山东省烟台市福山区2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

数学注意事项：1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟，考试结束后，请将答题卡上交．2．答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上．3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上时应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他器标号．4．非选择题必须用用0.5毫米黑色签字笔作答，答案写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效．一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都验出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．1.下列说法中，不正确的是（）A.3与互为相反数 B.与为倒数 C.的立方根是 D.的绝对值是1答案：B解析：详解：解：A、3与互为相反数，正确，不符合题意；B、与为倒数，原说法错误，符合题意；C、的立方根是，正确，不符合题意；D、的绝对值是1，正确，不符合题意．故选：B．2.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个答案：D解析：详解：解：第1、2个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；第3个图形是中心对称图形，也是轴对称图形；第4个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，是轴对称图形，但不是中心对称图形的个数有1个．故选：D．3.如图所示的这个几何体，下列图形不是这个几何体的三视图的是（）A. B. C. D.答案：B解析：详解：解：A是主视图，C是左视图，D是俯视图，故选：B．4.下列运算结果正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：详解：A、，故运算结果错误；B、，故运算结果错误；C、，故运算结果正确；D、，故运算结果错误；故选：C．5.党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五、将数据1040000000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.答案：C解析：详解：解：，故选：C．6.已知数轴上点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（）A. B.C. D.答案：B解析：详解：解：∵，，∴∵∴A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项不符合题意；故选：B．7.某中学开展“读书节活动”．该中学某语文老师随机样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：每周课外阅读时间（小时）2468学生数（人）2341下列说法错误的是（）A.众数是1 B.平均数是 C.样本容量是10 D.中位数是5答案：A解析：详解：解：∵阅读时间为6小时的有4人，人数最多，∴众数是6，故A说法错误，符合题意；平均数为，故B说法正确，不符合题意；∵抽取了10名学生的课外阅读时间，∴样本容量为10，故C说法正确，不符合题意；把阅读时间从低到高排列，处在第5名和第6名阅读时间分别为4小时和6小时，∴中位数为，故D说法正确，不符合题意；故选：A．8.如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（）A.10°，1 B.10°， C.15°，1 D.15°，答案：C解析：详解：解：过点O作于点E，如图所示：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，，，∴，，，∴，∴，∴；故选C．9.如图，将矩形ABCD折叠，使点D落在AB上点D′处，折痕为AE；再次折叠，使点C落在ED′上点C′处，连接FC′并延长交AE于点G．若AB=8，AD=5，则FG长为（）A. B. C. D.4答案：C解析：详解：解：由折叠的性质得，∠AD'E=∠D=90°，AD=AD'，又∵∠DAB=90°，∴四边形ADED'是矩形，∵AD=AD'，∴四边形ADED'是正方形，过点G作GI⊥AB，GH⊥ED'，垂足分别为I、H，∵AD'ED是正方形，∴AD=DE=ED'=AD'=5，BC=BC′=5，∠C=∠BC′F=90°，FC=FC′，∴D'B=EC=8-5=3，在Rt△C′BD'中，C′D'=4，∴C′E=5-4=1，在Rt△EFC′中，设FC′=x，则EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=，∵∠BC′D'+∠GC′H=90°，∠GC′H+∠C′GH=90°，∴∠BC′D'=∠C′GH，又∵∠GHC′=∠BD'C′=90°，∴△BC′D'∽△C′GH，∴C′H：GH：C′G=BD'：C′D'：BC′=3：4：5，设C′H=3m，则GH=4m，C′G=5m，∴HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，解得：m=1，∴C′G=5m=5，∴FG=；故选：C．10.如图是抛物线的图象，其对称轴为，且该图象与x轴的一个交点在点（－3，0）和（－4，0）之间，并经过点与点，则下列结论：①；②；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论有（）个

A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：详解：解：抛物线开口向下，，对称轴在轴左侧，，抛物线与轴交点在轴上方，，，①正确，符合题意．对称轴直线，，抛物线与轴一交点在和之间，抛物线与轴另一交点在，之间，时，，，②正确，符合题意．抛物线对称轴为直线且图象开口向下，，，③正确，符合题意．抛物线开口向下，对称轴为直线，时取最大值，由可得，当时，即，④错误，不符合题意．故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每个题3分，满分18分）11.在函数中，自变量x的取值范围是__________．答案：解析：详解：解：在函数中，，解得：，故答案为：.12.如图，五边形是正五边形，若，则__________．答案：72解析：详解：详解：延长AB交于点F，∵，∴∠2=∠3，∵五边形是正五边形，∴∠ABC=108°,∴∠FBC=72°,∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°故答案为72°.13.如图，在中，，，．以点C为圆心，以的长为半径画弧，分别交于点D，E，则图中阴影部分的面积为___________．答案：解析：详解：解：如图所示，过点作于，连接，∵，，∴，∵以的长为半径画弧，分别交于点，∴是等边三角形，∴，∴，在中，，，故答案为：．14.如图，平行四边形的顶点A，B在函数（）的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为___________．答案：解析：详解：解：∵四边形是平行四边形，的面积为8，，，，，则，∵点在函数的图象上，，，则，，∴，故答案为：．15.如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，______°．答案：100解析：详解：解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，由对称性知：，，，∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小；∵，∴，∴∵，∴，∵，∴，即，故答案为：．16.如图，礼盒的上下底面为全等的正六边形，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为___________厘米．答案：解析：详解：解：根据题意，作出实际图形的上底，如图：是上底面的两边．则，作于点，那么，所以，胶带的长至少．故答案为：．三、解答题（本大题共9个小题，满分72分）17.（1）先化简，再求值：，其中．（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．答案：（1），；（2）原不等式组的解集为，数轴表示见解析．解析：详解：（1）解：原式．当时，原式．（2）解：，解不等式①得，解不等式②得，在同一条数轴上表示不等式组解集如图：∴原不等式组的解集为．18.如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM．（1）用尺规作∠ABC的平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：四边形ABCD是菱形．答案：（1）见解析；（2）见解析.解析：详解：解：(1)如下图所示，DB、CD为所作；(2)证明：∵AC平分∠BAM，∴∠BAC＝∠DAC，∵AM∥BC，∴∠DAC＝∠BCA．∴∠BAC＝∠BCA．∴AB＝BC，同理可证：AB＝AD．∴AD＝BC．又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．19.某中学对1000名学生就“冰壶比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：类别频数频率不了解10m了解很少16基本了解b

很了解4n合计a1（1）根据以上信息可知：___________，___________，___________，__________．（2）请补全条形统计图；（3）请估计该校1000名学生中“基本了解”的人数；（4）若“报了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加“冰壶比赛规则”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同．答案：（1），，，；（2）见解析；（3）估计该校1000名学生中“基本了解”的人数约400人；（4）抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同，理由见解析．解析：小问1详解：解：，，，；小问2详解：补全条形图如下：小问3详解：估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有（人），答案：400；小问4详解：记4名学生中3名男生分别为，，，一名女生为B，列表如下：

B

B

从4人中任取两人的所有机会均等结果共有12种，抽到两名学生均为男生包含：、、、、、共6种等可能结果．∴P（抽到两名学生均为男生），抽到一男一女包含：、、、、、共六种等可能结果．∴P（抽到一男一女），故抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同．20.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为．（1）求反比例函数的表达式．（2）观察图象，直接写出不等式的解集．（3）将直线向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接、，若的面积为20，求直线的表达式．答案：（1）（2）或（3）解析：小问1详解：解：直线与双曲线交于A、B两点，∴A、B关于原点对称，，，在双曲线上，，∴反比例函数的表达式为；小问2详解：∵，∴不等式的解集为：或；小问3详解：方法一：连接，作轴于G，在直线上，，直线的表达式为，，，，，，，，，，直线CD的表达式为．方法二：连接BF，作轴于，在直线上，，直线的表达式为，，，，，，，∴设直线的表达式为，在直线上，，，∴直线的表达式为．21.为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：）答案：米解析：详解：解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，依题意，，（米）在中，（米），（米），则（米）∵（米）∴（米）∵，∴（米）∴（米）．22.荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购种的件数是630元采购种件数的2倍，种的进价比种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购种的件数不低于390件，不超过种件数的4倍．（1）求，饰品每件的进价分别为多少元？（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过150件时，种超过的部分按进价打6折．设购进种饰品件，

①求的取值范围；

②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．答案：（1）种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元；（2）①且为整数，②当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．解析：小问1详解：（1）设种饰品每件的进价为元，则B种饰品每件的进价为元．由题意得：，解得：，经检验，是所列方程的根，且符合题意．种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元．小问2详解：①根据题意得：，解得：且为整数；②设采购种饰品件时的总利润为元．当时，，即，，随的增大而减小．当时，有最大值3480．当时，整理得：，，随的增大而增大．当时，有最大值3630．，的最大值为3630，此时．即当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元．23.如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若，，求AB的长．答案：（1）见解析；（2）．解析：小问1详解：证明：连接OC，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴CD是⊙O的切线；小问2详解：解：连接AC，BC，∵BE是⊙O的直径，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即：，∵，∴，∵，∴，∴，∴．24.如图①，正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN．实践探究：（1）在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______．（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．

（3）拓展应用：如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长．答案：（1）12（2）猜想：，理由见解析（3）4解析：小问1详解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠ABC=∠C=∠D=90°．由旋转得：△ABE≌△ADM，∴AE=AM，BE=DM，∠ABE=∠D=90°，∠EAB=∠MAD．∴∠ABE+∠ABC=180°．∴E、B、N在同一直线上．∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，∴∠BAN+∠MAD=45°．∴∠BAN+∠EAB=45°．即∠EAN=45°．∴∠EAN=∠MAN．在△ANM与△ANE中，∴△ANM≌△ANE．∴MN=EN．∵EN=BE+BN=DM+BN，∴MN=DM+BN．∴MN+CM+CN=DM+BN+CM+CN=CD+BC=2BC．在Rt△CMN中，由勾股定理得：，∴10+8+6=2BC．∴BC=12．故答案为：12．小问2详解：三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系为；理由如下：如图②，过点D作DP⊥DF，且DP=BE，连接PF、AP．则∠PDA+∠ADF=∠ADF+∠NDM=90°．∴∠PDA=∠NDM．∵四边形ABCD是正方形，∴BN∥DM．∵BN=DM，∴四边形BNDM是平行四边形．∴∠EBA=∠NDM．∴∠PDA=∠EBA．在△APD与△