九师联盟2021届高三1月联考试题（老高考） 数学（理）含答案

高三理科数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡，上

对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本试卷主要命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知复数z=*(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.己知全集U=R,集合A={x|—2Vx<2},B={y|y=32x-1},则AC([uB)=

A.[-l,2)B.(-2,-1]C.(-l,2)D.[-2,1)

TT

3,“0=21OT+—,kGZ”是"tanO=l”的

4

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.某校拟从1200名高一新生中采用系统抽样的方式抽取48人参加市“抗疫表彰大会”，如果

编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是

A.1087B.937C.387D.327

5.若单位向量a,b满足(a—2b)，a,则a与b的夹角为

7t„Tt

A.-B.-C.—D.TT

632

6.摩索拉斯陵墓位于哈利卡纳素斯，在土耳其(TURKEY)的西南方，陵墓由下至上分别是墩座

墙、柱子构成的拱廊、四棱锥金字塔以及由四匹马拉着的一架古代战车的雕像，总高度45米,

其中墩座墙和柱子围成长、宽、高分别是40米、30米、32米的长方体，长方体的上底面与

四棱锥的底面重合，顶点在底面的射影是长方形对角线交点，最顶部的马车雕像高6米，则

陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为(注：V674%25.962)

A.2.77B.2.43C.1.73D.1.35

9

7.若a=log23•log35,b=log^—,c=2°",则

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

ex-1

8.函数f(x)=-；；--・sinx在区间［―兀，兀］上的图象大致为

e+1

2

<x

兀On

A

4S

9.在面积为S的4ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b?+c2=3+——，则a

tanA

A.lB.V3C.2D.3

兀jr

10.已知函数f(x)=sin((ox+(p)(0<(o<4,1cpi<])，,(五则f(x)=

7T7171R

A.sin(2x——)B.sin(3x——)C.sin(3x+—)D.sin(2x+—)

64

11.点F为抛物线C:y2=4x的焦点,横坐标为m(m>0)的点P为抛物线C上一点，过点P且

与抛物线C相切的直线/与y轴相交于点Q,则tanNFPQ=

12

A.VmB.----------D-r---

2c而+1

12.已知函数f(x)=xlnx,若对任意Xl>X2>0,—(X］2—X22)>f(Xl)—f(X2)恒成立，则实数人的取值

2

范围为

A.[l,e]B.(—8,1]C.[e,+~)D.[l,+~)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x-y-l<0

13.已知实数x,y满足约束条件<x+y-1<0,则z=-x—3y的最小值为。

5x-y+7>0

14.已知（2—xp°=ao+aix+a2x2+・*,+aioxi°,贝!jai+2az+3a3+…+lOaio=。

22

15.已知双曲线C：5一与=l（a>0,b>0）的右焦点为F,A为双曲线C的右顶点，过点F作

ab

X轴的垂线，与双曲线C交于P,若直线AP的斜率是双曲线C的一条渐近线斜率的G倍，

则双曲线C的离心率为。

16.在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PABL底面ABCD,且/

APB=60。，当4PAB的面积最大时，四棱锥P-ABCD的高为,四棱锥P-ABCD

外接球的表面积为。（本小题第一空2分，第二空3分）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（本小题满分12分）

己知数列｛an｝满足ai=l,且ann=—。

（1）求数列｛an｝的通项公式；

4

（2）令bn=-------r，求数列｛bn｝的前n项和Sn«

4-a/

18.（本小题满分12分）

如图1中，多边形ABCDE为平面图形，其中AB=AE=K，BE=BC=2,CD=4,BE//CD,

BC1CD,将4ABE沿BE边折起，得到如图2所示四棱锥P-BCDE,其中点P与点A重合。

（1）当PD=jn时，求证：DE_L平面PCE；

(2)当二面角P-BE-C为135。时，求平面PBE与平面PCD所成二面角的正弦值。

19.(本小题满分12分)

某校为了调研学情，在期末考试后，从全校高一学生中随机选取了20名男学生和20名女学

生，调查分析学生的物理成绩。为易于统计分析，将20名男学生和20名女学生的物理成绩,

分成如下四组:[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并分别绘制了如下图所示的频率

分布直方图:

规定：物理成绩不低于80分的为优秀，否则为不优秀。

(1)根据这次抽查的数据，填写下列的2X2列联表;

优秀不优秀合计

男生

女生

合计

(2)根据(1)中的列联表，试问能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为物理成绩优秀与性

别有关？

(3)用样本估计总体，将频率视为概率。在全校高一学生中随机抽取8名男生和8名女生，记

“8名男生中恰有n(l<n<8)名物理成绩优秀”的概率为Pi，"8名女生中恰有n(l<n<8)名物理

成绩优秀”的概率为P2,试比较Pi与P2的大小，并说明理由。

附：临界值参考表与参考公式

P(K2>K0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc)1

,其中n=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

20.(本小题满分12分)

已知椭圆C3+乐―。)的左、右焦点分别为F”F2,过B且垂直于,轴的直线

3

与C交于M,N两点，且M的坐标为(1,-)o

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)过F2作与直线MN不重合的直线/与C相交于P,Q两点，若直线PM和直线QN相交于

点T,求证：点T在定直线上。

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=x———2alnx(aGR)o

X

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若Inxi-lnx2=--1---，求证：X|>X2+2。

玉4

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一

题计分。

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

1

x=——t

2

在平面直角坐标系xOy中,直线/的参数方程为《(t为参数),曲线C的参数方程为

V3t

yp

x=]+cosa

«一(a为参数)。以原点0为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长

y=sina

度单位，建立极坐标系。

(1)求直线/和曲线C的极坐标方程：

(2)己知A是曲线C上一点，B是直线I上位于极轴所在直线上方的一点，若|0B|=2,求aAOB

面积的最大值。

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

设a,b,cGR,且a+b+c=l。

(1)求证：a2+b2+c2^；

(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值，求max{a+b,b+c,c+a}的最小值。

高三理科数学参考答案、提示及评分细则

1.A==祟=：翼；艰二沪臂=卷+卷i,所以复数工在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.

2.B由.得=所以AD（CrB）=（-2.-l].故选R

3.A由。=2打+于庆Z.得tan0=tan（2"+手）=tan£=1；由lan。=1・得—宁庆Z故选A.

4.1）依据题意•抽样间隔为25•乂237除以25的余数为12.故所抽取的编号为12+2»*=0.1.….47）•所以327不符

合.故选D.

5.B由（a—2b）J_a•得（a—2b）•a=0,所以a•b=[,所以co«a.b〉=1：°=心.乂《a・b》£[O.n]•所以〈a・b〉=

L|a|•1例L

y.故选K

6.C根据长、宽分别是40米、30米得金字塔的底面对角线长50米.可算出四棱锥高7米•所以侧棱氏为/r+25?=

而•则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为熹:*1.73.故选C.

/674

7.Ca=log25>2.b=log2y1>log?y|=log?5=a・c<2.有cVaVb.故选C.

8.A|||/（-]）=：[•sin（—=•sin]=/（/）•可知/《工）为偶函数，又由当工6[0,“]时,/<J>=E-'!,

e-t-1e-r1e-r1

sin.r20.故选A.

9.B由三角形的面积公式.得/+/=3+翠吗A.即/+/=3+2HCOSA.由余弦定理.得—2加COSA=3.

tanA

所以a=73.故选B.

TOWi_r

五十夕一打”・

10.A由题总石《（kx・&ez）.两式作差得赞=（心一瓦）”（由/2SZ）•有8=2《心一乩）（瓦・息SZ）.乂OVs

元7rao十।片灯,”

V4.所以3=2,=耳兄一]■•又|夕|V发•所以中=一■嬴•故/（x）=sin（2j--■版）.故选A.

11.C由抛物线的对称性•不妨设点P位于第一象限•可得点尸的坐标为（〃八2/晟）•设宜线/的方程为1y=M.r-/〃）+2

伊=缶

\Zrti,联立方程，消去.r后整理为力/—4丁+8/斤一跟m=0•有△=16—联（8/最一44〃）=0♦有

ly=X（«r-〃J）+2y/m•

〃法2—2/沆+1=0•解得,可得宜线Z的方程为y=—=]+/彳・令了=0.得/=—〃1・宜线I与/轴的交点D

•Jnivm

的坐标为（一，〃・0）•所以|DF|=1+，〃・又|PF|=/〃+l•所以|PF|=|DF|.所以NFPQ=NFDP•所以tan/FPQ

=tanZFDP=/r=-^.故选C.

Vm

2

12.D由专（if—紫»/（Xi）一/（心）•得—I】In/＞专/一心In.r2.令g（x）=-yx—xln],则问题可以转化为:对

任意为＞七＞0./修）＞月5）恒成立•即函数十力在（0,+8）上单谢递增•因为/（/）=人「一1|17—1,所以转化为

/（力20在（0.+8）上恒成立•因为」e（o.+8）•所以入》叵山在（o.+8）上恒成立，即转化为人》[屯令

N/max

做外=此亨•则/（/）=一竽,所以当工e（o,i）时j'（/）＞o.当/s（i,+8）时.，（"vo・所以从工）在（o,i）上单调递

增•在（1.+8）上单调递减,所以力Cr）a=/“1）=].所以;l2l.故选D.

13.-5画出可行域（如图阴影部分）•当直线Z=一工一3y过点A（—1・2）时.z取得最小值.\/P'

z的最小值为一5.斗以、L、Ly-1=?

14,-10对（2-上严=%+小工+%产+…+4。/两边分别求导.得、

-10（2-=%+勿21+…+1。。1019,令彳=1,得a1+2a2+3/+…+】Mo=-10.

15.2设焦点F的坐标为（c,03双曲线。的离心率为？・不妨设点尸位于第一象限•可求得了

点P的坐标为（r.殳）.点A的坐标为＜a,0＞.直线AP的斜率为士='：二°；=士=

\afc-aa（c-a）a

＜•+1.乂由红5^/5~0=，J—1.有*+l=，3＜J—1）,整理为J—e-2=0.解得e=2或c=-1（舍）.

aVa-

16.8竽点P在以弦AB=2.所对的圆周角为60°的优弧APB上运动.作PH_LAB.H为垂足.由侧面PAB_L底面

ABCD.得PHJ_底面ABCD.当H为AB的中点时./SPAB为等边三角形,此时aPAB的面积最大.且PH=6.即

四棱锥P-ABCD的高为6.设等边△PAB的中心为。।,正方形ABCD的中心为5,过a、S分别作平面PAB、平面

ABCD的垂线，且交于点（）.则（）为四棱铢P-ABCD外接球的球心.显然R=^atf+O,A'=y（y『+（论」=

于是四棱锥P-ABCD外接球的表面积为4”（，^）-=等.

17.解:⑴因为心=言p所以十一之=崂一±=1,又2=1.........................................................................3分

所以数列｛/｝是首项为1.公差为1的等差数列.......................................................4分

所以2=1+（〃-1）=〃,得u„=—.

a-w

即数列｛%｝的通项公式为右=+562）...............................................................................................................6分

⑵由⑴.得"士二"冼T喷a+一寸+十诘仔）.……9分

则0=1+十（十一方）+1+十（£一卷）+1+十（卷一+）+”・+1++（壮1一/1）="++（+-奈1）

2//(n4-I)

12分

2〃+l•

1&⑴证明:由/苏〃。).及、_[_('。/处=*=2.(7>=1.易求('£=1g=2&・所以(£6+正=(1)\所以/»：_1(王：.....2分

因为PE5,PD=JTT•所以DE2+PE2=11=P/y•所以DE上PE.

乂PEnCE=E.PE・CEu平面PCE.

所以DE_L平面PCE.5分

⑵解:取BE的中点O,过点O在平面BCDE内作BE的垂线交CD于F.以宜

线OF作为z轴,ft：线OE为y轴•过点()作平面BCDE的垂线为u轴.建立空

间直角坐标系•则<XO.O.O),B(O.-1.O),E(O.1.O),C(2.-UO).D(2,3.O).

..................................................................................................................6分

因为PB=PE.O为BE的中点，所以PO上BE.乂BEJ_OF.所以NPQF=135°.

在△PBE«h.PE=6.BE=2•所以P()=々•所以P(一1・0・1).

所以茂=(0.1.0).加=(-1.0.1).？5=(0・4・0)•连=(一3.1,1).8分

设平面PBE的法向量为/n=(_r,y・N)・

[m・OE=j=0,(j*=0,

由荏=(O,1,O)J5F=(-1,O,1),有，解得，令1=1,得m=(l,0,l)；.......................9分

Im,OP=—1+之=0,1之=工，

设平面PCD的法向量为〃=&4•)・

|n•CD=Ab=0,fb=Q,

由员=(0.4,0),遂=(-3.l・l)，有，解得《令a=l,

In•CP=—3a+6+c=0.

得n=(1.0.3).10分

2

所以4

m•n=4.|/n|=72.|n|=\/10.cos</n.n>=Im\•|nI/10―后'

故平面PBE与平面PCD所成二面角的正弦值为J1一12分

5,

19.解：⑴列出2X2列联表•如下:

优秀不优秀合计

男生15520

女生51520

合计202040

.......................................................................................................................................................................................3分

〃(ad-be),40(15X15-5X5)

(2)K2-~10>6.635,

(a+6)(c+d)(a+c)e+d)20X20X20X20

所以能在犯错误的概率不超过1%的前提下•认为物理成绩优秀与性别有关.6分

⑶根据频率分布直方图,可得男生物理成绩优秀的概率为0.5+0.25=0.75=告・

女生物理成绩优秀的概率为0.2+0.05=0.25=+..................................................7分

设“8名男生中物理成绩优秀”的人数为随机变量&-8名女生中物理成绩优秀”的人数为随机变盘小根据题意•得

68（8.春）•仁8（8・：）・.........................................................................8分

则…（!）■（T厂7（刃•（十广=爷:,（±）*（i-1r=q（i）'（予厂=

当〃=4时.32*-8=1.于是P】=Pz;

当1V〃V4时・3"8<1,于是PX<P2；

当4V〃V8时,3"s>l•于是P|>Pz.............................................................12分

20.《D解：由题意•得尸2（1.0）・后（一1,0）.且°=1,.....................................................1分

2

则为=|MB|+|MBI=A/（^1^DZ^|^0^+£=4•即a=2,.................................2分

所以6=，一一>=伍,............................................................................3分

22

故椭圆C的方程为亍+^=1...................................................................4分

⑵证明：由⑴及C的对称性,得点N的坐标为（1.一等）..............................................5分

设直线/的方程为•点P.Q的坐标分别为（为）.（应，/）•

乙+£=],

联立方程4'3消去y后整理为（联2+3）/一般。+4/-12=0,

产1）,

尔I”上8后4^-12,公

所以为+4=痔不，44=4A2+3•............................................................6分

%-I--1）-7o

直线PM的斜率为-7T等=—/=6一天—

直线PM的方程为了一1=（一西三）（,一1）,

皿+~1

直线QN的斜率为

工2-1工2-1

直线QN的方程为y+3=(4+^^)Cr-D,...................................................................................................8分

将直线PM和直线QN方程作差消去y后整理为(57当5+57三)0'-1)=3，

可得(^^+7^)“-1)=2...............................................................................................................................9分

_8^__2

.[.]=+——2_.勺+—―2=止+3________2

11

.r,-1x2—1(X|-l)(x2—1)”|工2-5+工2)+14——128r113'

止+3一止+3

可得看(/-1)=2,解得lI•即直线PM和QN的交点7的横坐标恒为4,.........................................................11分

所以点「在定宜线”=4上..........................................................................12分

21.(1)解：/(小的定义域为(0・+8)・/(外=1+±—孑=1-竽+1...........................1分

令点])=/-2"工+1,方程工2—次r+i=o的判别式△=也2-4=4*+1)5一]).

(i)当440•即时・小工)=/一2。1+120恒成立・即对任意/€(0・+8)・/(幻=92》0,所以

八4)在(0,+8)上单调递增........................................................................2分

(ii)当4>0•即aV-l或心>1.

①当"VT时・《(/)=＞一加I+1＞0恒成立.即对任意上£(0.+8),/(/)=半.所以/(外在(0,+8)上单

调递增...........................................................................................3分

②当时•由工―2u+l=0•解得a=a—，1-1・尸”+4J.所以当0＜rVa时•/外＞0;当a〈rV，时，

g(.rX0；当工＞8时・g(/)＞。•所以在(。・。—Ja2T)U(a+\Za?—1.4-oo)_h./(彳＞＞0•在(a—＞/a2—1・

a+\/a2—1)上］(.7)〈0.所以函数/(外在(0,a—J8-1)和(0+\/a2—1.+8)上单调递增；在(a—-1.a+

x/T77?)上单调递减...............................................................................6分

综上•当a&l时・/(力在(0.+8)上单调递增；当时・/(/)在(0,4-—1)和(々+y/a：—1,+8)上单调递

增•在储一"^^+/?=1)上单调递减..........................................................7分

(2)证明：由InN|-In*2=上+』•，得InIn1>>0.所以x(>x2>0,................................................................8分

Jjx2

因为-ng=力上所以共=嘉=三.曾..则>1.5=祟.

/