8.3简单几何体的表面积与体积（教师版）

立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积一、知识回顾在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？二、探索新知知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V棱柱＝ShS为棱柱的底面积，h为棱柱的高棱锥V棱锥＝eq\f(1,3)ShS为棱锥的底面积，h为棱锥的高棱台V棱台＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S)S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高知识点三圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝πrl表面积：S＝πr(r＋l)圆台上底面面积：S上底＝πr′2下底面面积：S下底＝πr2侧面积：S侧＝πl(r＋r′)表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)知识点四圆柱、圆锥、圆台的体积V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h(r是底面半径，h是高)，V圆台＝eq\f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高).知识点五球的表面积和体积表面积：S＝4πR2．体积：V＝eq\f(4,3)πR3．例1如图8.31，四面体的各棱长均为，求它的表面积．【分析】：因为四面体的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍．解：因为是正三角形，其边长为，所以．因此，四面体的表面积．【练习1】若正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积.【答案】正六棱台的表面积为【解析】如图，正六棱台中，，，，∴侧面梯形的斜高为∴∴.又，，∴正六棱台的表面积.即正六棱台的表面积为.例2如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？【分析】漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和.解：由题意知，长方体的体积，棱锥的体积，所以这个漏斗的容积.【练习2】若圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：依题意，设圆锥的底面直径为，母线为，则且，解得，，所以圆锥的高所以，故选：A例3如图8.34，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（取3.14）解：一个浮标的表面积为，所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料【设计意图】段炼其发散思维，培养其解决实际问题能力。【练习3】已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.【答案】【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意得.又圆锥的侧面展开图为半圆，，即.将②式代入①式得，，即.故圆锥的底面直径为.例4如图8.36，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比．解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为．，．【练习4】一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面积为，则球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出平面截球体所得的圆的半径，即可求出球半径，得出体积.【解析】设球的半径为，平面截球体所得的圆的半径为，则由题可得，解得，所以,所以球的体积为.故选：B.课后练习1、如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？【答案】【解析】解：由题意，每个面都是边长为30cm的正三角形，即这个八面体的表面积是.2、将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积.【答案】【解析】解：由题意知，球内切于正方体，，.所以球的体积，即可制作的最大零件的体积为.3、一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000的水，现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？【答案】不会【解析】解：球的体积，水中球的体积，长方体的体积，.故水不会从水槽中溢出.4、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，求球的体积.【答案】【解析】解：∵正方体的棱长为,∴正方体的体对角线长为，∴球的半径，.5、在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积.【答案】【解析】解：设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为，底