2023-2024学年江苏省南京二十九中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南京二十九中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈N|2x≤32}，B={1,3,5,7}，则图中阴影部分所表示的集合为(

)A.{0,2,4} B.{2,4} C.{0,4} D.{2,4,5}2.已知非零向量a，b，则a⊥b是|a+bA.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要3.将函数f(x)=sin2x的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为(

)A.y=sin(2x+π6) B.y=sin4.甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于丙、丁)的概率是(

)A.12 B.13 C.145.已知tanθ=2，则sin(2θ−π)1−sinA.−12 B.12 C.−26.如图所示，在△ABC中，AN=14NC，P是BN上的一点，若AP=611A.1011

B.811

C.2117.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长是2，点P是棱AD的中点，QA.3 B.5 C.32 8.已知α,β∈(0,π4),cos2α−sin2A.π12 B.π6 C.π4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知事件A、B发生的概率分别为P(A)=13，P(B)=16A.若P(A−B)=19，则事件A−与B相互独立

B.若A与B相互独立，则P(A∪B)=49

C.若A与B互斥，则P(A∪B)=10.已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式成立的是(

)A.ab≥14 B.4a+9b11.用一个平行于正三棱锥底面的平面去截正三棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做正三棱台.如图，在正三棱台ABC−A1B1C1A.正三棱台ABC−A1B1C1的体积是23

B.直线BC与平面ABC1所成的角为π6

C.点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知样本x1，x2，x3，…，xn方差s2=2，则样本2x1+1，213.已知函数f(x)=23|x−32|,0<x<3,sin(π6x),3≤x≤15,若存在实数x1，x214.欧拉(1707−1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eiπ+1=0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eiθ=cosθ+isinθ，将复数eπ3i+eπi表示成a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)的形式______；若zn=1，则z=zk(k=0,1,2,…,n−1)，这里z四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在平面直角坐标系中，已知点A(1,4)，B(−2,3)，C(2,m)．

(1)若三点A，B，C共线，求实数m的值；

(2)是否存在实数m，使得AB在AC上的投影向量是113AC？若存在，请求出实数m的值，若不存在请说明理由．16.(本小题15分)

某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；

(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．17.(本小题15分)

如图，已知等腰梯形ABCD中(图1)，AD//BC,AB=AD=12BC=2,E是BC的中点，AE∩BD=M，将△BAE沿着AE翻折(图2)，使得直线AB与CD不在同一个平面，得到四棱锥B1−AECD．

(1)求直线DC与B1M所成的角的大小；

(2)在线段B1C上是否存在点P，使得MP/​/18.(本小题17分)

已知函数f(x)=log2(2x+t)−x．

(1)若f(2)<0，求t的取值范围；

(2)若f(x)=x有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x219.(本小题17分)

若△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，则称点P为△ABC的布洛卡点，θ为△ABC的布洛卡角.如图，已知△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，点P为△ABC的布洛卡点，θ为△ABC的布洛卡角．

(1)若b=c，且满足PBPA=3，

①求∠ABC的大小；

②若PCPB=3，求布洛卡角θ的正切值；

(2)若PB平分∠ABC

参考答案1.A

2.C

3.B

4.A

5.A

6.D

7.D

8.D

9.AB

10.BCD

11.BCD

12.8

13.(−243,−216)

14.−12+15.解：点A(1,4)，B(−2,3)，C(2,m)，

则AB=(−3,−1)，AC=(1,m−4)，

(1)三点A，B，C共线，

则AB/​/AC，

则−1=−3(m−4)，解得m=133；

(2)AB⋅AC=−3+4− m=1−m，|AC|2=12+(m−4)216.解：(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7，

所以(0.045+0.020+a)×10=0.7，

解得a=0.005，

所以前两组的频率之和为1−0.7=0.3，

即(a+b)×10=0.3，所以b=0.025；

平均数为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5，

(2)第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，

故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a，b，c，d，第五组志愿者人数为1，设为e，

这5人中选出2人，所有情况有10种情况，分别为：

(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d).(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，

其中选出的两人来自同一组的有：

(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，共6种情况，

故选出的两人来自同一组的概率为610=17.解：(1)因为AD//BC，E是BC的中点，连接DE，

所以AB=AD=BE=12BC=2，故四边形ABED是菱形，

从而AE⊥BD，

所以△BAE沿着AE翻折成△B1AE后，AE⊥B1M，AE⊥DM，

又因为B1M∩DM=M，B1M，DM⊂平面B1MD，

所以AE⊥平面B1MD，又B1D⊂平面B1B1MD，

所以AE⊥B1D，

所以直线AE与B1D所成的角的大小为90°；

(2)存在，理由如下：

假设线段B1C上是存在点P，使得MP/​/平面B1AD，

过点P作PQ/​/CD交B1D于Q，连接MP，AQ，

如下图，

所以AM//CD//PQ，所以A，M，P，Q四点共面，

又因为MP/​/平面B1AD，平面AMPQ∩平面B1AD=AQ，MP⊂平面AMPQ，

所以MP//AQ，

过A18.解：(1)由f(2)<0可得log2(4+t)−2<0，所以log2(4+t)<log24，

即4+t>04+t<4，解得−4<t<0，

所以t的范围为(−4,0)；

(2)(i)因为f(x)=x有两个不相等的实根，即log2(2x+t)=2x有两个不相等的实根，

即(2x)2−2x=t有两个不相等的实根，

设m=2x，问题转化为y=t与y=m2−m(m>0)有两个不同的交点，

结合二次函数的性质可知，当m=12时，y=−14，

故t∈(−14,0)；

证明：(ii)由(i)可知(2x)2−2x−t=0，

所以2x19.解：(1)①若b=c，即AB=AC，得∠ABC=∠ACB，

点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，则∠PCB=∠PBA，

在△PCB⊆与△PBA中，∠PCB=∠PBA，∠PAB=∠PBC=θ，

所以△PCB∽△PBA，则BCAB=PBPA=3，

即ac=3，所以a=3c，

在△ABC中，cos∠ABC=a2+c2−b22ac=3c223c2=32，

因为0<∠ABC<π，所以∠ABC=π6．

②在△ABC中，应用余弦定理以及三角形面积公式得：

1tan∠BAC=cos∠BACs