2025年高考数学一轮复习-第十一章-第七节-正态分布-专项训练【含答案】

第十一章-第七节-正态分布-专项训练一、单项选择题1．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为()A．512625B．256625C．1132．北京冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点．冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征吉祥幸福．小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个“雪容融”，随机选了3个寄给他的好朋友小华，则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为()A．1 B．2C．3 D．1.53．新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量(单位：kW·h/100km)情况，随机调查得到了1200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量ξ～N(13，σ2)，若P(12<ξ<14)＝0.7，则样本中耗电量不小于14kW·h/100km的汽车大约有()A．180辆 B．360辆C．600辆 D．840辆4．高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块(如图所示)，并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块．如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是()A．532 B．5C．316 D．5．经检测一批产品中每件产品的合格率为35，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为XA．X的可能取值为1，2，3，4，5B．P(X＝2)＝CC．X＝3的概率最大D．X服从超几何分布6．已知X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．今有一批数量庞大的零件．假设这批零件的某项质量指标ξ(单位：mm)服从正态分布X～N(5.40，0.052)，现从中随机抽取M个，这M个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间[5.35，5.55].若K＝45，试以使得P(K＝45)最大的M值作为M的估计值，则M为()A．45 B．53C．54 D．90二、多项选择题7．某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：s)服从正态分布N(8，σ2)，且P(ξ≤7)＝0.2．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7，9)间的个数记为X，则()A．P(7<ξ<9)＝0.8 B．E(X)＝1.8C．E(ξ)>E(5X) D．P(X≥1)>0.98．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)．()A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三、填空题9．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N(100，σ2)．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为________．(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)≈0.9545)10．某校召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________；若用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则E(X)＝________．四、解答题11．某中学进行90周年校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机地抽取4道来回答，竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得－10分．(1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响，记甲的总得分为X，求X的期望和方差；(2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列．12．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：序号i12345678910成绩xi/分38414451545658647480记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x，s2，经计算(xi－x)2＝1690.(1)求x；(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；(3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N(μ，σ2)，用x，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E(Y)．附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.13．某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望；(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望；(3)如果你是商场老板，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．参考答案1．A[由题得最多1人被感染的概率为C404542．B[设小华收到的“冰墩墩”的个数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，3.则P(ξ＝0)＝C33C93＝184；P(P(ξ＝2)＝C62C31C93＝1528所以E(ξ)＝1×314＋2×1528＋3×3．A[因为ξ～N(13，σ2)，且P(12<ξ<14)＝0.7，所以P(ξ≥14)＝12×[1－P(12<ξ<14)]＝12所以样本中耗电量不小于14kW·h/100km的汽车大约有1200×0.15＝180(辆)．故选A.]4．A[由题意知，小球下落过程中共碰撞小木块5次，小球落到第⑤个格子需向左落下1次，向右落下4次，又小球向左、向右落下的概率均为12故小球落到第⑤个格子的概率P＝C54×5．C[对于A，X的可能取值为0，1，2，3，4，5，A错误；对于B，P(X＝2)＝C5对于D，由题意，随机变量X～B5，对于C，随机变量X～B5，35，所以P(X＝k若P(X＝k)取得最大值时，则P则C即1解得2.6≤k≤3.6，k∈N*，则k＝3，故X＝3的概率最大，C正确．故选C.]6．B[由已知可得，P(5.35≤ξ≤5.55)＝P(5.40－0.05≤ξ≤5.40＋3×0.05)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋3σ)．又P(μ－σ≤ξ≤μ＋3σ)＝P≈0.6827+0.99732所以K～B(M，0.84)，P(K＝45)＝CM45·0.8445·0.16M设f(x)＝Cx45·0.8445·0.16x则fx+1f＝0.16·x+1＝0.16·x+1x−44所以x<3687＝52＋47，所以f(53)>fxf＝0.16·x！x−45！45所以x>3757＝53＋47，所以f(53)>所以，以使得P(K＝45)最大的M值作为M的估计值，则M为53.故选B.]7．BD[由正态分布的对称性可知：P(ξ≤7)＝P(ξ≥9)＝0.2，故P(7<ξ<9)＝1－0.2×2＝0.6，A错误；X～B(3，0.6)，故E(X)＝3×0.6＝1.8，B正确；E(ξ)＝8，E(5X)＝5E(X)＝5×1.8＝9，故E(ξ)<E(5X)，C错误；因为X～B(3，0.6)，所以P(X＝0)＝C30(0.6)0×(0.4)3＝0.064，故P(X8．ABD[由题意，发0收1的概率为α，发0收0的概率为1－α；发1收0的概率为β，发1收1的概率为1－β.对于A，发1收1的概率为1－β，发0收0的概率为1－α，发1收1的概率为1－β，所以所求概率为(1－α)(1－β)2，A正确．对于B，相当于发了1，1，1，收到1，0，1，则概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，B正确．对于C，相当于发了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，则概率为C32β(1－β)2＋C33(1－β)3＝3β(1－β)2＋(1－β)3，C不正确．对于D，发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，则此方案的概率P1＝C32α1−α2+C33(1－α)3＝3α(1－α)2＋(1－α)3；发送0，采用单次传输方案译码为0的概率P2＝1－α，当0<α<0.5时，P1－P2＝3α(1－α)29．12[依题可知，μ＝100，根据题意及正态曲线的特征可知，|X－100|<2σ的解集A⊆(99，101)由|X－100|<2σ可得100－2σ<X<100＋2σ，所以100−2σ≥99，100+2σ≤101，解得σ10．21797[由题意3人全是男志愿者，即X＝0，P(X＝0)＝C43C73＝435，P(X＝1)＝C42C31C73＝1835，P(X＝2)＝C41C32C73＝1235记全是男志愿者为事件A，至少有一名男志愿者为事件B，则P(A)＝P(X＝0)＝435P(B)＝1－P(X＝3)＝3435P(A|B)＝PABPB＝411．解：(1)设甲答对题目的数目为ξ，则ξ～B(4，0.8)，所以X＝10ξ－10(4－ξ)＝20ξ－40，所以E(X)＝20E(ξ)－40＝20×4×0.8－40＝24；D(X)＝400D(ξ)＝400×4×0.8×0.2＝256.(2)设乙答对题目的数目为η，则η服从参数为N＝10，M＝6，n＝4的超几何分布，且Y＝10η－10(4－η)＝20η－40，所以P(Y＝－40)＝P(η＝0)＝C44CP(Y＝－20)＝P(η＝1)＝C43CP(Y＝0)＝P(η＝2)＝C42CP(Y＝20)＝P(η＝3)＝C41CP(Y＝40)＝P(η＝4)＝C40C所以Y的分布列为Y－40－2002040P1438112．解：(1)x＝110×(2)因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0，1，2，3.因为P(X＝0)＝C73C103＝724，P(X＝1P(X＝2)＝C71C32C103＝740，P所以X的分布列为X0123P72171(3)因为x＝56，s2＝110i=110xi所以μ＝56，σ＝13.因为P(30≤ξ≤82)＝P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的概率约为0.9545，故Y～B(100，0.9545)，所以E(Y)＝100×0.9545＝95.45.13．解：(1)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为C52+因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X服从二项分布，即X～B2，所以X的所有可能取值为0，1，2.则P(X＝0)＝C20·P(X＝1)＝C21·P(X＝2)＝C22·所以X的分布列为X012P254016所以X的数学期望E(X)＝1×4