角形三边都不相等的三角形2）三角形按角分类：三角形直角三角形三角形的稳定性:三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了.1.三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后边的字母为三角形的三个顶点,字母的顺序可以自由安排.即∆ABC,∆ACB等均为同一个三角形.2.等腰三角形中至少有两边相等,而等边三角形中三边都相等,所以等边三角形是特殊的等腰三角形.3.四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.一、单选题1．（2022·河北保定·校考一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据各图所用到的直线、线段有关知识，即可一一判定【详解】解：A、利用的是“两点确定一条直线”，故该选项不符合题意；B、利用的是“两点之间线段最短”，故该选项不符合题意；C、窗户的支架是三角形，利用的是“三角形的稳定性”，故该选项符合题意；D、利用的是“垂线段最短”，故该选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用，结合题意和图形准确确定所用到的知识是解决本题的关键．2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）在△ABC中，AC=7，BC=4，M是AB上的一点，若△ACM的周长比△BCM的周长大3，根据下列尺规作图痕迹可以得到符合条A．B．C．D．【答案】D【分析】计算求得AM=【详解】解：∵AC=7，BC∴AC-∵△ACM的周长比△BCM的周长大∴AC+CM+∴当AM=BM时，△ACM的周长比△观察四个选项，只有选项B符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．3．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，已知△ABC中，根据尺规作图痕迹及图上数据，则线段BC的长可能为（

A．1 B．2 C．7 D．10【答案】C【分析】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，可得AC=6，然后根据三角形的三边关系即可得到BC的范围，即可求解【详解】解：如图，由题意可得：MN是AC的垂直平分线，∴AC=2∵6-4<BC<6+4，即∴线段BC的长可能为7；故选：C.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和三角形的三边关系，正确理解题意是关键.4．（2021·山西吕梁·统考二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可．【详解】解：∵“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的即，作CD⊥AB后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是故选：C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和．5．（2022·河北邢台·统考二模）老师布置的作业中有这么一道题：如图，在△ABC中，D为BC的中点，若AC=3，AD=4．则ABA．5

B．7

C．8

D．9甲同学认为AB，AC，AD这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需构造一个特殊四边形，就可以解决关于三位同学的思考过程，你认为正确的是…（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙【答案】D【分析】如图1所示，延长AD到E使得AD=ED=4，利用倍长中线模型证明△ABD≌△ECD得到AB=EC，再用三角形三边的关系即可判断乙同学的说法；如图2所示，取AB中点F，连接DF，则DF是△ABC的中位线，AB=2【详解】解：如图1所示，延长AD到E使得AD=ED=4，∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，AD=∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=EC，∵AE-∴5<EC<11，即如图2所示，取AB中点F，连接DF，∵D、F分别为BC、AB的中点，∴DF是△ABC的中位线，AB=2∴DF=∵AD-∴52∴5<AB∴甲说法错误，乙和丙说法正确，故选：D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、三角形中位线定理、三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键．6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，A．20° B．22° C．24° D．26°【答案】B【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABE，再根据直角三角形两锐角互余求出∠【详解】解：∵BE平分∠∴∠ABC∵AD是BC∴∠BAD∴∠DAC故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．7．（2023·山东德州·统考二模）已知a，b，c是三角形的三条边，则c-a-A．0 B．2a+2b C．2【答案】C【分析】根据三角形三边的关系得到c-【详解】解：∵a，b，c是三角形的三条边，∴a+∴c-∴c=-==2b故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值和合并同类项，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．8．（2021·江苏南京·统考二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：①∠BCD②若AB=AD,③若∠BCD=2∠A④存在凹四边形ABCD，有AB=其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】根据凹四边形的定义及相关知识，逐项加以甄别即可．【详解】解：①如图1，连接AC并延长到点E．∵∠∠∴∠即∠所以结论①正确；②如图2，连接BD，作直线AC．∵∴点A在线段BD的垂直平分线上．∵∴点C在线段BD的垂直平分线上．∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上．∴直线AC是线段BD的垂直平分线．∴所以结论②正确；③如图③，由①可知，∠当∠BCD=2∠∴∠因再无其它已知条件证得BC=CD，所以结论③错误；④如图④，假设存在凹四边形ABCD，连接AC．当AB=∵∴∴∠1=∠4∴AB∥CD，BC∥DA．∴四边形ABCD是平行四边形．∵平行四边形是凸四边形，这与“四边形ABCD是凹四边形”的假设相矛盾．∴不存在凹四边形ABCD，使得AB所以结论④错误．故选：A【点睛】本题考查了对新定义的理解、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的判定、反证法等知识点，综合运用上述的知识点，对每个结论加以推理证明是解题的关键．二、填空题9．（2023·河北衡水·二模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，沿AD将△ABC折叠，使点C与BC边上的点C'

（1）折痕a是△ABC的；（填“角平分线”“中线”或“高”（2）若∠BAC'=15°，则∠C比【答案】高15【分析】（1）由折叠的性质结合三角形角平分线，中线，高的定义即可判断；（2）由折叠的性质结合三角形外角的性质即可求解．【详解】（1）由折叠的性质可知AD⊥BC，∠CAD∴折痕a是△ABC故答案为：高；（2）∵由折叠的性质可知∠C=∠A∴∠C故答案为：15．【点睛】本题考查折叠的性质，三角形角平分线，中线，高的定义，三角形外角的性质．熟练掌握上述知识点是解题关键．10．（2022·河北邢台·校考三模）如图，AB，BC，CD是某正多边形相邻的三条边，延长AB，DC交于点P，∠P

（1）∠PBC的度数为（2）该多边形为正边形．【答案】30°/30度十二【分析】（1）根据三角形内角和是180°，得出∠PBC+∠PCB=60°，再根据（2）根据多边形的外角和为360°，再除以一个外角的度数，即可得出多边形的边数．【详解】解：（1）∵∠P∴∠PBC∵∠PBC∴∠PBC故答案为：30°；（2）360÷30=12（边），答：该多边形为正十二边形．故答案为：十二．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是掌握多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式．三、解答题11．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考三模）已知三角形的两边长分别是1、2，第三边为整数且为不等式组2x【答案】5【分析】分别解不等式，得出整数解，根据三角形的三边关系即可求解．【详解】解：2解不等式①得x<3解不等式②得x∴0≤∴不等式的整数解为0、1、2∵2-1<∴x取2∴三角形周长为1+2+2=5．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，三角形的三边关系，正确的求得不等式的整数解是解题的关键．12．（2022·陕西渭南·统考三模）如图，已知△ABC，∠A＝100°，∠C＝30°，请用尺规作图法在AC上求作一点D，使得∠ABD＝25°．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】作图见解析【分析】因为∠A＝100°，∠C＝30°，所以∠B＝50°，若使得∠ABD＝25°，则作∠B的角平分线即可．【详解】解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，∴∠B＝50°，若使得∠ABD＝25°，则作∠B的角平分线即可．作图如下：【点睛】本题考查作角平分线，解题的关键是分析题意知道作∠B的角平分线，掌握作角平分线的方法．13．（2023·北京石景山·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=2α，BD平分∠ABC交AC于点E(1)求∠AFB的大小（用含α(2)连接FC，用等式表示线段FC与FA的数量关系，并证明．【答案】(1)2(2)FA=【分析】（1）先根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB=2α，再由角平分线的定义得到∠（2）如图所示，在BD上取一点G，使得AG=AF，连接AG，则∠AGF=∠AFG=2α，利用三角形外角的性质证明∠BAG=∠【详解】（1）解：∵AB=AC，∴∠ABC∵BD平分∠ABC∴∠CBE∴∠AEB∵∠EAF∴∠AFB（2）解：FA=如图所示，在BD上取一点G，使得AG=AF，连接∴∠AGF∴∠BAG∴∠BAG∴BG=在△ABG和△AB=∴△ABG∴CF=又∵AG=∴FA=【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，角平分线的定义等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．14．（2023·江西上饶·统考模拟预测）如图，在下列10×10的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C(1)在图1中，在AB边上找一点P，连接PC，使S△(2)在图2中，在边AB上找一点Q，连接QC，使S△【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）找到格点D,E，使得四边形ADBE是矩形，连接DE，交BA于点P，连接CP，则线段（2）找到格点F,G使得AF=2,BG=5，连接FG交BA于点Q【详解】（1）解：如图所示，线段CP即为所求；∵四边形ADBE是矩形，∴AP=S（2）解：如图所示，CQ即为所求，∵AF∴△∴AQBQ=AF∴S△【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，三角形中位线的性质，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．考点二特殊三角形的性质与判定题型01线段垂直平分线的性质与判定垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）.性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．1．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB=7，AC=12，BCA．25 B．22 C．19 D．18【答案】C【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∵AB=7，AC∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故选：C【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．2．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（

A．AF=BF BC．∠DBF+∠DFB【答案】B【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是∠ABC【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是∠ABC∴AF∴∠ABF∴∠BAF综上，正确的是A、C、D选项，故选：B．【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．3．（2020·江西·统考中考真题）如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=【答案】82°.【分析】如图，连接BD，延长CA与BD交于点F,利用等腰三角形的三线合一证明CF是BD的垂直平分线，从而得到AB=AD,【详解】解：如图，连接BD，延长CA与BD交于点F,∵AC平分∠DCB，CB∴CF∴CF是BD∴AB∴∠DAF∵∠EAC∴∠DAF∴∠BAE故答案为：82°.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．4．（2020·湖南·中考真题）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【答案】（1）①见解析②30°（2）见解析【分析】（1）①本题主要考查通过角度计算求证平行，继而证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论．②本题以上一问结论为解题依据，考查平行线以及垂直平分线的应用，根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°．（2）本题主要考查辅助线的做法以及垂直平分线性质的应用，需要延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．【详解】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°∴∠A＝90°﹣30°＝60°同理∠EDF＝60°∴∠A＝∠EDF＝60°∴AC∥DE∴∠DMB＝∠ACB＝90°∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM∴BM即M是BC的中点∵EP＝CE，即E是PC的中点∴ED∥BP∴∠CBP＝∠DMB＝90°∴△CBP是直角三角形∴BE＝12PC＝②∵∠ABC＝∠DFE＝30°∴BC∥EF由①知：∠CBP＝90°∴BP⊥EF∵EB＝EP∴EF是线段BP的垂直平分线∴PF＝BF∴∠PFE＝∠BFE＝30°（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP∴△QEP≌△DEC（SAS）则PQ＝DC＝DB∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线∴QF＝DF∵CD＝AD∴∠CDA＝∠A＝60°∴∠CDB＝120°∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP∴△FQP≌△FDB（SAS）∴∠QFP＝∠BFD∵EF是DQ的垂直平分线∴∠QFE＝∠EFD＝30°∴∠QFP+∠EFP＝30°∴∠BFD+∠EFP＝30°【点睛】本题考点较多，涉及平行与角等的互推，垂直平分线的应用，全等的证明，特殊角度的利用，难度主要在于辅助线的构造，该类型题目必须多做专题训练以培养题感．题型02角平分线的性质与判定角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等.1．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，△ABC中，∠A=90°,AB=8,AC=15，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点E

【答案】24【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将△ABC的面积分解成△ABD的面积和△BCD面积和，转化成以AD【详解】如图：过点D作DF⊥BC于点

∴∠BFD由题意得：BD平分∠ABC∵∠A∴AD=∴S△∵S△∴12∴12∴AD=故答案为：245【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、直角三角形面积，重点掌握勾股定理的运用，直角三角形的面积转换是解题的关键．2．（2022·四川南充·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥ABA．BF=1 B．DC=3 C．AE=5【答案】A【分析】根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF∽△DEC，求出BF，故A错误．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC∴CD=DF=3，故B正确；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正确；∴AC=AE+CE=9，故D正确；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，∴△BDF∽△DEC，

∴CEDF∴BF=DF⋅故选：A．【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，相似三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．3（2022·江苏无锡·中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°【答案】C【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质以及角平分线的性质逐一判断即可．【详解】解：∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥AE，∴AE⊥DE．故选项A、B都正确；∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确；∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，∴DE=DF<OD，故选项C不正确；故选：C．【点睛】本题考查的是切线的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．4．（2021·广东深圳·中考真题）如图，已知∠BAC=60°，AD是角平分线且AD=10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC【答案】5+5【分析】知道∠BAC=60°和AD是角平分线，就可以求出∠DAE=30°，AD的垂直平分线交AC于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出【详解】解：∵AD的垂直平分线交AC于点F，∴DF=∴C△∵∠BAC=60°，∴∠DAE∵AD=10∴DE=5，∴C【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．5．（2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC=OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是

请写出OE平分∠AOB的依据：____________类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE=DE即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）SSS；（2）证明见解析；（3）作图见解析；【分析】（1）先证明△OCE≌△ODE（2）先证明△OCM≌△OCNSSS，可得∠AOC（3）先作∠BAC的角平分线，再在角平分线上截取AE【详解】解：（1）∵OC=OD，CE=∴△OCE∴∠AOE∴OE是∠AOB故答案为：SSS（2）∵OM=ON，CM=∴△OCM∴∠AOC∴OC是∠AOB（3）如图，点E即为所求作的点；

．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．题型03等腰三角形的性质与判定等腰三角形性质：1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.1.等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论.2.顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.3.等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．4.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．5.等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则b2<a6.等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=1807.底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）.8.等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于12FG的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①∠AED=∠ABC；

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据等腰三角形两底角相等与∠A=36°，得到∠ABC=∠C=72°，根据角平分线定义得到∠ABD=∠CBD=36°，根据线段垂直平分线性质得到EB=ED，得到∠EBD=∠EDB，推出∠EDB=∠CBD，得到DE∥BC，推出∠AED=∠ABC，①正确；根据等角对等边得到AD=AE，AD=BD，根据三角形外角性质得到∠【详解】∵△ABC中，AB=AC∴∠ABC由作图知，BD平分∠ABC，MN垂直平分BD∴∠ABD=∠CBD∴∠EBD∴∠EDB∴DE∥∴∠AED=∠ABC∠ADE∴∠AED∴AD=∵∠A∴AD=∵∠BDC∴∠BDC∴BC=∴BC=AE，设ED=x，则AD=a，∴CD=∵△AED∴EDBC∴xa∴x2∵x>0∴x=即ED=5-当AC=2时，CD∵CD=∴5-∴AD=5-∴正确的有①②④，共3个．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质．2．（2022·江西·统考中考真题）已知点A在反比例函数y=12x(x>0)的图象上，点B在x轴正半轴上，若△OAB【答案】5或25或【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．【详解】解：①当AO=AB时，AB=5；②当AB=BO时，AB=5；③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0），设A（a，12a）（a>0∵OA=5，∴a2解得：a1=3，∴A（3，4）或（4，3），∴AB=(3-5)2+42=2综上所述，AB的长为5或25或10故答案为：5或25或10【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键．3．（2023·北京·统考中考真题）在△ABC中、∠B=∠C=α0°<α<45°，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点（不与点M

(1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；(2)如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF=DC，连接AE，EF，直接写出【答案】(1)见解析(2)∠AEF【分析】（1）由旋转的性质得DM=DE，∠MDE=2α，利用三角形外角的性质求出∠（2）延长FE到H使FE=EH，连接CH，AH，可得DE是△FCH的中位线，然后求出∠B=∠ACH，设DM=DE=m，【详解】（1）证明：由旋转的性质得：DM=DE，∵∠C∴∠DEC∴∠C∴DE=∴DM=DC，即D是（2）∠AEF证明：如图2，延长FE到H使FE=EH，连接CH，∵DF=∴DE是△FCH∴DE∥CH，由旋转的性质得：DM=DE，∴∠FCH∵∠B∴∠ACH=α∴∠B=∠ACH设DM=DE=m，CD=∴DF=∴FM=∵AM⊥∴BM=∴BF=∴CH=在△ABF和△ACH中，∴△ABF∴AF=∵FE=∴AE⊥FH，即

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．4．（2022·新疆·中考真题）如图，在ΔABC巾，∠ABC=30°，AB=AC，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将△

(1)当AE⊥BC时，∠AEB(2)探究∠AEB与∠(3)设AC=4，△ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于【答案】(1)60(2)∠(3)y【分析】（1）首先由折叠的性质可得AC=（2）首先由折叠的性质可得AE=AC，∠CAD=∠EAD，再由等腰三角形的性质可得AC（3）首先由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求AO的长，由勾股定理可求OD的长，最后根据面积和差关系可求解．【详解】（1）∵∠ABC=30°，AB=∴∠BAE∵将ΔACD沿AD折叠得到Δ∴AC∴AB∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB故答案为：60；（2）∠AEB∵将ΔACD沿AD折叠得到Δ∴AE=AC∵∠ABC=30°，∴∠BAC∴∠BAE∵AB∴∠AEB（3）如图，连接OA，∵AB=AC，点O∴OA∵∠ABC=∠ACB∴AO=2，∵O∴OD∵S∴x∴y

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质并能够灵活运用．5．（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．(1)如图1，若DE∥BC，求证：四边形(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．（ⅰ）求∠CED的大小；（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．【答案】(1)见解析(2)（ⅰ）∠CED=60°；（【分析】（1）先根据DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根据“AAS”证明ΔODE≌ΔOBC，得出DE=BC，得出四边形（2）（ⅰ）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根据∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出∠CED（ⅱ）连接EF，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出∠GEF=15°，得出∠OEF=45°，证明【详解】（1）证明：∵DC=BC，CE⊥BD，∴DO=BO，∵DE∥∴∠ODE=∠OBC∴ΔODE≌Δ∴DE=∴四边形BCDE为平行四边形，∵CE⊥BD，∴四边形BCDE为菱形．（2）（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO，∴CE垂直平分BD，∴BE=DE，∵BO=DO，∴∠BEO=∠DEO，∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，∵EG⊥AC，∴∠AEG=∠DEO，∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，∴∠CED（ⅱ）连接EF，∵EG⊥AC，∴∠EGF∴∠EFA∵∠=180°-∠=180°-∠=180°-60°-60°+∠=60°+∠∵AE=AF，∴∠AEF∴90°-∠GEF∴∠GEF∴∠OEF∵CE⊥∴∠EOF∴∠OFE=90°-∠∴∠OEF∴OE=∵AE∴∠EAC∵∠EAC∴∠ECA∵∠EBO∴∠OCF∵∠BOE∴ΔBOE≌Δ∴BE【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，作出辅助线，得出∠GEF=15°，得出题型04等边三角形的性质与判定等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等.2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形.2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.1.等边三角形具有等腰三角形的一切性质.2.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．4.在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．5.等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．6.等边三角形面积的求解方法：S正三角形=31．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，已知∠ABC=60°，点D为BA边上一点，BD=10，点O为线段BD的中点，以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则BEA．5 B．52 C．53 D【答案】A【分析】根据同圆半径相等可得△OBE为等腰三角形，又因为∠ABC=60°，可得△【详解】连接OE，如图所示：∵BD=10，点O为线段BD∴OB=∵以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，∴OE=∴∠ABC∴△OBE即BE=故选：A．【点睛】本题考查了同圆半径相等，一个角为60°的等腰三角形，解题的关键是判断出△OBE2．（2022·吉林长春·统考中考真题）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB=27厘米，则这个正六边形的周长为【答案】54【分析】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，再证明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形即可求解．【详解】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，如图，∵六边形MNGHPO是正六边形，∴∠GNM=∠NMO=120°，∴∠FNM=∠FMN=60°，∴△FMN是等边三角形，同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形，∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE，∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE，∵等边△ABC≌等边△DEF，∴AB=DE，∵AB=27cm，∴DE=27cm，∴正六边形MNGHPO的周长为：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm，故答案为：54．【点睛】本题考查了正六边的性质、全等三角形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，掌握正六边的性质是解答本题的关键．3．（2022·黑龙江·统考中考真题）△ABC和△(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC【答案】(1)证明见解析(2)图②结论：PB=(3)图③结论：PA【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论；（2）在BP上截取BF=CP，连接AF，证明△BAD≌△CAE（SAS），得∠ABD=∠ACE，再证明△CAP≌△BAF（3）在CP上截取CF=BP，连接AF，证明△BAD≌△CAE（SAS），得∠ABD=∠ACE，再证明△BAP≌△CAF（SAS【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵点P与点A重合，∴PB=AB，PC=AC，PA=0，∴PA+PB=（2）解：图②结论：PB证明：在BP上截取BF=CP，连接∵△ABC和△∴AB=AC，AD∴∠BAC∴∠BAD∴△BAD≌△CAE∴∠ABD∵AC=AB，CP=BF，

∴△CAP≌△BAF∴∠CAP=∠BAF∴∠CAP∴∠FAP∴△AFP∴PF=∴PA+（3）解：图③结论：PA+理由：在CP上截取CF=BP，连接∵△ABC和△∴AB=AC，AD∴∠BAC∴∠BAD∴△BAD≌△CAE∴∠ABD∵AB=AC，BP=CF，∴△BAP≌△CAF（∴∠CAF=∠BAP∴∠BAF∴∠FAP∴△AFP∴PF=∴PA+即PA+【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．4．（2020·山东烟台·统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）FC＝CD+CE，见解析【分析】（1）在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论；（2）过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．【详解】（1）证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，DE=∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；（2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，ED=∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键．5．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE=DB，延长ED交AB(1)先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC=60°时，直接写出(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展：如图（3），在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，CGBC=1nn<2，延长BC至点E，使DE=DG【答案】(1)[问题提出]（1）14；（2(2)[问题拓展]2-【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得∠ADF=∠ADB=30°，∠AFD（2）取BC的中点H，连接DH．证明△DBH≌△DEC，可得BH=EC，根据DH∥AB[问题拓展]方法同（2）证明△DBH≌△DEC，得出，GH=EC，证明△EDH【详解】（1）[问题探究]：（1）如图，∵△ABC中，AB=AC，D是AC∴△ABC是等边三角形，∴∠ABD=∠DBE=30°∴DB∴∠E∵∠DCE∴∠ADF∵∠A∴∠AFD∴AF∴AF（2）证明：取BC的中点H，连接DH．∵D是AC的中点，∴DH∥AB，∵AB=∴DH=∴∠DHC∵BD=∴∠DBH∴∠BDH∴△DBH∴BH=∴EBEH∵DH∥∴△EDH∴FBDH∴FBAB∴AFAB（2）[问题拓展]如图，取BC的中点H，连接DH．∵D是AC的中点，∴DH∥AB，∵AB=∴DH=∴∠DHC∵DE=∴∠DGH∴∠GDH∴△DGH∴GH=∴∵CG∴∴BGCE∴EBEH∵DH∥∴△EDH∴FBDH∴FBAB∴AFAB∴AFAB=【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．6．（2022·山东临沂·中考真题）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)∠DPQ(3)CP=【分析】（1）连接BD，由等边三角形的性质可得AC垂直平分BD，继而得出AB=（2）连接PB，过点P作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，可证明△APE是等边三角形，由等腰三角形三线合一证明∠（3）由等腰三角形三线合一的性质可得AF=FE，QF=BF，即可证明．【详解】（1）连接BD，∵△ABC∴AB∵点B，D关于直线AC对称，∴AC垂直平分BD，∴DC∴AB∴四边形ABCD是菱形；（2）当点Р在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小不发生变化，始终等于60°∵将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，∴PQ∵△ABC∴AB连接PB，过点P作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点则∠APE∴∠APE∴△APE∴AP∵PF∴∠APF∵点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，∴PB=PD，∠DPA=∠BPA，∴PQ=PD，∵PF∴∠QPF∴∠QPF-∠APF=∠BPF-∠EPF，即∠QPA=∠BPE，∴∠DPQ=∠DPA-∠QPA=∠BPA-∠BPE=∠APE=60°；（3）AQ=CP，证明如下：∵AC=AB，AP=AE，∴AC-AP=AB–AE，即CP=BE，∵AP=EP，PF⊥AB，∴AF=FE，∵PQ=PD，PF⊥AB，∴QF=BF，∴QF-AF=BF–EF，即AQ=BE，∴AQ=CP．【点睛】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键．题型05直角三角形的性质与判定直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余.2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.面积公式：S=12ab=12cm(1．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm．把△ABC沿AB方向平移1【答案】8+2【分析】通过勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，分别计算出四边形的四条边长，再计算出周长即可．【详解】解：∵∠ACB∴AB=2BC=4，∴AC=AB∵把△ABC沿AB方向平移1cm，得到∴CC'=1，AB∴四边形的周长为：23故答案为：8+23【点睛】本题考查勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．2．（2023·山东·中考真题）△ABC的三边长a，b，c满足(a-b)A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由a