高考数一轮复习 8.6双曲线讲解与练习 理 新人教A版

eq\a\vs4\al(第六节双曲线)[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2.了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．3.理解数形结合的思想.1.双曲线的定义、几何性质和标准方程是高考常考内容，三种题型均有可能，高考对双曲线的要求比椭圆要低，难度为中低档，如年大纲全国T8，新课标全国T8等．2.直线与双曲线也是高考的重点考查内容之一，多以解答题形式考查，题目难度较大.[归纳·知识整合]1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．[探究]1.与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？提示：只有当2a<|F1F2|且2a≠0时，轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质图形标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长.[探究]2.双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大．3．等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝eq\r(2)，渐近线方程为y＝±x.[自测·牛刀小试]1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)解析：选C由题意知，a＝2，故长轴长为2a＝4.2．双曲线方程：eq\f(x2,|k|－2)＋eq\f(y2,5－k)＝1，那么k的范围是()A．k>5 B．2<k<5C．－2<k<2 D．－2<k<2或k>5解析：选D由题意知，(|k|－2)(5－k)<0，解得－2<k<2或k>5.3．若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则一条渐近线的方程为()A．y＝eq\r(3)x＋1 B．y＝3xC．y＝－3x＋1 D．y＝eq\r(3)x解析：选D由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(\f(c2－a2,a2))x＝±eq\r(e2－1)x，故渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.4．设P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝()A．1或5 B．6C．7 D．9解析：选C由渐近线方程3x－2y＝0，知eq\f(b,a)＝eq\f(3,2).又b2＝9，所以a＝2，从而|PF2|＝7.5．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为________．解析：由已知可得c＝4，a＝2，所以b2＝12，故双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.答案：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1双曲线的定义、标准方程[例1](1)(·大纲全国卷)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)(2)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝eq\r(3)x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,36)－eq\f(y2,108)＝1 B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,108)－eq\f(y2,36)＝1 D.eq\f(x2,27)－eq\f(y2,9)＝1[自主解答](1)∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，∴|PF1|＝2|PF2|＝4eq\r(2)，cos∠F1PF2＝eq\f(4\r(2)2＋2\r(2)2－42,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq\f(3,4).(2)∵抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，则在双曲线中有a2＋b2＝(－6)2＝36.①又∵双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一条渐近线为方程y＝eq\r(3)x，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3).②联立①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝27.))所以双曲线的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1.[答案](1)C(2)B———————————————————双曲线定义运用中的两个注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义；(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚指整条双曲线还是双曲线的一支．1．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左，右焦点，顶点P在双曲线上，则eq\f(|sinA－sinB|,sinP)的值等于()A.eq\f(4,5) B.eq\f(\r(7),4)C.eq\f(5,4) D.eq\r(7)解析：选A在△ABP中，由正弦定理知eq\f(|sinA－sinB|,sinP)＝eq\f(|PB－PA|,AB)＝eq\f(2a,2c)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).2．设F1，F2是双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，1·2的值为()A．2 B．3C．4 D．6解析：选B设点P(x0，y0)，依题意得，|F1F2|＝2eq\r(3＋1)＝4，S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|×|y0|＝2|y0|＝2，∴|y0|＝1.又∵P在曲线上，∴eq\f(x\o\al(2,0),3)－yeq\o\al(2,0)＝1，即xeq\o\al(2,0)＝3(yeq\o\al(2,0)＋1)＝6.∴1·2＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－4＝3.双曲线的几何性质及应用[例2](1)(·福建高考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()A.eq\f(3\r(14),14) B.eq\f(3\r(2),4)C.eq\f(3,2) D.eq\f(4,3)(2)(·新课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点|AB|＝4eq\r(3)，则C的实轴长为()A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C．4 D．8[自主解答](1)因为双曲线的右焦点坐标为(3,0)，所以c＝3，b2＝5，则a2＝c2－b2＝9－5＝4，所以a＝2.所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2).(2)由题意可设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1(a>0)．易知抛物线y2＝16x的准线方程为x＝－4，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,a2)＝1，,x＝－4，))得16－y2＝a2.(*)因为|AB|＝4eq\r(3)，所以y＝±2eq\r(3).代入(*)式，得16－(±2eq\r(3))2＝a2，解得a＝2(a>0)．所以双曲线C的实轴长为2a＝4.答案：(1)C(2)C———————————————————研究双曲线几何性质时的两个注意点(1)实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重点；(2)由于e＝eq\f(c,a)是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形即可求e，并注意e>1.3．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，则该双曲线的渐近线斜率为()A．±2 B．±eq\f(4,3)C．±eq\f(1,2) D．±eq\f(3,4)解析：选Ceq\f(b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2)＝e2－1＝eq\f(1,4)，由此可得双曲线的渐近线的斜率为k＝±eq\f(b,a)＝±eq\f(1,2).直线与双曲线的综合[例3]已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)．(1)求双曲线方程；(2)设Q是双曲线上一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若||＝2||，求直线l的方程．[自主解答](1)由题意可设所求的双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则有e＝eq\f(c,a)＝2，c＝2，所以a＝1，则b＝eq\r(3).所以所求的双曲线方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0)，所以l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)，令x＝0，得M(0,2k)，因为||＝2||且M，Q，F共线于l，所以＝2或＝－2.当＝2时，xQ＝－eq\f(4,3)，yQ＝eq\f(2,3)k，所以Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3)k)).因为Q在双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1上，所以eq\f(16,9)－eq\f(4k2,27)＝1，解得k＝±eq\f(\r(21),2).所以直线l的方程为y＝eq\f(±\r(21),2)(x＋2)．当＝－2时，同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得，16－eq\f(4k2,3)＝1，解得k＝±eq\f(3\r(5),2).所以直线l的方程为y＝±eq\f(3\r(5),2)(x＋2)．综上：所求的直线l的方程为y＝±eq\f(\r(21),2)(x＋2)或y＝±eq\f(3\r(5),2)(x＋2)．———————————————————求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|.4．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为eq\f(1,5).(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．解：(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上，有eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，由题意又有eq\f(y0,x0－a)·eq\f(y0,x0＋a)＝eq\f(1,5)，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(30),5).(2)联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－5y2＝5b2，,y＝x－c，))得4x2－10cx＋35b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(5c,2)，,x1x2＝\f(35b2,4).))①设＝(x3，y3)，＝λ＋，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3＝λx1＋x2，,y3＝λy1＋y2，))又C为双曲线上一点，则xeq\o\al(2,3)－5yeq\o\al(2,3)＝5b2，即(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，化简得λ2(xeq\o\al(2,1)－5yeq\o\al(2,1))＋(xeq\o\al(2,2)－5yeq\o\al(2,2))＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.②又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以xeq\o\al(2,1)－5yeq\o\al(2,1)＝5b2，xeq\o\al(2,2)－5yeq\o\al(2,2)＝5b2.③由①式得x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2.④将③④代入②化简得λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.1个规律——等轴双曲线的离心率及渐近线的关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝eq\r(2)⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2种方法——求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a，b，c即可求得方程．(2)待定系数法①②待定系数法求双曲线方程的常用方法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(与双曲线\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1共渐近线的可设为\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝λλ≠0；,若渐近线方程为y＝±\f(b,a)x，则可设为\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝λλ≠0；,若过两个已知点则设为\f(x2,m)＋\f(y2,n)＝1mn<0.))3个关注点——双曲线几何性质的关注点双曲线的几何性质从以下三点关注：(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形．3个防范——双曲线问题的三个易混点(1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．(3)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±eq\f(b,a)x，eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±eq\f(a,b)x.易误警示——双曲线几何性质的解题误区[典例](·湖南高考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,80)－eq\f(y2,20)＝1 D.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,80)＝1[解析]由已知可得双曲线的焦距2c＝10，a2＋b2＝52＝25，排除C，D，又由渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x＝eq\f(1,2)x，得eq\f(1,2)＝eq\f(b,a)，解得a2＝20，b2＝5.[答案]Aeq\a\vs4\al([易误辨析])1．因对双曲线的几何性质不清，误以为c＝10，错选C；2．因对双曲线渐近线理解不清而出现渐近线求解错误，错解成eq\f(1,2)＝eq\f(a,b)，从而错选B.3．解决与双曲线性质有关的问题时，还易出现对a，b，c之间的关系式c2＝a2＋b2与椭圆中a，b，c之间的关系式a2＝c2＋b2的混淆，从而出现解题错误等．eq\a\vs4\al([变式训练])已知点(2,3)在双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．解析：法一：点(2,3)在双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上，则eq\f(4,a2)－eq\f(9,b2)＝1，又由于2c＝4，所以a2＋b2＝4.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，,a2＋b2＝4，))得a＝1或a＝4.由于a<c，故a＝1.所以离心率为e＝eq\f(c,a)＝2.法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，点(2,3)到两焦点的距离之差的绝对值为2，即2a＝2，∴a＝1，离心率e＝eq\f(c,a)＝2.答案：2一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．若k∈R则“k>5”是“方程eq\f(x2,k－5)－eq\f(y2,k＋2)＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A当k>5时，方程表示双曲线；反之，方程表示双曲线时，有k>5或k<－2.故选A.2．与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.eq\f(x2,4)－y2＝1 B.eq\f(x2,2)－y2＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,3)＝1 D．x2－eq\f(y2,2)＝1解析：选B椭圆的焦点坐标为(±eq\r(3)，0)，四个选项中，只有eq\f(x2,2)－y2＝1的焦点为(±eq\r(3)，0)，且经过点P(2,1)．3．(·惠州模拟)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1，eq\r(5)) B．(1，eq\r(5)]C．(eq\r(5)，＋∞) D．[eq\r(5)，＋∞)解析：选C∵双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，则由题意得eq\f(b,a)>2.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)>eq\r(1＋4)＝eq\r(5).4．(·浙江高考)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3 B．2C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：选B设焦点为F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝eq\f(c,a)，椭圆的离心率e2＝eq\f(c,2a)，所以eq\f(e1,e2)＝2.5．已知双曲线eq\f(x2,2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左，右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(eq\r(3)，y0)在双曲线上．则1·2＝()A．－12 B．－2C．0 D．4解析：选C∵由渐近线方程为y＝x知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是x2－y2＝2，于是两焦点坐标分别是(－2,0)和(2,0)，且P(eq\r(3)，1)或P(eq\r(3)，－1)．不妨取P(eq\r(3)，1)，则1＝(－2－eq\r(3)，－1)，2＝(2－eq\r(3)，－1)．∴1·2＝(－2－eq\r(3)，－1)·(2－eq\r(3)，－1)＝－(2＋eq\r(3))·(2－eq\r(3))＋1＝0.6．(·皖南八校联考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点且斜率为eq\f(\r(3),3)的直线与双曲线渐近线平行，则此双曲线离心率是()A.eq\f(2\r(3),3) B.eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)解析：选A依题意，应有eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，又eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)，即eq\r(e2－1)＝eq\f(\r(3),3)，解得e＝eq\f(2\r(3),3).二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m2＋4)＝1的离心率为eq\r(5)，则m的值为________．解析：由题意得m>0，a＝eq\r(m)，b＝eq\r(m2＋4)，所以c＝eq\r(m2＋m＋4).由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)得eq\f(m2＋m＋4,m)＝5，解得m＝2.答案：28．P为双曲线x2－eq\f(y2,15)＝1右支上一点，M，N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．解析：双曲线的两个焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.答案：59．(·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．解析：不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以(2eq\r(2))2＝|PF1|2＋|PF2|2，又因为|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．双曲线C与椭圆eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有相同焦点，且经过点(eq\r(15)，4)．(1)求双曲线C的方程；(2)若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面积．解：(1)椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝32＝9.①又双曲线经过点(eq\r(15)，4)，所以eq\f(16,a2)－eq\f(15,b2)＝1，②解①②得a2＝4，b2＝5或a2＝36，b2＝－27(舍去)，所以所求双曲线C的方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.(2)由双曲线C的方程，知a＝2，b＝eq\r(5)，c＝3.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a＝4，平方得m2－2mn＋n2＝16.①在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝m2＋n2－2mncos120°＝m2＋n2＋mn＝36.②由①②得mn＝eq\f(20,3).所以△F1PF2的面积为S＝eq\f(1,2)mnsin120°＝eq\f(5\r(3),3).11．设A，B分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4eq\r(3)，焦点到渐近线的距离为eq\r(3).(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝eq\f(\r(3),3)x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．解：(1)∵由题意知a＝2eq\r(3)，∴一条渐近线为y＝eq\f(b,2\r(3))x，即bx－2eq\r(3)y＝0.∴eq\f(|bc|,\r(b2＋12))＝eq\r(3)，解得b2＝3，∴双曲线的方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.将直线方程代入双曲线方程得x2－16eq\r(3)x＋84＝0，则x1＋x2＝16eq\r(3)，y1＋y2＝12.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x0,y0)＝\f(4\r(3),3)，,\f(x\o\al(2,0),12)－\f(y\o\al(2,0),3)＝1.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝4\r(3)，,y0＝3.))∴t＝4，点D的坐标为(4eq\r(3)，3)．12．设双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,3)＝1的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l1，l2的方程；(2)若A，B分别为l1，l2上的点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：(1)∵e＝2，∴c2＝4a2.∵c2＝a2＋3，∴a＝1，c＝2.∴双曲线方程为y2－eq\f(x2,3)＝1，渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x，y)．∵2|AB|＝5|F1F2|，∴|AB|＝eq\f(5,2)|F1F2|＝eq\f(5,2)×2c＝10.∴eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝10.又y1＝eq\f(\r(3),3)x1，y2＝－eq\f(\r(3),3)x2,2x＝x1＋x2,2y＝y1＋y2，∴y1＋y2＝eq\f(\r(3),3)(x1－x2)，y1－y2＝eq\f(\r(3),3)(x1＋x2)，∴eq\r([\r(3)y1＋y2]2＋\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)x1＋x2))2)＝10，∴3(2y)2＋eq\f(1,3)(2x)2＝100，即eq\f(x2,75)＋eq\f(3y2,25)＝1.则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为10eq\r(3)，短轴长为eq\f(10\r(3),3)的椭圆．1．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(eq\r(7)，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－eq\f(2,3)，则此双曲线的方程是()A.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,2)－1 D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1解析：选D∵中点