必修4-20届人教版高中数学 专题1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

第一章三角函数

1.4三角函数的图象与性质

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质

是知识

一、正弦函数的图象

i.正弦函数、余弦函数

实数集与角的集合之间存在一一对应关系，而一个确定的角对应着唯一确定的正弦（或余弦）值.这样，任意

给定一个实数X,有唯一确定的值sinX（或cosx）与之对应.由这个对应法则所确定的函数产sinX（或产cosx）

叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域是R.

2.利用正弦线作正弦函数的图象

如图，在直角坐标系的x轴上取一点。I，以Oi为圆心，单位长为半径作圆，从。Oi与x轴的交点4起,

把。分成12等份（等份越多，画出的图象越精确）.过。Oi上各分点作x轴的垂线，得到对应于

0,二，四，工，…,2兀等角的正弦线.相应地，再把x轴上从0至U2兀（2兀*.28）这一段分成12等份.把角

632

X的正弦线向右平移，使它的起点与X轴上的点X重合，再把这些正弦线的终点用光滑的曲线连接起来,

即得到函数产sinx,xe[0,2兀]的图象.

将函数y=sinx,xe[0,2兀）的图象向左、向右平行移动（每次2兀个单位长度），就可以得到正弦函数

y=sinx,x£R的图象，如图.正弦函数尸sinx,x£R的图象叫做正弦曲线（sinecurve）.

y=sinR

3.五点法作产sin[0,2兀]的简图

jrSir

在函数产sinx,XG[0,2兀]的图象上，起关键作用的点有以下五个：(0,0),右,1),(兀,0),(土,一1),(2兀0),

22

如下表：

兀371

X0712兀

2T

尸sinx010-10

描出这五个点后,函数尸sinx,xw[0,2兀]的图象形状就基本上确定了.因此，在精确度要求不高时，我

们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种作图的

方法称为五点法作图.

二、余弦函数的图象

1.利用图象变换作余弦函数的图象

根据诱导公式，由y=cosx=cos(—x)=sin[^—(―x)]=sin(x+5),可知余弦函数的图象可以通过将

正弦曲线向左平移个单位长度而得到.如图所示.类似地，我们把余弦函数丁=©。5乂*€11的图象叫

做余弦曲线(cosinecurve).

2.用五点法作余弦函数的图象

与正弦函数的图象一样，在函数y=cosx,xe[0,2兀]的图象上，起关键作用的点有以下五个:

7T57r

(0,l),(-,0),(7C,-l),(—,0),(2兀,1),如下表:

713兀

X0兀2兀

2T

y=cosx10-101

同样，在精确度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来,

就得到函数的简图，这种作图的方法也称为五点法作图.

三、周期函数

一般地，对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，

〃X+T)=/(X)都成立，那么就把函数y=.f(x)称为周期函数(periodicfunction),非零常数了叫做

这个函数的周期(period).

由周期函数的定义可知，周期T并不唯一.若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的

最小正周期(minimalpositiveperiod).

说明：书中涉及的周期，如果没有特别说明，一般都指函数的最小正周期.

四、正弦函数、余弦函数的性质

1.周期性

由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是,2E/eZ且左片0)都是它的周期，

最小正周期是.

同理可得，余弦函数也是，2E(ZwZ且女工0)都是它的周期，最小正周期是.

2.奇偶性

观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于对称，余弦曲线关于对称，因此正

弦函数产sinx,xER为奇函数，余弦函数y=cosx,xeR为偶函数.

3.单调性

正弦函I数产sinx,xdR在每一个闭区间［―2TT+2E,±7T+2E］(ZeZ)上都是,其值从T增大到

22

1；在每一个闭区间UJT+2E,37'r+2版］(ZeZ)上都是,其值从1减小到T.

22

类似地，余弦函数y=cosx,xeR在每一个闭区间［2依-兀,2E］(AGZ)上都是,其值从-1增大

到1；在每一个闭区间［2E,2E+兀］(AeZ)上都是,其值从1减小到T.

4.最大值与最小值(值域)

7T

正弦函数产sinx,xdR,当且仅当x=］+2%i,ZeZ时，取得最大值________;

7T

当且仅当天=一一+2Ek£Z时，取得最小值________.

2

余弦函数y=cosX,XGR，当且仅当x=2kii,k£Z时，取得最大值_______;

当且仅当X=TT+2E#cZ时，取得最小值一1.

s•1今「。运.4°•♦也J。*.««冬运.日。•♦冬•。*

K知识参考答案：

四、1.周期函数2兀周期函数2兀

2.原点Oy轴

3.增函数减函数增函数减函数

4.1-11-1

巨。产域「。卷.u.-O<.<冬♦尸*°•♦运•。霜.：：慧•境

甚重点

K一重点正弦函数、余弦函数的图象与性质

K—难点正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用

不能正确利用三角函数性质求解或不能正确理解三角函数图象

K一易错

变换规律

1.作正弦函数、余弦函数的图象

(I)作正弦函数图象时的关键点：

作正弦函数产sinx,xe［0,27t］的图象时，其中起关键作用的是函数产sinx,xe［0,2兀］与x轴的交点

及最高点和最低点这五个点.这五个点我们可以称之为正弦曲线的特征点，在x轴上的三个点是函数上

凸、下凹的转折点，而最高点和最低点是函数单调性的转折点.利用五点作图法时，只要描出这五个点,

在x轴上方的两点间曲线向上凸，在x轴下方的两点间曲线向下凹，就可快速作出图象.

(2)正弦函数、余弦函数图象上的关键点的异同：

作余弦函数y=cosx,xe［0,2;t］的图象时，其中起关键作用的是函数y=cosx,xe［0,27r］与x轴的交

点及最高点和最低点.与正弦函数尸sinx,xe［O,27r］的图象相比：二者的图象的最低点都只有一个；

余弦函数的图象与x轴的交点有2个，而正弦函数的图象与x轴的交点有3个；余弦函数图象的最高点

有2个，而正弦函数图象的最高点只有一1个.

【例1】在［0,2幻内，作出函数y=3-sinx的图象.

【解析】按五个关键点列表：

三3兀

X0712兀

2~2

sinx010-10

3—sinx32343

描点连线，如图所示.

【例2】画出函数)，=l+cosx,*€[0,2兀]的图象.

【解析】①列表如下：

n3兀

X0兀2兀

2T

COSX10-101

1+cosx21012

②描点:

③连线：用光滑的曲线依次连接各点，即得所求的图象.

【名师点睛】作形如y=asinx+优或y=acosx+8),xW[0,2兀]的图象时，可用“五点法”作图，其步骤是:

①列表，取x=O、张兀、手、2兀；

②描点;

③用光滑曲线连成图.这是一种基本作图方法，应该熟练掌握.

2.函数的周期性及其应用

求三角函数的周期，一般有两种方法：

2兀

（1）公式法，即将函数化为丁=4国11（5；+0）+3或丁=4（：05（5+0）+8的形式，再利用T=

求得；

（2）定义法，即利用定义去研究，但这种方法需要证明7是最小正周期，高考中对此不作要求，往往

采取的是利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察图象得到最小正周期.

【例3】下列函数中，周期为]的是

X

A.y=sin]B.y=sin2T

C.y=sin玄D.y=sin4x

【答案】D

【解析】函数产sin4x的最小正周期T=,=看故选D.

【例4】函数y=|cosx|的周期为

A.2兀B.71

-兀一兀

C.2D.1

【答案】B

【解析】作出函数y=|cos/|的简图，

由图象可知，函数y=|cosx|的周期为兀.

3.函数的奇偶性及其应用

兀

（1）对于函数y=Asin（<yx+。）（A>0,（o>0）：。=&兀时，函数y=Asin（iyx+。）为奇函数；（p=kn+—

时，函数y=Asin（«wx+。）为偶函数.

兀

（2）对于函数？=Acos（@x+。）（A>O,0>O）：。=々兀时，函数y=Acos（ox+。）为偶函数；（p=kn+—

时，函数y=ACOS（69X+。）为奇函数.

【例5】下列函数不是奇函数的是

A.y=sinxB.y=sin2r

C.y=sinx+2D.j^^sinx

【答案】C

【解析】当x=5时，y=si球+2=3,当x=一5时，y=sin（g）+2=1,，函数产sinx+2是非奇非偶

函数.

【例6】下列函数中，周期为冗，又是偶函数的是

A.y=sinxB.y=cosx

C.y=cos2xD.y=sin2x

【答案】C

【解析】函数y=cos2r的周期为兀，又是偶函数，故选C.

4.函数的单调性及其应用

（1）求函数y=45山（5+°）（4>0心彳0）或丁=485（5：+夕）（4>0,切/0）的单调区间，一般

将5+夕视作整体，代入丁=4111或丁=«）5%相关的单调区间所对应的不等式，解之即得.

（2）当co<0时，先利用诱导公式将y=Asin（a）x+夕）（4>0,。<0）变形为y=-Asin（-«yx-e）

（A>0,o><0）,将y=Acos（fyx+0）（A>O,ey<O）变形为y=Acos（-5-°）（A>0,t9<0）,再求

函数的单调区间.

（3）当A<0时，要注意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆.

（4）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函

数的单调性比较.

（5）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上.

【例7】求函数y=2sin《一x）的单调递增区间.

【解析】•：=2sin(：-x)=-2sin(x-»

二函数］=2sin0-x)的递增区间就是函数〃=2sin(x-5的递减区间.

.'.2A7t+^<x—^<2fet+-^-(t€Z),得2版+于土$2版+竽(正2).

，函数y=2sin(：-x)的递增区间为：［2M+苧，2辰+牛］(狂Z).

【名师点睛】讨论函数'=示出(5+夕)的单调性的一般步骤：

(1)若。<0,利用诱导公式二把y=4sin(ox+e)中x的系数化为大于0的数；

(2)引入变量M=S:+9(CO>0)；

(3)讨论函数y=sinu的单调性；

(4)解关于x的不等式得出y=Asin&x+夕)的单调区间.

【例8］不求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：

(1)sin14°与sin1560；

(2)cos515°与cos530°.

【解析】利用三角函数单调性比较.

(1)Vsinl560=sin(l80°一24°)=sin24°.

V-900<140<240<90°,

,.♦y=siiu在［-90°,90。］上是增函数，

.".sinl40<sin24°,即sinl40<sinl56°.

(2)cos515°=cos(515°一360°)=cos155°,cos530°=cos(530°-360°)=cos170°,

90°<155°<170°<180°而y=cosx在［90°,180°］上是减函数.

cos155°>cos1700即cos515°>cos5300.

【名师点睛】比较两个三角函数值的大小时，首先将函数名称统一，再利用诱导公式将角转化到同一个

单调区间内，通过函数的单调性进行比较.

5.三角函数的最值

(1)对于求形如y=asinx+b(或y=acosx+Z?)的函数的最值或值域问题，常利用正、余弦函数的有

界性(―lWsinx,cosx«l)求解.求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的

周期性.

(2)求解形如丁=。5m2%+。5抽工+。(或丁=。(：052%+8(：05%+£?),兀6£)的函数的值域或最值时,一

般先通过换元，令仁sinx(或cos幻,将原函数转化为关于t的二次函数，然后利用配方法求值域或最值即

可.求解过程中要注意仁sinx(或cosx)的取值范围.

1

[例9]函数y=2sin2x取得最小值时x的集合为.

3兀

【答案】｛小=%兀+彳，kGZ)

3兀3兀11

【解析】当2x=2E+g,即工=也+彳，攵GZ时，函数y=,sin2x取得最小值一2.

【例10】求下列函数的值域：

兀71

(1)y=cos(x+^),x£[0,习；

(2)y=cos2x-4cosx+5.

【解析】(1)Vx€[0,由，

••粕+臀・

...y=cosx在区间[0,兀]上单调递减，且G，y]C[0,7t],

.,.y=cosx在区间京,竽]上也单调递减,

.".cosy<i<cos^,

.\y=cos(x+^),x€[0,总的值域为[一3，-y].

(2)令r=COSJG则一10W1.

.*.y=r2—4r+5=(r—2)2+1.

.•./=—1时，y取得最大值10；f=l时，y取得最小值2.

所以y=cos2'—4cosx+5的值域为[2,10].

6.不能正确理解或应用三角函数图象与性质而致错

【例11】已知函数〉=必由无+2,x£R的最大值为3,求实数。的值.

【错解】•・•函数y=asinx+2,的最大值为3,

・••当sinx=l时,y=。+2=3,

max

【错因分析】错解中忽视了对“>0,。<0两种情况进行讨论.

【正解】若〃>0时，当sinx=l时，函数y=asinx+2(x£R)取最大值〃+2,

；.a+2=3,

：.a=\；

若a<0,当sinx=—1时，函数y=asinx+2(x£R)取得最大值一。+2,

—。+2=3,

综上可知，。的值为土L

【例12】已知函数/（x）=2cos（5—，）.

（1）求式工）的单调递增区间；

（2）若兀，7i］,求而0的最大值和最小值.

【错解】⑴由一诺一基0得，条后号，

・・・［/U）］max=2,/）］min=12.

【错因分析】（1）忽略了函数次幻的周期性；（2）忽略了］£［一兀，兀］对函数7U）的最值的影响.

【正解】（1）vy（x）=2cos（j—|j=2cos（5—

由2E一兀玲一生2E得，4攵兀一号牛（攵£Z）.

47r2冗

故./（X）的单调增区间为［4攵兀一至，4攵兀+9］（%£Z）.

5兀尤兀兀

（2）由一兀三兀=一名与一手彳.

当方一；=0，即工=竽时，Ax）max=2,

x7t5K

当］一§=—不，即X=一兀时，“r）min=一小.

【名师点睛】已知三角函数解析式求单调区间：

①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；

②求形如产Asin（s+g）或产Acos（cox+（p）（其中，①>0）的单调区间时，要视“①x+夕”为一个整体,

通过解不等式求解.但如果gvO,那么一定先借助诱导公式将①化为正数，防止把单调性弄错.

至好题

1.已知cosa=l,a£[0,2K],则角Q为

A.-B.nC.0或27tD.2兀

2

2.在区间[0,2用中，使尸sinx与产cosx都单调递减的区间是

TT7T3

A.10,-JB.n]C.[兀，-7t]D.[y,2兀]

222

3.以下函数中，周期为2兀的是

YX

A.y=sin—B.y=sin2xC.y=|sin—|D.月sin2x|

2'2

4.对于函数尸sin(x+p,下列判断正确的是

A.图象关于y轴对称

B.是非奇非偶函数

C.是奇函数

D.图象与产sin(x-^)的图象重合

5.函数/(x)=l+sinx的最小正周期是

A兀n小37t

A.—B.兀C.—D.2n

22

6.若x£[0,2兀)，且一也WCOSAS，,则x的取值范围是

22

7.函数y=2sin(x--^)(工£[0,兀])的值域为.

8.比较sin2,sin3与sin4的大小.

9.函数f(x)=2sin(-3x+5的单调递增区间是.

10.函数/(x)=2sin(工-5)最靠近坐标原点的对称中心为_

11.求下列三角函数的周期：

(1)y=3sinx,

(2)y=cos2r,x《R；

(3)y=sin&-彳)，x^R；

(4)y=|cosx|,x£R.

12.求函数y=l-sin2x的单调区间.

13.求函数y=3sin(2%+-)+1的周期、单调区间及最大、最小值.

14.画出函数y=3+2cosx,[0,2兀]的简图.

y=sin卜一^_-兀5兀T\

15.利用“五点法”作出卢岳o1的图象.

悔力

TTIT

16.函数丁=以双1¥—不）在区间［―5，兀］上的简图是

17.函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）

O九人o\九人

O\71X

x

设函数Xx)=sin(3+7r),xSR,则Kx)是

A.最小正周期为兀的奇函数B.最小正周期为兀的偶函数

C.最小正周期为4兀的奇函数D.最小正周期为4兀的偶函数

19.设大处是定义域为R,最小正周期为寺的函数，若/a)=<c°s"-则(一竽)的值等于

sinx(0<x<n)

已知函数/(x)=log1(―sin2x).

o2

(1)求./U)的定义域、值域和单调区间;

(2)判断八万的奇偶性.

21.利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合.

(1)sinx>z；(2)cos烂不

22.求函数y=3-4cos(2x+§,xG］一?日的最大值、最小值及相应的x值.

冗冗

23.已知。是正数，函数於)=2sin(ox在区间［一小引上是增函数，求。的取值范围.

JT

24.已知函数yU)=2sin(2x+4)+〃+1(其中a为常数).

(1)求人工)的单调区间；

（2）若xe［O,郛寸，小）的最大值为4,求〃的值;

（3）求出使7U）取最大值时x的取值集合.

25.（2018•全国）要得到y=cosx,则要将产sinx

A.向左平移兀个单位B.向右平移兀个单位

C.向左平移四个单位D.向右平移三个单位

22

兀TT

26.（2018•天津）将函数产sinC2x+—）的图象向右平移上个单位长度，所得图象对应的函数

10

3715713兀

A.在区间［三，3］上单调递增B.在区间［3，兀］上单调递减

444

5兀371一3兀

C.在区间［把，3］上单调递增D.在区间［爹，2兀］上单调递减

42

27.(2018•新课标1)已知函数/(x)=2cos*2x*45-sin2.x+2,则

A.f（x）的最小正周期为n,最大值为3

B./（%）的最小正周期为兀，最大值为4

C./（%）的最小正周期为2n，最大值为3

D.f（x）的最小正周期为2兀，最大值为4

IJTTT

28.（2017•新课标HI）函数/（x）=：sin（x+二）+cos（x-：）的最大值为

A.9

B.1

5

TT

29.(2017•新课标II)函数f(x)=sin(2x+g)的最小正周期为

A.4兀B.2兀

71

C.71D.一

2

30.（2017•新课标III）设函数/（x）=cos（x+；7T）,则下列结论错误的是

X

A./（x）的一个周期为一2兀B.y=/（x）的图象关于直线彳=?7对r称

IT7T

C./（X+7T）的一个零点为光=—D./（X）在（一,兀）单调递减

62

31.(2017•天津)设函数/(x)=2sin(①x+0),xeR,其中切＞0,|。|＜兀.若/(——)=2"(——)=0,且

88

了（无）的最小正周期大于2兀，则

L37T

32.(2017•新课标U卷)函数/(x)=sin2x+Gcosx-二(x£0,—)的最大值是__________

42

K好题参考密宗

123451617181925262728293031

CBCADDDCBCABACDA

1.【答案】c

【解析】Vcosa=l,aS［0,2TT］,.'.a=0或2兀,故选C.

2.【答案】B

【解析】在区间［0,2兀］中，产sinx的减区间是［］,与］,y=cosx的减区间是［0,汨，...）=$1|1%和丫=＜：08^

的公共减区间是［］，—］0［0,兀］=吟，7：］.故选B.

3.【答案】C

【解析】；函数尸呜的周期为牛=4兀，故排除A；：函数产sin2x的周期为年=兀，故排除B；♦.•函

2

数产sin2的周期为学=4兀，故函数y=|sinV|的周期为』><471=2兀，故C满足条件；’.•函数y=sin2x的周

2J_22

2

期为弓=兀，故函数目sin2x|的周期为故排除D,故选C.

4.【答案】A

【解析】由诱导公式得尸cosx,由于y=cosx为偶函数，故产sin(x+—)为偶函数，其图象关于y轴对

称.故选A.

5.【答案】D

【解析】’..函数/'(x)=l-sinx的图象由函掇产sinx向上平移一个单位而得，，函数/(x)=l-sinx的最

小正周期与函数尸smx相同，根据正弦函数的图象与性质，得产smx的最小正周期为2兀，「.ll额/(x)

=l-sinx的最小正周期7=2兀，故选D.

6.【答案】人或[4x4?

3443

【解析】由题意知x€[0,2G,旦-"2o-1由余弦曲线可得"毛或券4x41.故答案

223443

为：产X咛或誓X聋.

7.【答案】[-石2]

【解析】,.”6[0,7t],,/.sinf-s'nfx--s'n,即-9Wsin[x-1)W1,

.,.-V3<2sinfx-^<2,即-G弊2.故答案为卜名,2，

8.【答案】sin4<sin3<sin2

【解析】sin2Hsinl04。，sin3-sinl71°,sin4-sin228°=-sin48°,根据正弦函数在(90°,180°)区间上单调

减,得到sinl04°>sinl710>0>-sin48°,故sin4<sin3<sin2»故答案为：sin4<sin3<sin2.

9.【答案】-kK-\--it,—kTi+—，左wZ

3939

令工+2Eg3x-工0型+2E,kGZ,得

【解析】•・•函数〃x)=2sin-3x+-=-2siny)

6)262

2兀兀2,.岳公心42225兀

—+---—+—kit»kGZ,故备案为：—kit—兀,一kitH------------，kE.7J.

93933939

10.【答案】序oj

【解析】令％-四二E，得产工九+二，・,•当仁。时，产四，当日时，户又，，满足要求的对称中心为:

4444

(；,oj,故答案为：(；可.

11.【解析】(1)因为3sin(x+2n)=3sinx,由周期函数的定义知，y=3sinx的周期为27t.

(2)因为cos2(x+7t)=cos(2x+27t)=cos2x,由周期函数的定义知，y=cos2r的周期为兀

(3)因为牛=6兀，所以y=sin&-£)的周期为6兀

3

(4)y=|cosx|的图象如图(实线部分)所示，

由图象可知，y=|cosx|的周期为7L

12.【解析】求函数产l-sin〃的单调增区间，可以转化为求函数产sinZx的单调减区间;

求函数y=1-sin2x的单调减区间，可以转化为求函数尸sin2x的单调增区间.

由巴+2攵左2烂型+2E,kGZ,求得互+ES烂型+E，kez,

2__24__4

即函数的单调递增区间是［；+E,，如，旧.

同理可求得函数的单调递减区间是［-弓+而，；+E］,kJZ.

13.【解析】,・,函数v=3sin(2x+-)+1,：.T=—=TI.

62

由-二+2kn<2x+—<—+2kji,得+kn<x<—+lai,keZ.

26236

Tt.71..

・・・函数产3sin(2A-+-)+1的单调增区间为-—+依，一+E,KGZ.

636

jrjr3冗jrOjr

由—F2kjtW2xH—<---F2kjt，得—Fkit<x<---Fkit,&cZ.

26263

・・・函数产3sin(2x+Z)+1的单调减区间为-+kTt,—+kTt,keZ.

6|_63

函数的最大值为4,取得最大值的x的集合为：{4r='+E,fceZ}.

6

函数的最小值为-2,取得最小值的x的集合为：{M『空+E,ZeZ}.

3

14.【解析】列表：

n3兀

X0兀271

2~2

cosx10-101

3+2cosx53135

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，得函数y=3+2cosx,xG[0,2兀]的图象（如图所示）.

15.【解析】列表如下.

ZE3TI5兀

X7T2K

2TT

s&g)010-10

描点连线如图.

16.【答案】D

【解析】当x=-3时，y=cosL2x(—?)-Tj=cos(-it-7)=cos(7t+?)=—cos?=排除A、C；当x

乙乙UUvzU/

TTJT'll

=—不时，y=cos[2x(--)—­]=cos(=0,排除B,故选D.

17.【答案】D

【解析】由函数产xcosx+sinx是奇函数,排除B.当x=n:时，产兀cos兀+sm兀=-兀，排除A当x=：

时，J—Teos?+sin排除C.故选D.

18.【答案】C

【解析】人x）=sing+©=—呜，^-x）=-sin（-5）=sin5=一兀0,

.Mx）为奇函数，目最小正周期7=芋=4兀.

2

19.【答案】B

【解析】（一/）=/卷x（―3）+争=©）=s©=坐.

20.【解析】（1）要使函数有意义，需sin2x>0,

2kn<2x<2kTi+n,

兀

kn<x<kn+£Z）,

―）的定义域为3,E+。kwz.

*/0<sin2x<l,

:.0<^sin2x<^,

/.logj（―sin2x）>1,即值域为[1,+oo）.

22

令丁=疝2%则函数y=sin2x的增区间即为函数7W的减区间，函数y=sin2r的减区间即为函数段）的

增区间.

二函数段）的单调递减区间为（E，E+；（KZ）,单调递增区间为E+彳，E+3（keZ）.

（2）定义域关于原点不对称，故既不是奇函数，也不是偶函数.

21.【解析】（1）作出正弦函数y=sinx,xG[0,2组的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集

IT57t

合为4+24兀，？~+2匕1,«£Z.

1

1

2

。V/

三¥

7T-2576T7r

t6

(2)作出余弦函数y=cosx,x£［0,2河的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为

鼻+2依，苧+2同，kEZ.

y=cosx,xE.[0,27i]

【名师点睛】用三角函数图象解三角不等式的步骤:

(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在［0,2树上的图象;

(2)写出适合不等式在区间［0,2兀］上的解集；

(3)根据公式一写出定义域内的解集.

22.【解析】VxG-*，二2X+：G［-第，

从而一；0co1.

・'.当cos(2x+§=1,即2x+j=0,

即X=-3时，）'min=3—4=—1.

当cos（2x+/=一；,即2v+j=-y,

即1=季时，），max=3—4x（一；）=5.

■JTJT

23.【解析】由2E一并5（2k兀+*：eZ）得

71,2kn兀,2kn,一、

-z-H---<r<7-+—（*ez）.

2co（o2a）0）

•.../U）的单调递增区间是［—/+等，/+争］（&GZ）.

g口二〜F兀兀1「兀।2Hit,Ikit

据题意：一个彳仁一丁+—，亍+—(A£Z).

L34」L2coco2cocoJv，

7T71

2OJ-4,

(①>0,

解得0<«<|-

故3的取值范围是(o,|

24.【解析】(1)由一1+2攵立2大+岸5+2也(攵£Z),

解得—T+也("£Z).

7TIT

•••函数/W的单调增区间为[—g+E，5+饲(ZGZ).

71713兀

由g+2A7rW2x+岸5+2A兀，k®Z,

解得%£Z.

oJ

...函数ZU)的单调减区间为弓+kR,牛+E](Z£Z).

(2)VO<x<^,

.兀3.it7TC

••济〃+行，

・••府)的最大值为2+。+1=4,

/.67=1.

TTJT

(3)当/U)取最大值时，2%+不=]+2也，kRZ,

兀

，2x=w+2E,kGZ

•'xW+E,%£Z.

6

...当於)取最大值时，X的取值集合是曲=5+祈，kwz\.

25.【答案】C

【解析】要将y=sinr的图象向左平移5个单位，可得产sin(x+y)=cosx的图象，故选C.

26.【答案】A

【解析】将函数尸sm(2x-g)的图象向右平移卷个单位长度，得到的函数为：尸s1n2x,增区间满足:

，XX/

---2fct<2x<—+2fcimEZ,；咸区间满足：三+2fcrW2g」+2E.••熠区间为［-q-加,£-利,

222244

2WZ,减区间为阮，羽-加］，2EZ,.•.将函数尸sm(2x-F)的图象向右平移々个单位长度，

44510

所得图象对应的函数在区间［包，2］上单调递熠.故选A.

44

27.【答案】B

【解析】函数/(%)

.ocos2x+l13cos2尤5,,

=2cos\¥-sin-x+2=2cos-9x-sin--x+2sinzx4-2cos-A=4cos^x+sinzx=3cos^9x+t1=3---------------1-1=------------1--,故