新教材2024年高中数学第八章成对数据的统计分析8.3列联表与独立性检验素养作业新人教A版选择性必修第三册

第八章8.3A组·素养自测一、选择题1．(多选)下列说法正确的是(AB)A．事务A与B独立，即两个事务互不影响B．事务A与B关系越亲密，则χ2就越大C．χ2的大小是判定事务A与B是否相关的唯一依据D．若判定两事务A与B相关，则A发生B肯定发生[解析]由事务的独立性知，A选项正确；由独立性检验的意义知，B选项正确；χ2的大小是判定事务A与B是否相关的一种方法，不是唯一依据，C选项不正确；若事务A与B相关，则A发生B可能发生，也可能不发生，D选项不正确．2．分类变量X和Y的列表如下，则下列说法推断正确的是(C)y1y2合计x1aba＋bx2cdc＋d合计a＋cb＋da＋b＋c＋dA．ad－bc越小，说明X和Y关系越弱B．ad－bc越大，说明X和Y关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强[解析]列联表可以较为精确地推断两个变量之间的相关关系程度，由χ2＝eq\f(a＋b＋c＋dad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)，当(ad－bc)2越大，χ2越大，表明X与Y的关系越强．(ad－bc)2越接近0，说明两个分类变量X和Y无关的可能性越大．3．为考察A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：依据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是(B)A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A，B对该疾病均没有预防效果[解析]从等高条形图可以看出，服用药物A后未患病的比例比服用药物B后未患病的比例大得多，预防效果更好．4．为了了解手机品牌的选择是否和年龄的大小有关，随机抽取部分A品牌手机运用者和B品牌手机运用者进行统计，统计结果如下表：年龄手机品牌合计A品牌B品牌30岁以上40206030岁以下(含30岁)152540合计5545100依据表格计算得χ2≈8.249，据此推断下列结论正确的是(C)A．没有任何把握认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”B．可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”D．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小无关”[解析]χ2≈8.249>6.635＝x0.01，由小概率值α＝0.01的独立性检验知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”．5．利用独立性检验对事务A和B是否有关进行探讨时，若有99%的把握认为事务A和B有关，则计算出的χ2的取值范围是(A)P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A．χ2≥6.635 B．χ2<6.635C．χ2≥3.841 D．χ2<3.841[解析]易知当χ2≥6.635时，有99%的把握认为事务A和B有关．故选A．二、填空题6．(一题两空)在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算χ2＝7.63.依据这一数据分析，有_99%__的把握说，打鼾与患心脏病是_有关__的.(“有关”或“无关”)[解析]∵χ2＝7.63，∴χ2>6.635，因此，有99%的把握说，打鼾与患心脏病是有关的．7．若两个分类变量x和y的列联表为：yxy1y2x1515x24010则x与y之间有关系的概率约为_0.999__.[解析]χ2＝eq\f(5＋15＋40＋105×10－40×152,5＋1540＋105＋4015＋10)≈18.822.∵18.822>10.828，∴x与y之间有关系的概率约为1－0.001＝0.999.8．假如依据性别与是否爱好运动的列联表得到χ2≈3.852＞3.841，则推断性别与是否爱好运动有关，那么这种推断犯错误的可能性不超过_5%__.[解析]因为P(χ2≥3.841)≈0.05.所以推断性别与是否爱好运动有关，出错的可能性不超过5%.三、解答题9．(2024·全国甲卷)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量状况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解析](1)依据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是eq\f(150,200)＝0.75，乙机床生产的产品中一级品的频率是eq\f(120,200)＝0.6.(2)依据题表中的数据可得K2＝eq\f(400×150×80－120×502,200×200×270×130)＝eq\f(400,39)≈10.256.因为10.256>6.635，所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．10．为加强环境爱护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0，50](50，150](150，475][0，35]32184(35，75]6812(75，115]3710(1)估计事务“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)依据所给数据，完成下面的2×2列联表：SO2PM2.5[0，150](150，475][0，75](75，115](3)依据(2)中的列联表，依据小概率α＝0.01的独立性检验，推断该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度是否有关？[解析](1)依据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为eq\f(64,100)＝0.64.(2)依据抽查数据，可得2×2列联表：SO2PM2.5[0，150](150，475][0，75]6416(75，115]1010(3)零假设H0：该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度无关．依据(2)的列联表得χ2＝eq\f(100×64×10－16×102,80×20×74×26)≈7.484>6.635＝x0.01.依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为H0不成立，即认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关，此推断犯错误的概率不超过0.01.B组·素养提升一、选择题1．(2024·北京五中模拟)有甲、乙两个班级进行数学考试，依据大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成果，得到如下列联表：优秀非优秀总计甲班10b乙班c30总计105已知在这105人中随机抽取1人，成果优秀的概率为eq\f(2,7)，χ2≈6.109.则下列说法正确的是(C)附：P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A．列联表中c的值为30，b的值为35B．列联表中c的值为15，b的值为50C．依据列联表中的数据，若按95%的牢靠性要求，能认为成果与班级有关系D．依据列联表中的数据，若按95%的牢靠性要求，不能认为成果与班级有关系[解析]∵在这105人中随机抽取1人，成果优秀的概率为eq\f(2,7)，∴成果优秀的人数为105×eq\f(2,7)＝30，非优秀的人数为105－30＝75，∴c＝30－10＝20，b＝75－30＝45，∴χ2＝eq\f(105×10×30－20×452,30×75×50×55)≈6.109>3.841.∴若按95%的牢靠性要求，能认为成果与班级有关系．故选C．2．(多选)有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示，Y1Y2X1a20－aX215－a30＋a其中a，15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值为(CD)A．6 B．7C．8 D．9[解析]依据公式，得χ2＝eq\f(65×[a30＋a－15－a20－a]2,20×45×15×50)＝eq\f(13×13a－602,20×45×3×2)>3.841，依据a>5且15－a>5，a∈Z，求得当a＝8或9时满意题意．3．(多选)(2024·江西省模拟)千百年来，我国劳动人民在生产实践中依据云的形态、走向、速度、厚度、颜色等的改变，总结了丰富的“看云识天气”的阅历，并将这些阅历编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，视察了A地区的100天日落和夜晚天气的状况，得到如下2×2列联表：夜晚天气日落云里走下雨未下雨出现255未出现2545并计算得到χ2＝19.05，下列小波对A地区天气推断正确的是(ABC)附：P(χ2≥k)0.10.050.010.001k2.7063.8416.63510.828A．夜晚下雨的概率约为eq\f(1,2)B．在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为eq\f(5,14)C．有99.99%的把握认为“日落云里走”是否出现与当晚是否下雨有关D．出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨[解析]对于选项A，因为夜晚下雨的天数一共有25＋25＝50(天)，所以夜晚下雨的概率约为eq\f(50,100)＝eq\f(1,2)，故A正确．对于选项B，未出现“日落云里走”夜晚下雨的有25天，未出现“日落云里走”的一共有25＋45＝70(天)，所以在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为eq\f(25,70)＝eq\f(5,14)，故B正确．对于选项C，因为χ2≈19.05>10.828，所以有99.9%的把握认为“日落云里走”是否出现与当晚是否下雨有关，故C正确，D错误，故选ABC．4．某校团委对“学生性别和喜爱某热门软件是否有关联”进行了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的eq\f(1,2)，男生喜爱该软件的人数占男生人数的eq\f(1,6)，女生喜爱该软件的人数占女生人数的eq\f(2,3).若有99%的把握认为喜爱该软件和性别有关联，则男生至少有(B)参考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828A．12人 B．18人C．24人 D．30人[解析]设男生人数为x，女生人数为eq\f(x,2).作出2×2列联表：喜爱该软件不喜爱该软件合计男生eq\f(1,6)xeq\f(5,6)xx女生eq\f(1,3)xeq\f(1,6)xeq\f(x,2)合计eq\f(x,2)xeq\f(3,2)x可得χ2＝eq\f(\f(3x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,6)·\f(x,6)－\f(x,3)·\f(5x,6)))2,\f(x,2)·x·\f(x,2)·x)＝eq\f(3x,8)>6.635.解得x>17.69，∵x为整数，所以，若在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否喜爱抖音和性别有关，则男生至少有18人．故选B．二、填空题5．某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与比照班成果统计如表所示(单位：人)：80及80分以上80分以下总计试验班351550比照班20m50总计5545n(1)m＝_30__，n＝_100__；(2)依据表中数据得到的结论是_有99%的把握说“教学方式与成果有关系”__.[解析](1)m＝45－15＝30，n＝50＋50＝100.(2)由表中的数据得χ2＝eq\f(100×35×30－15×202,50×50×55×45)≈9.091.因为9.091>6.635，所以有99%的把握说“教学方式与成果有关系”．6．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94，30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如表：甲厂：分组[29.86，29.90)[29.90，29.94)[29.94，29.98)[29.98，30.02)[30.02，30.06)[30.06，30.10)[30.10，30.14)频数12638618292614乙厂：分组[29.86，29.90)[29.90，29.94)[29.94，29.98)[29.98，30.02)[30.02，30.06)[30.06，30.10)[30.10，30.14)频数297185159766218(1)两个分厂生产的零件的优质品率分别为_72%，64%__；(2)有_99%__的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．[解析](1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为eq\f(360,500)×100%＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为eq\f(320,500)×100%＝64%.(2)甲厂乙厂总计优质品360320680非优质品140180320总计5005001000χ2＝eq\f(1000×360×180－320×1402,500×500×680×320)≈7.35>6.635.所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．7．为探讨某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：单位：人性别疗效合计无效有效男性患者153550女性患者64450合计2179100设H0服用此药的效果与患者的性别无关，则χ2≈_4.882__，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种推断出错的可能性为_5%__.[解析]由公式计算得χ2≈4.882.因为χ2>3.841，所以我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而出错的可能性为5%.三、解答题8．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图．(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事务“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并依据列联表推断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.箱产量<50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法附：P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).[解析](1)记B表示事务“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事务“新养殖法的箱产量不低于50kg”，∴P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)，旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估计值为0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P(C)的估计值为0.66，则事务A的概率估计值为P(A)＝P(B)·P(C)＝0.62×0.66＝0.4092，∴A发生的概率为0.4092.(2)依据箱产量的频率分布直方图得到列联表：箱产量<50kg箱产量≥50kg总计旧养殖法6238100新养殖法3466100总计96104200则χ2＝eq\f(200×62×66－38×342,100×100×96×104)≈15.705，由15.705>6.635.故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．9．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的运用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：土地运用面积x(单位：公顷)12345管理时间y(单位：月)810132524并调查了某村300名村民参加管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：情愿参加管理不情愿参加管理男性村民15050女性村民50(1)求出相关系数r的大小，并推断管理时间y与土地运用面积x是否线性相关？(2)依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为村民参加管理的意愿与性别有关系？(3)若以该村的村民的性别与参加管理意愿的状况估计贫困县的状况，从该贫困县中任取3人，记取到不情愿参加管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望．[解析](1)依题意：eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(8＋10＋13＋25＋24,5)＝16，故eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝(－2)×(－8)＋(－1)×(－6)＋1×9＋2×8＝47，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))2＝4＋1＋1＋4＝10，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝64＋36＋9＋81＋64＝254，则r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,5,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(47,\r(10)×\r(254))＝eq\f(47,2\r(635))≈0.933，故管理时间y与土地运用面积x线性相关．(2)依题意，完善表格如下：情愿参加管理不