2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县创新实验班高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省衡阳市衡阳县创新实验班高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|1<x2<9}，B={x|14A.(−3,2) B.(−2,3) C.(−3,−2)∪(2,3) D.(−2,−1)∪(1,2)2.若复数z=1+i，则|iz+1+1|=A.1 B.5 C.253.已知a，b是两个单位向量，若向量a在向量b上的投影向量为12b，则向量a与向量a−bA.30° B.60° C.90° D.120°4.已知α∈(0,π2)，且cos(α−πA.3 B.5 C.75.将5本不同的书(2本文学书、2本科学书和1本体育书)分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为(

)A.78 B.92 C.100 D.1226.已知等差数列{an}的公差为π3，且集合M={x|x=sinan,n∈NA.14 B.−14 C.17.如图，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点P是双曲线C的渐近线上的一点，点M是双曲线C左支上的一点.若四边形A.3

B.2

C.5

D.8.已知函数f(x)=lnx,x>11−x3,x≤1，若函数y=f(x)−a(x−1)恰有三个零点，则实数A.(−34,0) B.(−∞,−34)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的是(

)A.数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的75%分位数为11

B.已知变量x，y的线性回归方程y=0.3x−x−，且y−=2.8，则x−=−4

C.已知随机变量X∼B(7,0.5)，P(X=k)最大，则k的取值为310.六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色，无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则(

)A.该正八面体结构的表面积为23m2

B.该正八面体结构的体积为2m3

11.“最速曲线”是一段旋轮线上下翻转而成.旋轮线C的参数方程为x=R(θ−sinθ)y=R(1−cosθ)，其中θ为参数，R>0为常数，旋轮线C也可看作某一个函数y=f(x)的图象A.点P(πR,2R)在旋轮线C上

B.函数f(x)是偶函数

C.函数f(x)不是周期函数

D.当R=1时，函数f(x)在(1−π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c=acosB+2cosA，2b=c，若cosC=−14，则△ABC的面积为______．13.已知椭圆C：x2a2+y2=1(a>1)的左，右焦点分别是F1，F2，P是椭圆C上第一象限内的一点，且△PF1F2的周长为4+23.过点P作C的切线l，分别与x轴和14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a4+b4+c4四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=ex−acosx−x(a≥0)．

(1)当a=1时，求f(x)在区间[0,π]上的最值；

(2)当x∈(0,π]时，f(x)>0，求a16.(本小题15分)

已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1如图所示，底面ABCD为平行四边形，其中点D在平面A1B1C1D1内的投影为点A1，且AB=AA1=2AD，∠ABC=120°．

(1)求证：平面A1BD⊥平面AD17.(本小题15分)

某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶A1，A2，A3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶B1，B2中的一个．

(1)记事件En：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶A1，A2，A3玩偶；事件Fn：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐B1，B2玩偶；求概率P(E5)及P(F4)；

(2)某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为23，购买乙系列的概率为13；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为3418.(本小题17分)

过抛物线外一点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称△PAB为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二.如图，点P是圆Q：x2+(y+5)2=4上的动点，△PAB是抛物线Γ：x2=2py(p>0)的阿基米德三角形，F是抛物线Γ的焦点，且|PF|min=6．

(1)求抛物线Γ的方程；

(2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；

(3)设D是“囧边形”的抛物线弧AB上的任意一动点(异于A，B两点)，过D作抛物线的切线l交阿基米德三角形的两切线边PA，19.(本小题17分)

若数列{xn}满足：存在等差数列{cn}，使得集合{xn+cn|n∈N∗}元素的个数为不大于k(k∈N∗)，则称数列{xn}具有Q(k)性质．

(1)已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+2+cosnπ2+sinnπ2(n∈N∗)．

求证：数列{参考答案1.D

2.D

3.B

4.D

5.C

6.A

7.A

8.C

9.BD

10.ACD

11.ABD

12.313.2

14.(1,215.解：(1)当a=1时，f(x)=ex−cosx−x，f′(x)=ex+sinx−1

当x∈[0,π]时，ex−1≥e0−1=0，sinx≥0，∴f′(x)≥0，

∴f(x)在[0,π]上单调递增，

∴f(x)min=f(0)=0，f(x)max=f(π)=eπ+1−π．

(2)当x∈(0,π]时，f(x)>0⇔(ex−acosx−x)min>0

f′(x)=ex+asinx−1，

∵x∈(0,π]，16.解：(1)证明：四棱柱ABCD−A1B1C1D1如图所示，底面ABCD为平行四边形，

点D在平面A1B1C1D1内的投影为点A1，且AB=AA1=2AD，∠ABC=120°．

∵A1D⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴A1D⊥AD，

在△ADB中，设AB=2，AD=1，∠DAB=60°，

由余弦定理，得BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos∠DAB=22+12−2×2×1×cos60°=3，∴BD=3，

∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥DB．

∵A1D∩DB=D，A1D、DB⊂平面A1BD，

∴AD⊥平面A1BD，

∵AD⊂平面ADD1A1，∴平面A1BD⊥平面ADD1A1．

(2)由(1)知，DA，DB，DA1两两垂直，以D为坐标原点，

分别以向量DA，DB，DA1的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系D−xyz，如图，

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,3,0)，A1(0,0,3)，C(−1,3,0)，17.解：(1)若一次性购买5个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为3×3×3×3×3=243，

集齐A1，A2，A3玩偶，有如下两种情况：

①其中一个玩偶3个，其他两个玩偶各1个，有C31C53A22=60种结果；

②若其中两个玩偶各2个，另外两个玩偶1个，则共有C31C51C42=90种结果，

故P(E5)=60+90243=5081；

若一次性购买4个乙系列盲盒，全部为B1与全部为B2的概率相等，均为124=116，

故P(F4)=1−116−116=78．

(2)①由题可知：Q1=23，

当n≥218.解：(1)由题意得，Q(0,−5),r=2,F(0,P2)，

由|PF|min=|QF|−r=P2+3=6⇒p=6，

所以Γ：x2=12y．

(2)设AB： y=kx+m,A(x1,x1212),B(x2,x2212)，

联立x2=12yy=kx+m⇒x2−12kx−12m=0，Δ=48(3k2+m)>0，

设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=12k，x1x2=−12m，

由x2=12y⇒y′=x6，所以PA：y−x1212=x16(x−x1)⇒PA： y=x16x−x1212，

联立直线PA，PB可得x16xp−x1212=x26xp−19.解：(1)证明：设bn=an+cosnπ2，

因an+1=an+2+cosnπ2+sinnπ2(n∈N∗)，

所以bn+1=an+1+cos(n+1)π2=an+2+cosnπ2+sinnπ2+cos(n+1)π2

=an+2+cosnπ2+sinnπ2−sinnπ2

=an+cosnπ2+2=bn+2，

又因b1=a1+cosπ2=2，

所以{an+cosnπ2}是以2为首项，以2为公差的等差数列，

则an+cosnπ2=2n