【函数连续、可导、可微之间的关系探究7000字（论文）】

函数连续、可导、可微之间的关系研究TOC\o"1-2"\h\u22196摘要 摘要：连续、可导与可微是函数的三大分析性质，准确把握这三者之间的关系是我们学习分析的关键之一.本文首先介绍一元函数和二元函数连续、可导与可微的定义，再分别通过相关定理和例题对一元函数和二元函数连续、可导与可微之间的关系进行探讨，并归纳总结出关系图，使读者对函数连续、可导与可微之间的关系有更深刻地理解.关键词：函数；连续；可导；可微引言连续、可导与可微是函数的三大分析性质，是从不同角度刻画函数的局部性态，是数学分析中的重点内容，准确掌握函数连续、可导与可微之间的关系是我们学习分析的关键之一.近年来，许多学者探究了函数连续、可导与可微之间的关系.如文献[1]借助定义对函数连续、间断、一致连续、可导与可微进行了简单的辨析，进而对间断、一致连续、可导与连续之间以及可导与可微之间的关系进行了简单的分析；文献[2]借助定理和例题，对一元函数和以二元函数为例对多元函数连续、可导与可微之间的关系进行了探讨，并归纳总结；文献[3]在一元微分学的基础上，借助定理和例题以二元函数为例对多元微分学中函数连续、可导与可微之间的关系进行了探讨，归纳总结并给出了关系图；文献[4]借助定理和例题以二元函数为例对多元函数连续、可导与可微之间的关系进行了简单的探讨；文献[5]借助定理和例题，采取理论证明和举反例的方法对函数在某一点处连续、可导与可微之间的关系进行了探讨；文献[6]归纳并总结了二元函数可微、可导与连续之间的关系，并通过相关定义和例题加以分析说明；文献[7]借助定理和例题简单地分析了二元函数连续、偏导数与可微之间的关系；文献[8]指出了二元函数各性质之间的关系来源于二元函数对极限的两种不同推广，并详细叙述了二元函数连续、偏导数存在、偏导连续与可微之间的关系；文献[9]借助例题，采取举反例的方法探讨了二元函数极限、连续、可导与可微之间的关系；文献[10]对函数连续性进行认知分析.从这些文献中可以得知，函数连续、可导与可微之间的关系是数学分析中我们需要准确把握的重点内容.本文首先介绍一元函数和二元函数连续、可导与可微的定义，再分别对一元函数和多元函数连续、可导与可微之间的关系进行探讨.对一元函数，通过相关定义、定理和例题探讨连续、可导与可微之间的关系，并归纳概括出关系图；在探讨多元函数连续、可导与可微之间的关系时，本文从“特殊”与“一般”的角度，将以二元函数为例，通过相关定义、定理和例题探讨多元函数连续、可导与可微之间的关系，并归纳概括出关系图.

1.预备知识1.1函数的连续性从直观的角度看，连续就是连绵不断，当然在数学学习过程中不能只满足于这种直观的认识，在数学分析中对函数连续有明确的定义，因此下面介绍一元函数、二元函数在某一点处连续的定义和在区间上连续的定义.首先介绍一元函数在某一点处连续的定义和在区间上连续的定义.定义1[11]设函数在某上有定义，若，则函数在点处连续.令，可用函数增量形式来描述一元函数连续的定义，即函数在点处连续等价于.由于一元函数在某一点处连续是通过极限来定义的，因此函数在某一点处连续的定义也可以用方式来叙述：如果对任意的，总是存在，使得当时，有，则函数在点处连续.定义2[11]如果一元函数在区间上的任意一点处都连续，则函数为区间上的连续函数.从本质上来说，多元函数连续的定义与一元函数连续的定义是一样的，在一元函数连续的定义基础上，下面介绍二元函数在某一点处连续的定义和在区间上连续的定义.定义3[12]设二元函数在区域上有定义，，(是的聚点或者是的孤立点).对于任意的正数，总是存在相应的正数，使得当时，有，则函数在点处连续.令，则，与一元函数一样，二元函数连续的定义也可用增量形式来描述，即函数在点处连续等价于.定义4[12]如果二元函数在区域上任意一点处都连续，则函数为区域上的连续函数.1.2函数的可导性上一个部分介绍了一元函数、二元函数在某一点处连续的定义和在区间上连续的定义，下面介绍一元函数、二元函数在某一点处可导的定义和在区间上可导的定义.虽然在中学已经接触过了导数的概念，并掌握了一些简单的导数计算，但是我们不能只满足于这种简单的认识，应该掌握函数导数的精确定义.首先介绍一元函数在某一点处可导的定义和在区间上可导的定义.定义5[11]设一元函数在某上有定义，若极限（1）存在，则函数在点处可导，且.令，则（1）式可以改写成.定义6[11]如果函数在区间上任一点处都可导，则函数为区间上的可导函数.对二元函数，把其中一个自变量看作常数，对另一个自变量的导数就称为偏导数，下面介绍二元函数在某一点处一阶偏导数存在的定义和在区间上一阶偏导数存在的定义.定义7[12]设二元函数，.若，且在上有定义，当极限存在时，则函数在点处对的偏导数存在，且.同样定义二元函数在点处对的偏导数或，，.定义8[12]设二元函数，.若，且在上有定义，当极限存在时，则函数在点处对的偏导数存在，且.定义9[12]如果二元函数在区域上任意一点处都存在对(或对)的偏导数，则函数在区域上对(或对)的偏导函数(或)存在.1.3函数的可微性上两个部分介绍了一元函数、二元函数在某一点处连续与可导的定义和在区间上连续与可导的定义，下面介绍一元函数、二元函数在某一点处可微的定义和在区间上可微的定义.从本质上来说，可导和可微是有巨大区别的，可导表示的是增量比值的极限，而可微表示的是自变量增量的线性组合，下面介绍一元函数在某一点处可微的定义和在区间上可微的定义.定义10[11]设一元函数在某上有定义，当给一个增量时，相对应地得到函数的增量为，如果存在常数，使得能表示成，（2）则函数在点处可微，且或.定义11[11]如果一元函数在区间上任意一点处都可微，则称函数为上的可微函数，且，，它不仅依赖于，且也依赖于.二元函数可微的定义与一元函数可微的定义相比，除了多了一个自变量导致的差异之外，没有任何区别，下面介绍二元函数在某一点处可微的定义和在区间上可微的定义.定义12[12]设二元函数在的某上有定义，对于中的点，若二元函数在点处的全增量能表示成，（3）其中,是仅和点有关的常数，，是较高阶的无穷小量，则函数在点处可微，且.（4）在使用上，通常也把（3）式写成，（5）这里，，.定义13[12]若函数在区域上任意一点处都可微，则函数为区域上的可微函数.2.一元函数连续、可导、可微之间的关系探讨由定义1可见，一元函数在点处连续表示函数在点处极限存在，且极限值等于函数在点处的函数值.由定义5可见，一元函数在点处可导表示函数在点处增量比值的极限存在，且极限值为函数在点处的导数.由定义10可见，一元函数在点处可微表示函数在点处函数增量可表示为自变量增量的线性组合，且函数增量的线性主部为函数在点处的微分.在上述分析基础上，下面探讨一元函数连续、可导、可微之间的关系.2.1连续与可导之间的关系首先探讨一元函数连续与可导之间的关系，用如下定理和例子分析说明一元函数连续与可导之间的关系.定理1如果一元函数在点处可导，则函数在点处连续.证由于函数在点处可导，则根据定义1可得根据函数极限与无穷小的关系可得，其中，对上式两边同时乘以得，对上式两边同时取极限得，即，故函数在点处必连续.由定理1可知，对一元函数，如果函数在某一点处可导，则函数在该点处一定连续.但是函数在某一点处可导只是函数在该点处连续的充分条件而不是必要条件，即定理1反之不成立.例1一元函数在点处连续但不可导.解对于任意，任意的，存在，使得当时，有，所以函数在点处连续.但因为极限不存在，所以函数在点处不可导.即一元函数在点处连续但不可导.由例1可知，函数在某一点处连续，但函数不一定在该点处可导.综上所述，对一元函数，如果函数在某一点处可导，则函数在该点处一定连续；函数在某一点处连续，但函数在该点处不一定可导.2.2可导与可微之间的关系下面探讨一元函数可导与可微之间的关系，用如下定理分析说明一元函数可导与可微之间的关系.定理2一元函数在点处可微的充要条件是函数在点处可导，且（2）式中.证(必要性)由于函数在点处可微，根据（2）式可得.对上式两边同时取极限得，即，故函数在点处可导且.(充分性)由于函数在点处可导，则（2）式可表示为，由定义10可知函数在点处可微，且.由定理2可知，对一元函数，如果函数在某一点处可导，则函数在该点处一定可微；如果函数在某一点处可微，则函数在该点处一定可导，即函数在某一点处可导与可微等价.2.3连续与可微之间的关系对一元函数，由定理1和例1可知，如果函数在某一点处可导，则函数在该点处一定连续；函数在某一点处连续，但函数在该点处不一定可导，由定理2可知，函数在某一点处可导与可微等价.因此，对一元函数，如果函数在某一点处可微，则函数在该点处一定连续；函数在某一点处连续，但函数在该点处不一定可微.2.4连续、可导、可微之间的关系总结综上所述，对一元函数，如果函数在某一点处可导，则函数在该点处一定连续；函数在某一点处连续，但函数在该点处不一定可导；函数在某一点处可导与可微等价；如果函数在某一点处可微，则函数在该点处一定连续；函数在某一点处连续，但函数在该点处不一定可微.因此，可用如图1所示关系图总结一元函数在某一点处连续、可导与可微之间的关系.图1一元函数连续、可导与可微之间的关系3.多元函数连续、可导、可微之间的关系探讨对于多元函数连续、可导与可微之间的关系，下面以二元函数为例进行探讨.由定义3可知，如果二元函数在点处连续，则函数在点处全增量的极限等于0.由定义7和定义8可知，如果二元函数在点处可导，则函数在点处对(或对)的偏增量比值(或对)的极限存在，且极限值为函数在点处对(或对)的偏导数.由定义12可知，如果二元函数在点处可微，则函数在点处的全增量可表示为自变量增量的线性组合，且全增量的线性主部为函数在点处的微分.在上述分析基础上，下面探讨二元函数连续、可导、可微之间的关系.3.1连续与可导之间的关系首先探讨二元函数连续与可导之间的关系，用如下例子分析说明二元函数连续与一阶偏导存在之间的关系.例2二元函数在点处连续但对的偏导数都不存在.解因为，所以函数在点处连续.又因为，极限都不存在，所以函数在点处对的偏导数都不存在.即二元函数在点处连续但对的偏导数都不存在.例3二元函数在点处对的偏导数都存在，但函数在该点处不连续.解因为，.所以函数在点处对的偏导数都存在.又因为，极限值随变化，所以极限不存在，即函数在点处不连续.故二元函数在点处对的偏导数都存在，但函数在该点处不连续.由例2可知，函数在某一点处连续，但函数在该点处一阶偏导数不一定存在，由例3可知，函数在某一点处一阶偏导数存在，但函数在该点处不一定连续.综上所述，对二元函数，二元函数在某一点处连续，但函数在该点处一阶偏导数不一定存在；函数在某一点处一阶偏导数存在，但函数在该点处不一定连续.3.2可导与可微之间的关系下面探讨二元函数可导与可微之间的关系，用如下定理和例子分析说明二元函数一阶偏导数存在、一阶偏导数连续与可微之间的关系.定理3如果二元函数在点处可微，则函数在点处对的偏导数都存在，且（3）式中的.证由于函数在点处可微，则，令上式，则，即，故函数在点处对的偏导数都存在，且.由定理3可知，如果二元函数在某一点处可微，则函数在该点处一阶偏导数一定存在.但是函数在该点处一阶偏导数存在只是函数在某一点处可微的必要条件而不是充分条件，即函数在某一点处一阶偏导数存在，但函数不一定在该点处可微.例4二元函数在点处对的偏导数存在，但函数在点处不可微.解因为，，即函数在点处对的偏导数都存在.因为，所以函数在点处不可微.即二元函数在点处对的偏导数存在，但函数在点处不可微.由例4可知，二元函数在某一点处一阶偏导数存在，但函数在该点处不一定可微.对二元函数，虽然二元函数在某一点处一阶偏导数存在，但函数在该点处不一定可微，不过如果二元函数在某一点处一阶偏导数存在且一阶偏导数连续，则函数在该点处一定可微.定理4如果二元函数在点处对的偏导数存在，并且对的偏导数在点处连续，则函数在点处可微.证把全增量写作，根据拉格朗日中值定理，可得，（6）.由于与在点处连续，因此有，（7），（8）其中当时，.将（7）（8）式代入（6）中得，由（4）式可得，函数在点处可微.由定理4可知，对二元函数，如果函数在某一点处一阶偏导数存在且一阶偏导数连续，则函数在该点处一定可微.但二元函数在某一点处一阶偏导数存在且一阶偏导数连续并不是函数在该点处可微的必要条件，即若函数在某一点处可微，则在该点处一阶偏导数存在，但一阶偏导数不一定连续.例5函数在点处可微，而在点处一阶偏导数都存在，但一阶偏导数在点处不连续.解因为，所以函数在点处可微且.当时，.当时，.因为，上式利用极坐标代换得，极限值随变化，所以极限不存在，即当时，对的偏导数的极限不存在，即对的偏导数在点处不连续.由对称性可得，对的偏导数在点处不连续.即二元函数在点处可微，且在点处对的偏导数都存在，但对的偏导数在点处不连续.由例5可知，如果函数在某一点处可微，则在该点处一阶偏导数一定存在，但一阶偏导数不一定连续.综上所述，如果二元函数在某一点处可微，则函数在该点处一阶偏导数一定存在；二元函数在某一点处一阶偏导存在，但函数在该点处不一定可微；如果函数在某一点处一阶偏导数存在且一阶偏导数连续，则函数在该点处一定可微；如果函数在某一点处可微，则在该点处一阶偏导数一定存在，但一阶偏导数不一定连续.3.3连续与可微之间的关系下面探讨二元函数连续与可微之间的关系，用如下定理和例子分析说明二元函数连续与可微之间的关系.定理5如果二元函数在点处可微，则函数在点处一定连续.证由于函数在点处可微，则，当时，有，所以在点处一定连续.由定理5可知，对二元函数，如果二元函数在某一点处可微，则函数在该点处一定连续.但函数在某一点处可微是在该点处连续的充分条件而不是必要条件，即定理5反之不成立.例6二元函数在点处连续，但函数在点处不可微.解令，，则，所以函数在点处连续.因为，所以函数在点处不可微.即二元函数在点处连续，但函数在点处不可微.由例6可知，二元函数在某一点处连续，但函数在该点处不一定可微.综上所述，对二元函数，如果函数在某一点处可微，则函数在该点处一定连续；二元函数在某一点连续，但函数在该点处不一定可微.3.4连续、可导、可微之间的关系总结综上所述，对二元函数，二元函数在某一点处连续，函数在该点处一阶偏导数不一定存在；函数在某一点处一阶偏导数存在，但函数在该点处不一定连续；如果二元函数在某一点处可微，则函数在该点处一阶偏导数一定存在；二元函数在某一点处一阶偏导存在，但函数在该点处不一定可微；如果函数在某一点处一阶偏导数存在且一阶偏导数连续，则函数在该点处一定可微；如果函数在某一点处可微，则在该点处一阶偏导数一定存在，但一阶偏导数不一定连续；如果函数在某一点处可微，则函数在该点处一定连续；二元函数在某一点处连续，但函数在该点处不一定可微.对多元函数，函数在某一点处连续、可导与可微之间的关系亦如此.因此，可用如图2所示关系图总结多元函数在某一点处连续、可导与可微之间的关系.图2多元函数连续、可导与可微之间的关系结束语本文采取理论证明和举反例的方法探讨了函数在某一点处连续、可导与可微三者之间的关系.对一元函数，得出以下结论：若函数可导则必连续，函数连续但不一定可导；函数可导与可微等价；若函数可微则必连续，函数连续但不一定可微.对多元函数，得出以下结论：函数可导但不一定连续，函数连续但不一定可导；若函数可微则必可导，函数可导但不一定可微；若函数偏导数连续则必可微，函数可微但不一定偏导数连续；若函数可微则必连续，函数连续但不一定可微.

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