人教A版新教材高中数学第二册学案1：6.1 平面向量的概念

6.1平面向量的概念

『导学聚焦』

考点学习目标核心素养

了解平面向量的实际背景，理解平面向

平面向量的相关概念数学抽象

量的相关概念

掌握向量的表示方法，理解向量的模的

平面向量的几何表示数学抽象

概念

理解两个向量相等的含义以及共线向量

相等向量与共线向量数学抽象、逻辑推理

的概念

『自主预习』

『问题导学』

预习教材内容，思考以下问题：

1.向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？

2.怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？

3.两个向量(向量的模)能否比较大小？

4.如何判断相等向量或共线向量？向量成与向量法是相等向量吗？

『新知初探』

1.向量的概念及表示

(1)概念：既有又有的量.

(2)有向线段

①定义：具有方向的线段.

②三个要素：、、.

③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以N为起点、8为终点的有向线段记

作.

④长度：线段的也叫做有向线段次的长度，记作.

(3)向量的表示

用有向线

段表示AB

用字母r用字母。或谓等表示

袤市L

■名师点拨

(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素.

(2)用有向线段表示向量时，要注意感的方向是由点/指向点8,点/是向量的起点，点8

是向量的终点.

2.向量的有关概念

(1)向量的模(长度)：向量次的大小，称为向量次的(或称模)，记作.

(2)零向量：长度为的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于的向量.

3.两个向量间的关系

(1)平行向量：方向或的非零向量，也叫做.若a,b是平行向量，记作

规定：零向量与任意向量，即对任意向量”，都有.

(2)相等向量：长度且方向的向量，若a,b是相等向量，记作。=4

■名师点拨

(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别.

(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同.

(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同.

『自我检测』

。判断(正确的打“寸'，错误的打"X”)

(1)两个向量，长度大的向量较大.()

(2)如果两个向量共线，那么其方向相同.()

(3)向量的模是一个正实数.()

(4)向量就是有向线段.()

(5)向量质与向量由1是相等向量.()

(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行.()

(7)零向量是最小的向量.()

⑶已知向量。如图所示，下列说法不正确的是()

MN

A.也可以用血表示B.方向是由〃指向N

C.起点是MD.终点是M

国已知点O固定，且|由|=2,则/点构成的图形是（）

A.一个点B.一条直线

C.一个圆D.不能确定

国如图，四边形48。和N3OE都是平行四边形，则与应）相等的向量有

『探究互动』

探究点一向量的相关概念

『例1』给出下列命题：

①若冠=庆，则/,B,C,。四点是平行四边形的四个顶点;

②在％2co中，一定有感=诙；

③若a=b,b=c,则a=c.

其中所有正确命题的序号为.

【规律方法】

（1）判断一个量是否为向量的两个关键条件

①有大小；②有方向.两个条件缺一不可.

（2）理解零向量和单位向量应注意的问题

①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；

②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.

『跟踪训练』

1.下列说法中正确的是（）

A,数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小

C.向量的大小与方向有关

D.向量的模可以比较大小

2.下列说法正确的是()

A.向量成〃4)就是弱所在的直线平行于无所在的直线

B.长度相等的向量叫做相等向量

C.零向量与任一向量平行

D.共线向量是在一条直线上的向量

探究点二向量的表示

『例2』在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:

(1)OA,使S|=4立，点/在点O北偏东45。方向上;

(2)AB,使|的|=4,点8在点/正东方向上;

(3)BC,使就|=6,点C在点8北偏东30°方向上.

『规律方法』

用有向线段表示向量的步骤

『跟踪训练』已知飞机从/地按北偏东30°的方向飞行2000km到达2地，再从8地按南

偏东30°的方向飞行2000km到达C地,再从C地按西南方向飞行1000V2km到达。

地.

(1)作出向量感，BC，CD,就；

(2)问。地在工地的什么方向？。地距/地多远?

探究点三共线向量与相等向量

『例3』如图所示，。是正六边形48coM的中心，且为=a,0B=b,在每两点所确定的

向量中.

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些?

(2)与。共线的向量有哪些？

『互动探究』

1.『变条件、变问法」本例中若虎=c,其他条件不变，试分别写出与a,b,c相等的向量.

2.『变问法」本例条件不变，与4D共线的向量有哪些?

『规律方法』

共线向量与相等向量的判断

(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量.

(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量.

⑶非零向量的共线具有传递性，即向量a,b,c为非零向量，若。〃方，b〃c,则可推出

//C.

『注意』对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况.

『跟踪训练』

1.已知向量成与向量炭1共线，下列关于向量式的说法中，正确的为()

A.向量正与向量次一定同向

B.向量ih向量感，向量病一定共线

C.向量元与向量病一定相等

D.以上说法都不正确

2.如图，四边形N3CD和8CED都是平行四边形，在每两点所确定的向量中：

⑴写出与3c相等的向量;

⑵写出与2C共线的向量.

『达标反馈』

1.如图，在％8a）中，点E,尸分别是N8,CO的中点，图中与成平行的向量的个数为（）

AER

A.1B.2

C.3D.4

2.下列结论中正确的是（）

①若。〃〃且同=回，则。=6；

②若a=b,则O〃6且同=例；

③若。与5方向相同且同=回，则。=〃；

④若a邦，则。与6方向相反且明臼.

A.①③B.②③

C.③④D.②④

3.已知。是正方形ABCD对角线的交点，在以O,A,B,C,。这5点中任意一点为起点,

另一点为终点的所有向量中，写出:

⑴与病相等的向量；

（2）与由长度相等的向量;

（3）与扇共线的向量.

★参*考*答*案★

『自主预习』

『新知初探』

1.⑴大小方向

(2)②起点方向长度

③通

④长度\AB\

2.⑴长度\AB\

⑵0

(3)1个单位长度

3.⑴相同相反共线向量

平行0〃a

(2)相等相同

『自我检测』

n「答案」：(l)x(26(3)x(4)x(5)x(6)x(7)x

@『答案』：D

❸「答案」：C

H「答案」:AB,DC

『探究互动』

探究点一向量的相关概念

『例1』『『解析』』AB=DC,A,B,C,D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在

^ABCD^P，\AB\=\DC\,盛与反平行且方向相同，故前=诙，故②正确；a=b,则同=例，

且。与6的方向相同；b=c,则向=|c|,且6与c的方向相同，则”与c长度相等且方向相

同，故〃=以故③正确.

『『答案』』②③

『跟踪训练』

1.『解析」：选D.不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A,B不正确；向量的

大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故c不正确；向量的模是一个

数量，可以比较大小.故D正确.

2.『解析」：选C.向量感〃比包含麻所在的直线与亦所在的直线平行和重合两种情况，

故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量

可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错.

探究点二向量的表示

『例2』『解』(1)由于点/在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点/距点。的横

向小方格数与纵向小方格数相等.又值|=4媳，小方格的边长为1,所以点/距点。的横

向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点/的位置可以确定，画出向量晶，如图所示.

(2)由于点8在点N正东方向上，且|的|=4,所以在坐标纸上点8距点/的横向小方格数为

4,纵向小方格数为0,于是点8的位置可以确定，画出向量感，如图所示.

(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且|庆?|=6,依据勾股定理可得，在坐标纸上点C

距点2的横向小方格数为3,纵向小方格数为35弋5.2,于是点C的位置可以确定，画出

『跟踪训练』解：⑴由题意，作出向量凝，BC,CD,DA,如图所示.

(2)依题意知，三角形N2C为正三角形，所以ZC=2000km.又因为N/CD=45°,CD=1

OOOA/2,所以为等腰直角三角形，即NO=100Snkm,ZCAD=45°,所以。地在

工地的东南方向，距/地100琬km.

探究点三共线向量与相等向量

『例3』『解』(1)与。的长度相等、方向相反的向量有应)，BC,AV,FE.

(2)与。共线的向量有诟，BC,OD,FE,CB,DO,AO,DA,AD.

『互动探究』

1.解：与"相等的向量有寿，DO,CB-.与分相等的向量有加，EO,