2025年高考数学一轮复习-第2课时-球的切、接与截面问题【课件】

第2课时球的切、接问题目录CONTENTS12课时跟踪检测考点分类突破PART1考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练几何体的外接球

A.100πB.128πC.144πD.192π

（2）（2024·全国乙卷16题）已知点

S

，

A

，

B

，

C

均在半径为2的球

面上，△

ABC

是边长为3的等边三角形，

SA

⊥平面

ABC

，则

SA

＝

⁠.2

解题技法1.求几何体外接球半径的方法（1）补体法：把几何体补成长方体、正方体、正四面体，再利用

它们外接球半径公式求解；（2）性质法：球心与截面圆心的连线与截面垂直，球心与弦中点

的连线与弦垂直.2.确定球心的常用结论（1）长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；（2）正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；（3）直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的

中点；（4）正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角

三角形运用勾股定理计算得到.

1.（2024·菏泽一模）已知三棱锥

P

-

ABC

中，

PA

，

PB

，

PC

两两垂

直，且

PA

＝1，

PB

＝2，

PC

＝3，则三棱锥

P

-

ABC

的外接球的表面

积为（

）B.14πC.56π解析：

以线段

PA

，

PB

，

PC

为相邻三条棱

的长方体PAB'B-CA'P'C'被平面

ABC

所截的三棱

锥

P

-

ABC

符合要求，如图，长方体PAB'B-

CA'P'C'与三棱锥

P

-

ABC

有相同的外接球，其外

接球直径为长方体体对角线PP'，设外接球的半径为

R

，则（2

R

）2＝PP'2＝

PA

2＋

PB

2＋

PC

2＝12＋22＋32＝14，则所求表面积

S

＝4π

R

2＝π·（2

R

）2＝14π.2.（2021·全国甲卷11题）已知

A

，

B

，

C

是半径为1的球

O

的球面上

的三个点，且

AC

⊥

BC

，

AC

＝

BC

＝1，则三棱锥

O

-

ABC

的体积为

（

）

几何体的内切球【例2】

（1）（2024·全国甲卷15题）在正方体

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1

中，

E

，

F

分别为

AB

，

C

1

D

1的中点.以

EF

为直径的球的球面与该正

方体的棱共有

个公共点；12

（2）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的

球的体积为

⁠.

解题技法内切球问题的处理思路

通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，解题

思路如下：（1）定球心：内切球中球心到切点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多的包

含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到

空间问题平面化的目的；（3）求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球

半径的方程，并求解.提醒

求解多面体内切球问题，一般是将多面体分割为以内切

球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的

体积等于分割后各棱锥的体积之和，求内切球的半径.

1.如图，已知球

O

是棱长为1的正方体

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1的内切球，

则平面

ACD

1截球

O

的截面面积为（

）

2.已知三棱锥

P

-

ABC

中，

PA

⊥底面

ABC

，

AC

＝4，

BC

＝3，

AB

＝

5，

PA

＝3，则该三棱锥的内切球的体积为

⁠.

与球切、接有关的最值问题【例3】

（1）（2022·全国乙卷9题）已知球

O

的半径为1，四棱锥的

顶点为

O

，底面的四个顶点均在球

O

的球面上，则当该四棱锥的体积

最大时，其高为（

）

（2）（2024·全国甲卷16题）在正方体

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝

4，

O

为

AC

1的中点，若该正方体的棱与球

O

的球面有公共点，

则球

O

的半径的取值范围是

⁠.

解题技法处理与球切、接有关最值问题的解题策略（1）截面法：①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且

为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；②

作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的.（2）代数法：找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方

法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次

函数的端点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法（如

三角函数等）及导数法等.

2.（2024·长沙检测）在封闭的直三棱柱

ABC

-

A

1

B

1

C

1内有一个体积

为

V

的球.若

AB

⊥

BC

，

AB

＝6，

BC

＝8，

AA

1＝3，则

V

的最大值

是

⁠.

PART2课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习1.正方体的外接球与内切球的表面积之比为（

）C.3

2.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球

面上，则该圆柱的体积为（

）A.π

3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个

球的表面积为（

）A.16πB.20πC.24πD.32π

4.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯

结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完

全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经90°榫卯起来.若正四棱

柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容

器内，则该球形容器的表面积至少为（容器壁的厚度忽略不计，结

果保留π）（

）A.96πB.84πC.42πD.16π

A.球

O

的表面积为6πB.球

O

的内接正方体的棱长为1D.球

O

的内接正四面体的棱长为2

6.（多选）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已

知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点

在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的说法正确的是

（

）A.半径是3B.

体积为18πC.表面积为27πD.

表面积为18π

7.已知三棱锥

S

-

ABC

的三条侧棱两两垂直，且

SA

＝1，

SB

＝

SC

＝

2，则三棱锥

S

-

ABC

的外接球的半径是

⁠.

9.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆

柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相

传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现.我们来重温这个伟大

发现，关于圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面

积之比说法正确的是（

）D.

表面积之比2

A.3πB.4πC.9πD.12π

11.已知

A

，

B

，

C

为球

O

的球面上的三个点，☉

O

1为△

ABC

的外接

圆.若☉

O

1的面积为4π，

AB

＝

BC

＝

AC

＝

OO

1，则球

O

的表面积

为（

）A.64πB.48πC.36πD.32π

A.正方体的外接球的表面积为12πC.正方体的棱长为2

当2＜

h

＜4时，f'（

h

）＜0；当

h

＞4时，f'（

h

）＞0.所以

f

（

h

）在（2，4）上单调递减，在（4，＋∞）上单调递增，所以

f

（

h

）min＝

f

（4）＝8，即

h

＝4时，该圆锥的体积最小.后

同法一.

15.（2024·南昌调研）如图，在底面边长为4，高为6的正四棱柱中有

两个球，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且

与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为

⁠.

16.如图，圆形纸片的圆心为

O

，半径为5cm，该纸片上的等边三角

形

ABC

的中心为

O

.

D

，

E

，

F

为圆

O

上的点，△

DBC

，△

ECA

，

△

FAB